Номер 5.32, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень - номер 5.32, страница 41.

Условие.

5.32 a) $(\frac{x^2}{2a^3})^3 \cdot (\frac{4a^4}{x^3})^2;$

б) $(\frac{-2a^8b^3}{c^7})^5 : (-\frac{4a^{10}b^4}{c^9})^4;$

в) $(-\frac{2a^2}{b^3})^8 \cdot (\frac{b^2}{-2a^3})^2;$

г) $(-\frac{9x^7y^6}{a^{12}})^4 \cdot (-\frac{a^8}{27x^5y^4})^3;$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\left(\frac{x^2}{2a^3}\right)^3 \cdot \left(\frac{4a^4}{x^3}\right)^2$

1. Возведем каждую дробь в соответствующую степень. Для этого используем правило возведения дроби в степень $(\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n}$ и правило возведения произведения в степень $(AB)^n = A^n B^n$.

$\left(\frac{x^2}{2a^3}\right)^3 = \frac{(x^2)^3}{(2a^3)^3} = \frac{x^{2 \cdot 3}}{2^3 \cdot (a^3)^3} = \frac{x^6}{8a^9}$

$\left(\frac{4a^4}{x^3}\right)^2 = \frac{(4a^4)^2}{(x^3)^2} = \frac{4^2 \cdot (a^4)^2}{x^{3 \cdot 2}} = \frac{16a^8}{x^6}$

2. Теперь перемножим полученные дроби:

$\frac{x^6}{8a^9} \cdot \frac{16a^8}{x^6} = \frac{16 \cdot x^6 \cdot a^8}{8 \cdot a^9 \cdot x^6}$

3. Сократим выражение. Сокращаем численные коэффициенты, степени переменной $x$ и степени переменной $a$.

$\frac{16}{8} \cdot \frac{x^6}{x^6} \cdot \frac{a^8}{a^9} = 2 \cdot 1 \cdot a^{8-9} = 2a^{-1} = \frac{2}{a}$

Ответ: $\frac{2}{a}$

б) $\left(\frac{-2a^8b^3}{c^7}\right)^5 : \left(-\frac{4a^{10}b^4}{c^9}\right)^4$

1. Возведем каждую дробь в степень, учитывая знаки. Отрицательное число в нечетной степени ($5$) остается отрицательным, а в четной степени ($4$) становится положительным.

$\left(\frac{-2a^8b^3}{c^7}\right)^5 = \frac{(-2)^5(a^8)^5(b^3)^5}{(c^7)^5} = \frac{-32a^{40}b^{15}}{c^{35}}$

$\left(-\frac{4a^{10}b^4}{c^9}\right)^4 = \frac{(-4)^4(a^{10})^4(b^4)^4}{(c^9)^4} = \frac{256a^{40}b^{16}}{c^{36}}$

2. Выполним деление. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь.

$\frac{-32a^{40}b^{15}}{c^{35}} : \frac{256a^{40}b^{16}}{c^{36}} = \frac{-32a^{40}b^{15}}{c^{35}} \cdot \frac{c^{36}}{256a^{40}b^{16}}$

3. Перемножим дроби и сгруппируем подобные члены для сокращения.

$-\frac{32 \cdot a^{40} \cdot b^{15} \cdot c^{36}}{256 \cdot c^{35} \cdot a^{40} \cdot b^{16}} = -\frac{32}{256} \cdot \frac{a^{40}}{a^{40}} \cdot \frac{b^{15}}{b^{16}} \cdot \frac{c^{36}}{c^{35}}$

4. Сократим выражение:

$-\frac{1}{8} \cdot 1 \cdot b^{15-16} \cdot c^{36-35} = -\frac{1}{8} b^{-1} c^1 = -\frac{c}{8b}$

Ответ: $-\frac{c}{8b}$

в) $\left(-\frac{2a^2}{b^3}\right)^8 \cdot \left(\frac{b^2}{-2a^3}\right)^2$

1. Возведем каждую дробь в степень. Так как обе степени ($8$ и $2$) четные, знаки минус исчезают.

$\left(-\frac{2a^2}{b^3}\right)^8 = \frac{(2a^2)^8}{(b^3)^8} = \frac{2^8(a^2)^8}{(b^3)^8} = \frac{256a^{16}}{b^{24}}$

$\left(\frac{b^2}{-2a^3}\right)^2 = \frac{(b^2)^2}{(-2a^3)^2} = \frac{b^4}{(-2)^2(a^3)^2} = \frac{b^4}{4a^6}$

2. Перемножим полученные дроби:

$\frac{256a^{16}}{b^{24}} \cdot \frac{b^4}{4a^6} = \frac{256 \cdot a^{16} \cdot b^4}{4 \cdot b^{24} \cdot a^6}$

3. Сократим выражение, используя свойства степеней:

$\frac{256}{4} \cdot \frac{a^{16}}{a^6} \cdot \frac{b^4}{b^{24}} = 64 \cdot a^{16-6} \cdot b^{4-24} = 64a^{10}b^{-20} = \frac{64a^{10}}{b^{20}}$

Ответ: $\frac{64a^{10}}{b^{20}}$

г) $\left(-\frac{9x^7y^6}{a^{12}}\right)^4 \cdot \left(-\frac{a^8}{27x^5y^4}\right)^3$

1. Возведем каждую дробь в степень. Первая дробь возводится в четную степень ($4$), поэтому знак минус исчезает. Вторая дробь возводится в нечетную степень ($3$), поэтому знак минус сохраняется.

$\left(-\frac{9x^7y^6}{a^{12}}\right)^4 = \frac{9^4(x^7)^4(y^6)^4}{(a^{12})^4} = \frac{(3^2)^4 x^{28} y^{24}}{a^{48}} = \frac{3^8 x^{28} y^{24}}{a^{48}}$

$\left(-\frac{a^8}{27x^5y^4}\right)^3 = -\frac{(a^8)^3}{(27x^5y^4)^3} = -\frac{a^{24}}{27^3(x^5)^3(y^4)^3} = -\frac{a^{24}}{(3^3)^3 x^{15} y^{12}} = -\frac{a^{24}}{3^9 x^{15} y^{12}}$

2. Перемножим полученные выражения:

$\frac{3^8 x^{28} y^{24}}{a^{48}} \cdot \left(-\frac{a^{24}}{3^9 x^{15} y^{12}}\right) = -\frac{3^8 \cdot x^{28} \cdot y^{24} \cdot a^{24}}{3^9 \cdot a^{48} \cdot x^{15} \cdot y^{12}}$

3. Сократим дробь, используя свойства степеней:

$-\frac{3^8}{3^9} \cdot \frac{x^{28}}{x^{15}} \cdot \frac{y^{24}}{y^{12}} \cdot \frac{a^{24}}{a^{48}} = -3^{8-9} \cdot x^{28-15} \cdot y^{24-12} \cdot a^{24-48}$

$= -3^{-1} \cdot x^{13} \cdot y^{12} \cdot a^{-24} = -\frac{x^{13}y^{12}}{3a^{24}}$

Ответ: $-\frac{x^{13}y^{12}}{3a^{24}}$