Номер 5.30, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень - номер 5.30, страница 40.

Условие.

5.30 а) $ (-\frac{2pq^5}{3ma^2})^2 \cdot \frac{9m^2a^2}{4p^3q^7};$

б) $ -\frac{50a^4b^5}{63m^9n^8} : (\frac{5a^2b^3}{3m^2n^5})^3;$

в) $ (-\frac{2x^3y^4}{5a^2b})^3 \cdot (-\frac{25a^4b^3}{24x^8y^{13}});$

г) $ (-\frac{10p^2q^2}{3a^3})^2 : (-\frac{25p^3q^3}{27a^6}).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\left(-\frac{2pq^5}{3ma^2}\right)^2 \cdot \frac{9m^2a^2}{4p^3q^7}$

1. Сначала возведем первую дробь в квадрат. Так как степень четная (2), знак минус при возведении исчезает:

$\left(-\frac{2pq^5}{3ma^2}\right)^2 = \frac{(2pq^5)^2}{(3ma^2)^2} = \frac{2^2 \cdot p^2 \cdot (q^5)^2}{3^2 \cdot m^2 \cdot (a^2)^2} = \frac{4p^2q^{10}}{9m^2a^4}$

2. Теперь умножим полученный результат на вторую дробь и запишем все под одной чертой:

$\frac{4p^2q^{10}}{9m^2a^4} \cdot \frac{9m^2a^2}{4p^3q^7} = \frac{4 \cdot 9 \cdot p^2q^{10}m^2a^2}{9 \cdot 4 \cdot m^2a^4p^3q^7}$

3. Сократим общие множители (числовые коэффициенты 4 и 9, переменную $m^2$) и применим свойство степеней $\frac{x^n}{x^m} = x^{n-m}$ для остальных переменных:

$\frac{p^2}{p^3} = p^{2-3} = p^{-1} = \frac{1}{p}$

$\frac{q^{10}}{q^7} = q^{10-7} = q^3$

$\frac{a^2}{a^4} = a^{2-4} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}$

Собрав все вместе, получаем: $\frac{q^3}{pa^2}$.

Ответ: $\frac{q^3}{pa^2}$

б) $-\frac{50a^4b^5}{63m^9n^8} : \left(\frac{5a^2b^3}{3m^2n^5}\right)^3$

1. Возведем дробь в скобках в третью степень:

$\left(\frac{5a^2b^3}{3m^2n^5}\right)^3 = \frac{(5a^2b^3)^3}{(3m^2n^5)^3} = \frac{5^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^3)^3}{3^3 \cdot (m^2)^3 \cdot (n^5)^3} = \frac{125a^6b^9}{27m^6n^{15}}$

2. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:

$-\frac{50a^4b^5}{63m^9n^8} \cdot \frac{27m^6n^{15}}{125a^6b^9} = -\frac{50 \cdot 27 \cdot a^4b^5m^6n^{15}}{63 \cdot 125 \cdot m^9n^8a^6b^9}$

3. Сократим числовые коэффициенты и переменные:

Коэффициенты: $\frac{50 \cdot 27}{63 \cdot 125} = \frac{(2 \cdot 25) \cdot 27}{(7 \cdot 9) \cdot (5 \cdot 25)} = \frac{2 \cdot (3 \cdot 9)}{7 \cdot 9 \cdot 5} = \frac{6}{35}$

Переменные: $\frac{a^4}{a^6} = \frac{1}{a^2}$, $\frac{b^5}{b^9} = \frac{1}{b^4}$, $\frac{m^6}{m^9} = \frac{1}{m^3}$, $\frac{n^{15}}{n^8} = n^7$

4. Объединим результаты, не забывая про знак "минус" перед выражением:

$-\frac{6n^7}{35a^2b^4m^3}$

Ответ: $-\frac{6n^7}{35a^2b^4m^3}$

в) $\left(-\frac{2x^3y^4}{5a^2b}\right)^3 \cdot \left(-\frac{25a^4b^3}{24x^8y^{13}}\right)$

1. Возведем первую дробь в куб. Так как степень нечетная (3), знак "минус" сохраняется:

$\left(-\frac{2x^3y^4}{5a^2b}\right)^3 = -\frac{2^3(x^3)^3(y^4)^3}{5^3(a^2)^3b^3} = -\frac{8x^9y^{12}}{125a^6b^3}$

2. Умножим результат на вторую дробь. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число ($(-) \cdot (-) = (+)$):

$\left(-\frac{8x^9y^{12}}{125a^6b^3}\right) \cdot \left(-\frac{25a^4b^3}{24x^8y^{13}}\right) = \frac{8 \cdot 25 \cdot x^9y^{12}a^4b^3}{125 \cdot 24 \cdot a^6b^3x^8y^{13}}$

3. Сократим коэффициенты и переменные:

Коэффициенты: $\frac{8 \cdot 25}{125 \cdot 24} = \frac{8}{24} \cdot \frac{25}{125} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15}$

Переменные: $\frac{x^9}{x^8} = x$, $\frac{y^{12}}{y^{13}} = \frac{1}{y}$, $\frac{a^4}{a^6} = \frac{1}{a^2}$, $\frac{b^3}{b^3} = 1$

4. Объединим результаты:

$\frac{x}{15a^2y}$

Ответ: $\frac{x}{15a^2y}$

г) $\left(-\frac{10p^2q^2}{3a^3}\right)^2 : \left(-\frac{25p^3q^3}{27a^6}\right)$

1. Возведем первую дробь в квадрат. Степень четная, поэтому знак "минус" исчезает:

$\left(-\frac{10p^2q^2}{3a^3}\right)^2 = \frac{10^2(p^2)^2(q^2)^2}{3^2(a^3)^2} = \frac{100p^4q^4}{9a^6}$

2. Заменим деление умножением на обратную дробь. Делим положительное число на отрицательное, поэтому результат будет отрицательным:

$\frac{100p^4q^4}{9a^6} \cdot \left(-\frac{27a^6}{25p^3q^3}\right) = -\frac{100 \cdot 27 \cdot p^4q^4a^6}{9 \cdot 25 \cdot a^6p^3q^3}$

3. Сократим коэффициенты и переменные:

Коэффициенты: $\frac{100 \cdot 27}{9 \cdot 25} = \frac{100}{25} \cdot \frac{27}{9} = 4 \cdot 3 = 12$

Переменные: $\frac{p^4}{p^3} = p$, $\frac{q^4}{q^3} = q$, $\frac{a^6}{a^6} = 1$

4. Объединим результаты, не забывая про знак "минус":

$-12pq$

Ответ: $-12pq$