Номер 5.37, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 5.37, страница 41.

Условие.

5.37 a) $\frac{x^2 - 6x + 9}{9x^3} : \frac{x^2 - 9}{9x}$;

б) $\frac{4c^2 + 4c + 1}{c^2d - cd^2} \cdot \frac{2d - 2c}{4c^2 - 1}$;

в) $\frac{25 - y^2}{25y} \cdot \frac{10y^2}{y^2 - 10y + 25}$;

г) $\frac{3 - 6a}{1 - 6a + 9a^2} : \frac{2a^2 - a}{1 - 9a^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{x^2 - 6x + 9}{9x^3} : \frac{x^2 - 9}{9x} = \frac{x^2 - 6x + 9}{9x^3} \cdot \frac{9x}{x^2 - 9}$

Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби. Числитель $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности $(x-3)^2$. Знаменатель $x^2 - 9$ является разностью квадратов $(x-3)(x+3)$.

$\frac{(x-3)^2}{9x^3} \cdot \frac{9x}{(x-3)(x+3)}$

Сократим общие множители $9x$ и $(x-3)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(x-3)^{\cancel{2}}}{\cancel{9x^3}_{x^2}} \cdot \frac{\cancel{9x}}{\cancel{(x-3)}(x+3)} = \frac{x-3}{x^2(x+3)}$

Ответ: $\frac{x-3}{x^2(x+3)}$

б)

Для умножения дробей перемножим их числители и знаменатели:

$\frac{4c^2 + 4c + 1}{c^2d - cd^2} \cdot \frac{2d - 2c}{4c^2 - 1}$

Разложим на множители числители и знаменатели дробей.
$4c^2 + 4c + 1 = (2c+1)^2$ (квадрат суммы).
$c^2d - cd^2 = cd(c-d)$ (вынесение общего множителя).
$2d - 2c = 2(d-c) = -2(c-d)$ (вынесение общего множителя).
$4c^2 - 1 = (2c-1)(2c+1)$ (разность квадратов).

Подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{(2c+1)^2}{cd(c-d)} \cdot \frac{-2(c-d)}{(2c-1)(2c+1)}$

Сократим общие множители $(2c+1)$ и $(c-d)$:

$\frac{(2c+1)^{\cancel{2}}}{cd\cancel{(c-d)}} \cdot \frac{-2\cancel{(c-d)}}{(2c-1)\cancel{(2c+1)}} = \frac{(2c+1)(-2)}{cd(2c-1)} = -\frac{2(2c+1)}{cd(2c-1)}$

Ответ: $-\frac{2(2c+1)}{cd(2c-1)}$

в)

Для умножения дробей перемножим их числители и знаменатели:

$\frac{25 - y^2}{25y} \cdot \frac{10y^2}{y^2 - 10y + 25}$

Разложим на множители числители и знаменатели дробей.
$25 - y^2 = (5-y)(5+y)$ (разность квадратов).
$y^2 - 10y + 25 = (y-5)^2$ (квадрат разности).

Подставим разложенные выражения. Заметим, что $5-y = -(y-5)$.

$\frac{(5-y)(5+y)}{25y} \cdot \frac{10y^2}{(y-5)^2} = \frac{-(y-5)(y+5)}{25y} \cdot \frac{10y^2}{(y-5)^2}$

Сократим общие множители $(y-5)$, $y$ и числовые коэффициенты $10$ и $25$ (на $5$):

$\frac{-\cancel{(y-5)}(y+5)}{\cancel{25}_5 \cancel{y}} \cdot \frac{\cancel{10}_2 y^{\cancel{2}}}{(y-5)^{\cancel{2}}} = \frac{-(y+5) \cdot 2y}{5(y-5)} = -\frac{2y(y+5)}{5(y-5)}$

Ответ: $-\frac{2y(y+5)}{5(y-5)}$

г)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{3 - 6a}{1 - 6a + 9a^2} : \frac{2a^2 - a}{1 - 9a^2} = \frac{3 - 6a}{1 - 6a + 9a^2} \cdot \frac{1 - 9a^2}{2a^2 - a}$

Разложим на множители числители и знаменатели.
$3 - 6a = 3(1-2a)$.
$1 - 6a + 9a^2 = (1-3a)^2$ (квадрат разности).
$1 - 9a^2 = (1-3a)(1+3a)$ (разность квадратов).
$2a^2 - a = a(2a-1) = -a(1-2a)$.

Подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{3(1-2a)}{(1-3a)^2} \cdot \frac{(1-3a)(1+3a)}{-a(1-2a)}$

Сократим общие множители $(1-2a)$ и $(1-3a)$:

$\frac{3\cancel{(1-2a)}}{(1-3a)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{(1-3a)}(1+3a)}{-a\cancel{(1-2a)}} = \frac{3(1+3a)}{(1-3a)(-a)} = -\frac{3(1+3a)}{a(1-3a)}$

Ответ: $-\frac{3(1+3a)}{a(1-3a)}$