Номер 5.38, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 5.38, страница 41.

Условие.

5.38 a) $ \frac{a^3 + b^3}{a^2b - ab^2} \cdot \frac{a - b}{a + b}; $

б) $ \frac{x^2 + 3x + 9}{x + 3} : (x^3 - 27); $

в) $ \frac{2x^2 + 4x}{x^3 - 8} : \frac{x + 2}{x - 2}; $

г) $ (x^3 + y^3) \cdot \frac{x + y}{x^2 - xy + y^2}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $ \frac{a^3 + b^3}{a^2b - ab^2} \cdot \frac{a - b}{a + b} $

1. Разложим на множители числитель первой дроби, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
2. Разложим на множители знаменатель первой дроби, вынеся общий множитель $ab$ за скобки: $a^2b - ab^2 = ab(a - b)$.
3. Подставим разложенные выражения в исходное: $ \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{ab(a - b)} \cdot \frac{a - b}{a + b} $
4. Сократим общие множители $(a + b)$ и $(a - b)$ в числителях и знаменателях.
$ \frac{\cancel{(a + b)}(a^2 - ab + b^2)}{ab\cancel{(a - b)}} \cdot \frac{\cancel{a - b}}{\cancel{a + b}} = \frac{a^2 - ab + b^2}{ab} $
Упрощение справедливо при условиях $a \neq 0, b \neq 0, a \neq b, a \neq -b$.

Ответ: $ \frac{a^2 - ab + b^2}{ab} $

б) $ \frac{x^2 + 3x + 9}{x + 3} : (x^3 - 27) $

1. Заменим деление на умножение на обратное выражение: $x^3 - 27 = \frac{x^3 - 27}{1}$.
$ \frac{x^2 + 3x + 9}{x + 3} \cdot \frac{1}{x^3 - 27} $
2. Разложим на множители выражение $x^3 - 27$, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$ x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9) $
3. Подставим разложенное выражение в пример:
$ \frac{x^2 + 3x + 9}{x + 3} \cdot \frac{1}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} $
4. Сократим общий множитель $(x^2 + 3x + 9)$ в числителе и знаменателе. (Выражение $x^2 + 3x + 9 > 0$ для всех действительных $x$).
$ \frac{\cancel{x^2 + 3x + 9}}{x + 3} \cdot \frac{1}{(x - 3)\cancel{(x^2 + 3x + 9)}} = \frac{1}{(x + 3)(x - 3)} $
5. Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ к знаменателю.
$ \frac{1}{x^2 - 3^2} = \frac{1}{x^2 - 9} $
Упрощение справедливо при условиях $x \neq 3, x \neq -3$.

Ответ: $ \frac{1}{x^2 - 9} $

в) $ \frac{2x^2 + 4x}{x^3 - 8} : \frac{x + 2}{x - 2} $

1. Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{2x^2 + 4x}{x^3 - 8} \cdot \frac{x - 2}{x + 2} $
2. Разложим на множители числитель первой дроби, вынеся общий множитель $2x$ за скобки:
$ 2x^2 + 4x = 2x(x + 2) $
3. Разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$ x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) $
4. Подставим разложенные выражения в пример:
$ \frac{2x(x + 2)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} \cdot \frac{x - 2}{x + 2} $
5. Сократим общие множители $(x + 2)$ и $(x - 2)$ в числителях и знаменателях.
$ \frac{2x\cancel{(x + 2)}}{\cancel{(x - 2)}(x^2 + 2x + 4)} \cdot \frac{\cancel{x - 2}}{\cancel{x + 2}} = \frac{2x}{x^2 + 2x + 4} $
Упрощение справедливо при условиях $x \neq 2, x \neq -2$.

Ответ: $ \frac{2x}{x^2 + 2x + 4} $

г) $ (x^3 + y^3) \cdot \frac{x + y}{x^2 - xy + y^2} $

1. Разложим на множители первый сомножитель $(x^3 + y^3)$, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:
$ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) $
2. Подставим разложенное выражение в исходный пример:
$ (x + y)(x^2 - xy + y^2) \cdot \frac{x + y}{x^2 - xy + y^2} $
3. Сократим общий множитель $(x^2 - xy + y^2)$ (он не равен нулю, кроме случая $x=y=0$):
$ (x + y)\cancel{(x^2 - xy + y^2)} \cdot \frac{x + y}{\cancel{x^2 - xy + y^2}} $
4. Перемножим оставшиеся множители:
$ (x + y) \cdot (x + y) = (x + y)^2 $
Упрощение справедливо при условии, что $x^2 - xy + y^2 \neq 0$.

Ответ: $ (x + y)^2 $