Номер 5.46, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 5.46, страница 43.

Условие.

5.46 Докажите, что при всех допустимых значениях переменных выражение принимает одно и то же значение:

a) $\left(\frac{2x^2y^3}{x + y}\right)^3 : \left(\frac{x^6y^9}{x^2 - y^2} \cdot \frac{8x - 8y}{x^2 + 2xy + y^2}\right)$;

б) $\left(\frac{a - 3}{3a^2b}\right)^2 : \left(\frac{9 - a^2}{18a^3b} \cdot \frac{a^2b + 3ab}{2a - 6}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы доказать утверждение, упростим данное выражение по действиям.

1. Возведем в куб первую дробь, используя свойство степени $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$(\frac{2x^2y^3}{x+y})^3 = \frac{(2x^2y^3)^3}{(x+y)^3} = \frac{2^3(x^2)^3(y^3)^3}{(x+y)^3} = \frac{8x^6y^9}{(x+y)^3}$

2. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим на множители знаменатели и числитель второй дроби, используя формулы разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$\frac{x^6y^9}{x^2-y^2} \cdot \frac{8x-8y}{x^2+2xy+y^2} = \frac{x^6y^9}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{8(x-y)}{(x+y)^2}$
Теперь сократим общие множители $(x-y)$:
$= \frac{x^6y^9 \cdot 8}{(x+y) \cdot (x+y)^2} = \frac{8x^6y^9}{(x+y)^3}$

3. Выполним деление результата первого действия на результат второго. Деление одинаковых выражений дает в результате 1.
$\frac{8x^6y^9}{(x+y)^3} : \frac{8x^6y^9}{(x+y)^3} = 1$

Мы получили, что значение выражения равно 1. Это значение не зависит от переменных $x$ и $y$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели дробей и делитель не равны нулю: $x+y \neq 0$, $x^2-y^2 \neq 0$, а также числители делителя $x^6y^9 \neq 0$ и $8x-8y \neq 0$. Это сводится к условиям: $x \neq \pm y$, $x \neq 0$ и $y \neq 0$. При соблюдении этих условий выражение всегда равно 1.
Ответ: 1.

б)

Упростим данное выражение по действиям.

1. Возведем в квадрат первую дробь:
$(\frac{a-3}{3a^2b})^2 = \frac{(a-3)^2}{(3a^2b)^2} = \frac{(a-3)^2}{9a^4b^2}$

2. Упростим выражение в скобках. Разложим числители и знаменатели на множители и заменим деление умножением на обратную дробь:
$\frac{9-a^2}{18a^3b} : \frac{a^2b+3ab}{2a-6} = \frac{(3-a)(3+a)}{18a^3b} : \frac{ab(a+3)}{2(a-3)}$
$= \frac{(3-a)(3+a)}{18a^3b} \cdot \frac{2(a-3)}{ab(a+3)}$
Используем тождество $3-a = -(a-3)$ и сократим общие множители $(a+3)$, а также числовые коэффициенты 2 и 18:
$= \frac{-(a-3)(a+3)}{18a^3b} \cdot \frac{2(a-3)}{ab(a+3)} = \frac{-2(a-3)^2(a+3)}{18a^4b^2(a+3)} = \frac{-(a-3)^2}{9a^4b^2}$

3. Выполним деление результата первого действия на результат второго действия:
$\frac{(a-3)^2}{9a^4b^2} : \left(\frac{-(a-3)^2}{9a^4b^2}\right) = \frac{(a-3)^2}{9a^4b^2} \cdot \frac{9a^4b^2}{-(a-3)^2} = -1$

Мы получили, что значение выражения равно -1. Это значение не зависит от переменных $a$ и $b$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых все знаменатели и все делители не равны нулю. Это сводится к условиям: $a \neq 0$, $b \neq 0$, $a \neq 3$ и $a \neq -3$. При соблюдении этих условий выражение всегда равно -1.
Ответ: -1.