Номер 5.34, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 5.34, страница 41.

Условие.

5.34 a) $ \frac{x^2 - 16}{8x^2} : \frac{x + 4}{4x} $;

б) $ \frac{(y - 5)^2}{y} \cdot \frac{7y^2}{y^2 - 25} $;

в) $ \frac{m^2 - n^2}{9m} \cdot \frac{3m^2}{m - n} $;

г) $ \frac{(c + 2)^2}{2c^2} : \frac{c^2 - 4}{4c} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):
$\frac{x^2 - 16}{8x^2} : \frac{x + 4}{4x} = \frac{x^2 - 16}{8x^2} \cdot \frac{4x}{x + 4}$
Разложим числитель первой дроби $x^2 - 16$ на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$
Подставим полученное выражение обратно в нашу дробь и выполним умножение:
$\frac{(x - 4)(x + 4)}{8x^2} \cdot \frac{4x}{x + 4} = \frac{(x - 4)(x + 4) \cdot 4x}{8x^2 \cdot (x + 4)}$
Теперь сократим общие множители. Множитель $(x+4)$ есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому мы можем его сократить. Также мы можем сократить $4x$ и $8x^2$. После сокращения в знаменателе останется $2x$:
$\frac{(x - 4)\cancel{(x + 4)} \cdot \cancel{4x}}{\cancel{8x^2}_{2x} \cdot \cancel{(x + 4)}} = \frac{x - 4}{2x}$
Ответ: $\frac{x-4}{2x}$

б)

Для умножения дробей нужно перемножить их числители и знаменатели:
$\frac{(y-5)^2}{y} \cdot \frac{7y^2}{y^2 - 25} = \frac{(y-5)^2 \cdot 7y^2}{y \cdot (y^2 - 25)}$
Разложим знаменатель $y^2 - 25$ на множители по формуле разности квадратов:
$y^2 - 25 = (y - 5)(y + 5)$
Подставим это в наше выражение:
$\frac{(y-5)^2 \cdot 7y^2}{y \cdot (y - 5)(y + 5)}$
Сократим общие множители. Сокращаем один множитель $(y-5)$ и $y$:
$\frac{\cancel{(y-5)}(y-5) \cdot 7y^{\cancel{2}}}{\cancel{y} \cdot \cancel{(y-5)}(y+5)} = \frac{7y(y-5)}{y+5}$
Ответ: $\frac{7y(y-5)}{y+5}$

в)

Перемножаем числители и знаменатели дробей:
$\frac{m^2 - n^2}{9m} \cdot \frac{3m^2}{m - n} = \frac{(m^2 - n^2) \cdot 3m^2}{9m \cdot (m - n)}$
Разложим числитель $m^2 - n^2$ по формуле разности квадратов:
$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$
Подставим и получим:
$\frac{(m - n)(m + n) \cdot 3m^2}{9m \cdot (m - n)}$
Сокращаем общие множители $(m-n)$, $3$ и $m$:
$\frac{\cancel{(m-n)}(m+n) \cdot \cancel{3}\cancel{m^2}^{m}}{\cancel{9}_{3}\cancel{m} \cdot \cancel{(m - n)}} = \frac{m(m+n)}{3}$
Ответ: $\frac{m(m+n)}{3}$

г)

Заменяем деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{(c+2)^2}{2c^2} : \frac{c^2 - 4}{4c} = \frac{(c+2)^2}{2c^2} \cdot \frac{4c}{c^2 - 4}$
Разложим знаменатель $c^2 - 4$ на множители по формуле разности квадратов:
$c^2 - 4 = (c - 2)(c + 2)$
Подставим в выражение и объединим дроби:
$\frac{(c+2)^2 \cdot 4c}{2c^2 \cdot (c-2)(c+2)}$
Сократим общие множители. Один множитель $(c+2)$ сокращается. Также сокращается $2c$ в числителе и $2c^2$ в знаменателе, оставляя $c$ в знаменателе и $2$ в числителе:
$\frac{\cancel{(c+2)}(c+2) \cdot \cancel{4c}^{2}}{\cancel{2c^2}_{c} \cdot (c - 2)\cancel{(c + 2)}} = \frac{2(c+2)}{c(c-2)}$
Ответ: $\frac{2(c+2)}{c(c-2)}$