Номер 5.42, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 5.42, страница 42.

Условие.

5.42 а) $ \frac{x - 3}{2x + 4} \cdot \frac{x^2 - 4}{x^3 - 27} : \frac{x^2 + 3x + 9}{x^2 - 2x} $;

б) $ \frac{a^2 - 16}{2a - a^2} \cdot \frac{ab - 2b}{a^2 + 8a + 16} : \frac{a - 4}{4b} $;

в) $ \frac{b^2 - 10b + 25}{5b - 10} : \frac{b^2 - 25}{2b - b^2} \cdot \frac{b + 5}{5b} $;

г) $ \frac{a^3 + 8}{3a - 6} : \frac{a^2 + 4a + 4}{a^2 - 2a} \cdot \frac{a^2 - 2a + 4}{a^2 - 4} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы упростить выражение, разложим числители и знаменатели дробей на множители и затем сократим общие множители.

Исходное выражение: $ \frac{x-3}{2x+4} \cdot \frac{x^2-4}{x^3-27} \cdot \frac{x^2+3x+9}{x^2-2x} $

Разложим на множители каждый числитель и знаменатель:

• $2x+4 = 2(x+2)$
• $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ (формула разности квадратов)
• $x^3-27 = x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2+3x+9)$ (формула разности кубов)
• $x^2-2x = x(x-2)$

Подставим разложенные выражения обратно в исходное:

$ \frac{x-3}{2(x+2)} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{(x-3)(x^2+3x+9)} \cdot \frac{x^2+3x+9}{x(x-2)} $

Теперь сократим одинаковые множители в числителях и знаменателях:

$ \frac{\cancel{x-3}}{2\cancel{(x+2)}} \cdot \frac{\cancel{(x-2)}\cancel{(x+2)}}{(\cancel{x-3})\cancel{(x^2+3x+9)}} \cdot \frac{\cancel{x^2+3x+9}}{x\cancel{(x-2)}} $

После сокращения остается:

$ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2x} $

Ответ: $ \frac{1}{2x} $

---

б) Сначала заменим деление на умножение, перевернув дробь, на которую делим. Затем разложим на множители и сократим.

Исходное выражение: $ \frac{a^2-16}{2a-a^2} \cdot \frac{ab-2b}{a^2+8a+16} : \frac{a-4}{4b} = \frac{a^2-16}{2a-a^2} \cdot \frac{ab-2b}{a^2+8a+16} \cdot \frac{4b}{a-4} $

Разложим на множители:

• $a^2-16 = (a-4)(a+4)$ (разность квадратов)
• $2a-a^2 = a(2-a) = -a(a-2)$
• $ab-2b = b(a-2)$
• $a^2+8a+16 = (a+4)^2$ (квадрат суммы)

Подставим разложенные выражения:

$ \frac{(a-4)(a+4)}{-a(a-2)} \cdot \frac{b(a-2)}{(a+4)^2} \cdot \frac{4b}{a-4} $

Сократим общие множители:

$ \frac{\cancel{(a-4)}\cancel{(a+4)}}{-a\cancel{(a-2)}} \cdot \frac{b\cancel{(a-2)}}{(\cancel{a+4})(a+4)} \cdot \frac{4b}{\cancel{a-4}} $

После сокращения получаем:

$ \frac{1}{-a} \cdot \frac{b}{a+4} \cdot \frac{4b}{1} = \frac{4b^2}{-a(a+4)} = -\frac{4b^2}{a(a+4)} $

Ответ: $ -\frac{4b^2}{a(a+4)} $

---

в) Заменим деление на умножение на обратную дробь, а затем разложим многочлены на множители для сокращения.

Исходное выражение: $ \frac{b^2-10b+25}{5b-10} : \frac{b^2-25}{2b-b^2} \cdot \frac{b+5}{5b} = \frac{b^2-10b+25}{5b-10} \cdot \frac{2b-b^2}{b^2-25} \cdot \frac{b+5}{5b} $

Разложим на множители:

• $b^2-10b+25 = (b-5)^2$ (квадрат разности)
• $5b-10 = 5(b-2)$
• $2b-b^2 = b(2-b) = -b(b-2)$
• $b^2-25 = (b-5)(b+5)$ (разность квадратов)

Подставим разложенные выражения:

$ \frac{(b-5)^2}{5(b-2)} \cdot \frac{-b(b-2)}{(b-5)(b+5)} \cdot \frac{b+5}{5b} $

Сократим общие множители:

$ \frac{(\cancel{b-5})(b-5)}{5\cancel{(b-2)}} \cdot \frac{-\cancel{b}\cancel{(b-2)}}{(\cancel{b-5})\cancel{(b+5)}} \cdot \frac{\cancel{b+5}}{5\cancel{b}} $

После сокращения получаем:

$ \frac{b-5}{5} \cdot \frac{-1}{1} \cdot \frac{1}{5} = \frac{-(b-5)}{25} = \frac{5-b}{25} $

Ответ: $ \frac{5-b}{25} $

---

г) Заменим оба знака деления на умножение, перевернув соответствующие дроби. Затем разложим все на множители.

Исходное выражение: $ \frac{a^3+8}{3a-6} : \frac{a^2+4a+4}{a^2-2a} : \frac{a^2-2a+4}{a^2-4} = \frac{a^3+8}{3a-6} \cdot \frac{a^2-2a}{a^2+4a+4} \cdot \frac{a^2-4}{a^2-2a+4} $

Разложим на множители:

• $a^3+8 = a^3+2^3 = (a+2)(a^2-2a+4)$ (сумма кубов)
• $3a-6 = 3(a-2)$
• $a^2-2a = a(a-2)$
• $a^2+4a+4 = (a+2)^2$ (квадрат суммы)
• $a^2-4 = (a-2)(a+2)$ (разность квадратов)

Подставим разложенные выражения:

$ \frac{(a+2)(a^2-2a+4)}{3(a-2)} \cdot \frac{a(a-2)}{(a+2)^2} \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{a^2-2a+4} $

Сгруппируем все числители и знаменатели и проведем сокращение:

$ \frac{(a+2)(a^2-2a+4) \cdot a(a-2) \cdot (a-2)(a+2)}{3(a-2) \cdot (a+2)^2 \cdot (a^2-2a+4)} = \frac{a(a-2)\cancel{(a-2)}\cancel{(a+2)^2}\cancel{(a^2-2a+4)}}{3\cancel{(a-2)}\cancel{(a+2)^2}\cancel{(a^2-2a+4)}} $

После сокращения получаем:

$ \frac{a(a-2)}{3} $

Ответ: $ \frac{a(a-2)}{3} $