Номер 5.35, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 5.35, страница 41.

Условие.

5.35 a) $\frac{x^2y}{25y^2 - 4} \cdot \frac{15y + 6}{3xy^2};$

б) $\frac{7 - 2x}{22a^2b^2} : \frac{4x^2 - 49}{11ab^3};$

в) $\frac{m^2n}{64n^2 - 9} : \frac{5mn}{8n + 3};$

г) $\frac{24c^2d}{9p^2 - 25} \cdot \frac{5 - 3p}{12cd^3};$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы выполнить умножение дробей $\frac{x^2y}{25y^2 - 4} \cdot \frac{15y + 6}{3xy^2}$, разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй.
Знаменатель $25y^2 - 4$ является разностью квадратов: $25y^2 - 4 = (5y)^2 - 2^2 = (5y - 2)(5y + 2)$.
В числителе $15y + 6$ вынесем общий множитель $3$ за скобки: $15y + 6 = 3(5y + 2)$.
Подставим разложенные выражения обратно в пример:
$\frac{x^2y}{(5y - 2)(5y + 2)} \cdot \frac{3(5y + 2)}{3xy^2}$
Теперь можно сократить общие множители в числителе и знаменателе: $3$, $x$, $y$, и $(5y+2)$.
$\frac{x^{\cancel{2}}\cancel{y}}{(5y - 2)(\cancel{5y + 2})} \cdot \frac{\cancel{3}(\cancel{5y + 2})}{\cancel{3}\cancel{x}y^{\cancel{2}}} = \frac{x}{(5y - 2)y} = \frac{x}{5y^2 - 2y}$
Ответ: $\frac{x}{y(5y-2)}$

б) Чтобы выполнить деление дробей $\frac{7 - 2x}{22a^2b^2} : \frac{4x^2 - 49}{11ab^3}$, заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{7 - 2x}{22a^2b^2} \cdot \frac{11ab^3}{4x^2 - 49}$
Разложим на множители выражения. В числителе $7 - 2x$ вынесем знак минус: $7 - 2x = -(2x - 7)$.
Знаменатель $4x^2 - 49$ — это разность квадратов: $4x^2 - 49 = (2x)^2 - 7^2 = (2x - 7)(2x + 7)$.
Подставляем в выражение:
$\frac{-(2x - 7)}{22a^2b^2} \cdot \frac{11ab^3}{(2x - 7)(2x + 7)}$
Сокращаем общие множители: $(2x - 7)$, $11$, $a$, $b^2$.
$\frac{-(\cancel{2x - 7})}{\cancel{22}_2 a^{\cancel{2}} \cancel{b^2}} \cdot \frac{\cancel{11}\cancel{a}b^{\cancel{3}}}{(\cancel{2x - 7})(2x + 7)} = \frac{-b}{2a(2x+7)}$
Ответ: $-\frac{b}{2a(2x+7)}$

в) Чтобы выполнить деление дробей $\frac{m^2n}{64n^2 - 9} : \frac{5mn}{8n + 3}$, заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{m^2n}{64n^2 - 9} \cdot \frac{8n + 3}{5mn}$
Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $64n^2 - 9 = (8n)^2 - 3^2 = (8n - 3)(8n + 3)$.
Получаем:
$\frac{m^2n}{(8n - 3)(8n + 3)} \cdot \frac{8n + 3}{5mn}$
Сокращаем общие множители $m$, $n$ и $(8n+3)$:
$\frac{m^{\cancel{2}}\cancel{n}}{(8n - 3)(\cancel{8n + 3})} \cdot \frac{\cancel{8n + 3}}{5\cancel{m}\cancel{n}} = \frac{m}{5(8n-3)}$
Ответ: $\frac{m}{5(8n-3)}$

г) Чтобы выполнить умножение дробей $\frac{24c^2d}{9p^2 - 25} \cdot \frac{5 - 3p}{12cd^3}$, разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй.
Знаменатель $9p^2 - 25$ — это разность квадратов: $9p^2 - 25 = (3p - 5)(3p + 5)$.
В числителе $5 - 3p$ вынесем знак минус: $5 - 3p = -(3p - 5)$.
Подставляем в выражение:
$\frac{24c^2d}{(3p - 5)(3p + 5)} \cdot \frac{-(3p - 5)}{12cd^3}$
Перемножим и сократим общие множители: $12$, $c$, $d$ и $(3p-5)$.
$\frac{\cancel{24}_2 c^{\cancel{2}}\cancel{d}}{(\cancel{3p - 5})(3p + 5)} \cdot \frac{-(\cancel{3p - 5})}{\cancel{12}\cancel{c}d^{\cancel{3}}_{d^2}} = \frac{2c \cdot (-1)}{(3p+5) \cdot d^2} = -\frac{2c}{d^2(3p+5)}$
Ответ: $-\frac{2c}{d^2(3p+5)}$