Номер 5.36, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень - номер 5.36, страница 41.

Условие.

5.36 a) $\frac{z^2 - 25}{z^2 - 3z} : \frac{z+5}{9 - z^2}$

б) $\frac{5p^2 - 5q^2}{5p - 10q} \cdot \frac{p^2 - 2pq}{(q - p)^2}$

в) $\frac{6d - 6c}{c + p} \cdot \frac{c^2 + cp}{c^2 - d^2}$

г) $\frac{3x^2 - 3y^2}{xy + 3y^2} : \frac{(y - x)^2}{9y + 3x}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Исходное выражение: $\frac{z^2 - 25}{z^2 - 3z} : \frac{z+5}{9 - z^2}$.

Деление дробей заменяем умножением на обратную дробь:

$\frac{z^2 - 25}{z^2 - 3z} \cdot \frac{9 - z^2}{z+5}$

Разложим числители и знаменатели на множители. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и вынесем общие множители:

$z^2 - 25 = (z-5)(z+5)$

$z^2 - 3z = z(z-3)$

$9 - z^2 = (3-z)(3+z)$

Подставим разложенные выражения обратно в пример:

$\frac{(z-5)(z+5)}{z(z-3)} \cdot \frac{(3-z)(3+z)}{z+5}$

Заметим, что $(3-z) = -(z-3)$. Перепишем выражение:

$\frac{(z-5)(z+5)}{z(z-3)} \cdot \frac{-(z-3)(z+3)}{z+5}$

Сократим общие множители $(z+5)$ и $(z-3)$:

$\frac{(z-5)\cancel{(z+5)}}{z\cancel{(z-3)}} \cdot \frac{-\cancel{(z-3)}(z+3)}{\cancel{z+5}} = \frac{(z-5)(-(z+3))}{z} = \frac{-(z-5)(z+3)}{z}$

Внесем знак минуса в первую скобку, чтобы получить более простой вид:

$\frac{(5-z)(z+3)}{z}$

Ответ: $\frac{(5-z)(z+3)}{z}$

б)

Исходное выражение: $\frac{5p^2 - 5q^2}{5p - 10q} \cdot \frac{p^2 - 2pq}{(q - p)^2}$.

Разложим числители и знаменатели на множители:

$5p^2 - 5q^2 = 5(p^2 - q^2) = 5(p-q)(p+q)$

$5p - 10q = 5(p - 2q)$

$p^2 - 2pq = p(p-2q)$

$(q - p)^2 = (-(p-q))^2 = (p-q)^2$

Подставим разложенные выражения и сократим:

$\frac{5(p-q)(p+q)}{5(p - 2q)} \cdot \frac{p(p-2q)}{(p-q)^2} = \frac{\cancel{5}\cancel{(p-q)}(p+q)}{\cancel{5}\cancel{(p - 2q)}} \cdot \frac{p\cancel{(p-2q)}}{(p-q)^{\cancel{2}}}$

После сокращения получаем:

$\frac{p+q}{1} \cdot \frac{p}{p-q} = \frac{p(p+q)}{p-q}$

Ответ: $\frac{p(p+q)}{p-q}$

в)

Исходное выражение: $\frac{6d - 6c}{c + p} \cdot \frac{c^2 + cp}{c^2 - d^2}$.

Разложим числители и знаменатели на множители:

$6d - 6c = 6(d-c) = -6(c-d)$

$c + p$ - уже простое выражение

$c^2 + cp = c(c+p)$

$c^2 - d^2 = (c-d)(c+d)$

Подставим разложенные выражения и сократим:

$\frac{-6(c-d)}{c + p} \cdot \frac{c(c+p)}{(c-d)(c+d)} = \frac{-6\cancel{(c-d)}}{\cancel{c + p}} \cdot \frac{c\cancel{(c+p)}}{\cancel{(c-d)}(c+d)}$

После сокращения получаем:

$\frac{-6}{1} \cdot \frac{c}{c+d} = -\frac{6c}{c+d}$

Ответ: $-\frac{6c}{c+d}$

г)

Исходное выражение: $\frac{3x^2 - 3y^2}{xy + 3y^2} : \frac{(y - x)^2}{9y + 3x}$.

Заменяем деление умножением на обратную дробь:

$\frac{3x^2 - 3y^2}{xy + 3y^2} \cdot \frac{9y + 3x}{(y - x)^2}$

Разложим числители и знаменатели на множители:

$3x^2 - 3y^2 = 3(x^2 - y^2) = 3(x-y)(x+y)$

$xy + 3y^2 = y(x+3y)$

$9y + 3x = 3(3y+x) = 3(x+3y)$

$(y - x)^2 = (x-y)^2$

Подставим разложенные выражения и сократим:

$\frac{3(x-y)(x+y)}{y(x+3y)} \cdot \frac{3(x+3y)}{(x-y)^2} = \frac{3\cancel{(x-y)}(x+y)}{y\cancel{(x+3y)}} \cdot \frac{3\cancel{(x+3y)}}{(x-y)^{\cancel{2}}}$

После сокращения получаем:

$\frac{3(x+y)}{y} \cdot \frac{3}{x-y} = \frac{9(x+y)}{y(x-y)}$

Ответ: $\frac{9(x+y)}{y(x-y)}$