Номер 5.31, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 5.31, страница 40.

Условие.

5.31 а) $\frac{10y^5}{9a} : \frac{5y^3}{3b} \cdot \frac{3a^2}{by}$;

б) $\frac{25a^3b^3}{14x^2y^4} \cdot \frac{21xy^3}{10a^2b^2} \cdot \frac{8xy^2}{15ab}$;

в) $\frac{28a^2}{27x^3} : \frac{21x^4}{45y} \cdot \frac{x^8}{20ya}$;

г) $\frac{45m^4}{49n^2t} \cdot \frac{56n^3}{27m^2} : \frac{20m^2n}{63t^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы решить данное выражение, сначала выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь, а затем выполним умножение дробей.

$\frac{10y^5}{9a} : \frac{5y^3}{3b} \cdot \frac{3a^2}{by} = \frac{10y^5}{9a} \cdot \frac{3b}{5y^3} \cdot \frac{3a^2}{by}$

Теперь объединим все числители и знаменатели в одну дробь и сгруппируем числовые коэффициенты и переменные:

$\frac{10y^5 \cdot 3b \cdot 3a^2}{9a \cdot 5y^3 \cdot by} = \frac{(10 \cdot 3 \cdot 3) \cdot a^2 \cdot b \cdot y^5}{(9 \cdot 5) \cdot a \cdot b \cdot (y^3 \cdot y)}$

Выполним сокращение дроби. Сначала сократим числовые коэффициенты:

$\frac{10 \cdot 3 \cdot 3}{9 \cdot 5} = \frac{90}{45} = 2$

Теперь сократим переменные, используя свойства степеней ($\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$):

$\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a$

$\frac{b}{b} = b^{1-1} = b^0 = 1$

$\frac{y^5}{y^3 \cdot y} = \frac{y^5}{y^{3+1}} = \frac{y^5}{y^4} = y^{5-4} = y$

Соберем все вместе:

$2 \cdot a \cdot 1 \cdot y = 2ay$

Ответ: $2ay$

б)

В этом выражении все операции — умножение. Объединим все дроби в одну, перемножив их числители и знаменатели.

$\frac{25a^3b^3}{14x^2y^4} \cdot \frac{21xy^3}{10a^2b^2} \cdot \frac{8xy^2}{15ab} = \frac{25a^3b^3 \cdot 21xy^3 \cdot 8xy^2}{14x^2y^4 \cdot 10a^2b^2 \cdot 15ab}$

Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные в числителе и знаменателе:

$\frac{(25 \cdot 21 \cdot 8) \cdot (a^3) \cdot (b^3) \cdot (x \cdot x) \cdot (y^3 \cdot y^2)}{(14 \cdot 10 \cdot 15) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b^2 \cdot b) \cdot (x^2) \cdot (y^4)} = \frac{(25 \cdot 21 \cdot 8) \cdot a^3 b^3 x^2 y^5}{(14 \cdot 10 \cdot 15) \cdot a^3 b^3 x^2 y^4}$

Сократим переменные:

$\frac{a^3b^3x^2y^5}{a^3b^3x^2y^4} = y^{5-4} = y$

Теперь сократим числовые коэффициенты:

$\frac{25 \cdot 21 \cdot 8}{14 \cdot 10 \cdot 15} = \frac{4200}{2100} = 2$

Объединив результаты, получаем:

$2 \cdot y = 2y$

Ответ: $2y$

в)

Выражение содержит деление и умножение. Выполняем операции по порядку, слева направо. Сначала заменим деление на умножение на обратную дробь.

$\frac{28a^2}{27x^3} : \frac{21x^4}{45y} \cdot \frac{x^8}{20ya} = \frac{28a^2}{27x^3} \cdot \frac{45y}{21x^4} \cdot \frac{x^8}{20ya}$

Объединим все в одну дробь:

$\frac{28a^2 \cdot 45y \cdot x^8}{27x^3 \cdot 21x^4 \cdot 20ya} = \frac{(28 \cdot 45) \cdot a^2 x^8 y}{(27 \cdot 21 \cdot 20) \cdot a x^{(3+4)} y} = \frac{1260 \cdot a^2 x^8 y}{11340 \cdot a x^7 y}$

Сократим переменные:

$\frac{a^2}{a} = a$

$\frac{x^8}{x^7} = x$

$\frac{y}{y} = 1$

Остается $ax$. Теперь сократим коэффициенты:

$\frac{1260}{11340} = \frac{126}{1134} = \frac{1}{9}$

Итоговый результат:

$\frac{1}{9} \cdot ax = \frac{ax}{9}$

Ответ: $\frac{ax}{9}$

г)

Выполним операции в порядке их следования. Сначала заменим деление на умножение на обратную дробь.

$\frac{45m^4}{49n^2t} \cdot \frac{56n^3}{27m^2} : \frac{20m^2n}{63t^2} = \frac{45m^4}{49n^2t} \cdot \frac{56n^3}{27m^2} \cdot \frac{63t^2}{20m^2n}$

Объединим все в одну дробь:

$\frac{(45 \cdot 56 \cdot 63) \cdot m^4 \cdot n^3 \cdot t^2}{(49 \cdot 27 \cdot 20) \cdot (m^2 \cdot m^2) \cdot (n^2 \cdot n) \cdot t} = \frac{(45 \cdot 56 \cdot 63) \cdot m^4 n^3 t^2}{(49 \cdot 27 \cdot 20) \cdot m^4 n^3 t}$

Сократим переменные: $\frac{m^4 n^3 t^2}{m^4 n^3 t} = t^{2-1} = t$.

Сократим коэффициенты, разложив их на множители:

$\frac{45 \cdot 56 \cdot 63}{49 \cdot 27 \cdot 20} = \frac{(9 \cdot 5) \cdot (7 \cdot 8) \cdot (9 \cdot 7)}{(7 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 9) \cdot (4 \cdot 5)} = \frac{9 \cdot 8}{3 \cdot 4} = (3 \cdot 2) = 6$.

Итоговый результат:

$6 \cdot t = 6t$

Ответ: $6t$