Номер 6.6, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 6. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 6.6, страница 44.

Условие.

6.6 а) $\left(\frac{1+c^3}{1+c} - c\right) \cdot \frac{1+c}{1-c^2}$;

б) $\frac{b+3}{b^3+9b} \cdot \left(\frac{b+3}{b-3} + \frac{b-3}{b+3}\right)$;

в) $\left(\frac{3d+1}{2d+2} - 1\right) : \frac{6d-6}{d+1}$;

г) $\frac{x^2-9}{2x^2+1} \cdot \left(\frac{6x+1}{x-3} + \frac{6x-1}{x+3}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Упростим выражение $(\frac{1+c^3}{1+c} - c) \cdot \frac{1+c}{1-c^2}$.

1. Сначала упростим выражение в скобках. Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ к дроби $\frac{1+c^3}{1+c}$:

$\frac{1+c^3}{1+c} = \frac{(1+c)(1^2 - 1 \cdot c + c^2)}{1+c} = 1 - c + c^2$.

2. Теперь подставим это в скобки и вычтем $c$:

$(1 - c + c^2) - c = 1 - 2c + c^2$.

Полученное выражение является полным квадратом: $1 - 2c + c^2 = (1-c)^2$.

3. Упростим второй множитель $\frac{1+c}{1-c^2}$. Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ для знаменателя:

$\frac{1+c}{1-c^2} = \frac{1+c}{(1-c)(1+c)} = \frac{1}{1-c}$.

4. Перемножим полученные выражения:

$(1-c)^2 \cdot \frac{1}{1-c} = \frac{(1-c)^2}{1-c} = 1-c$.

Ответ: $1-c$.

б)

Упростим выражение $\frac{b+3}{b^3+9b} \cdot (\frac{b+3}{b-3} + \frac{b-3}{b+3})$.

1. Сначала выполним сложение дробей в скобках. Общий знаменатель для дробей $\frac{b+3}{b-3}$ и $\frac{b-3}{b+3}$ будет $(b-3)(b+3) = b^2-9$.

$\frac{b+3}{b-3} + \frac{b-3}{b+3} = \frac{(b+3)(b+3)}{(b-3)(b+3)} + \frac{(b-3)(b-3)}{(b-3)(b+3)} = \frac{(b+3)^2 + (b-3)^2}{b^2-9}$.

2. Раскроем квадраты в числителе:

$(b+3)^2 = b^2+6b+9$

$(b-3)^2 = b^2-6b+9$

$(b^2+6b+9) + (b^2-6b+9) = 2b^2+18 = 2(b^2+9)$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{2(b^2+9)}{b^2-9}$.

3. Теперь умножим первый множитель на полученное выражение. Разложим знаменатель первого множителя на множители: $b^3+9b = b(b^2+9)$.

$\frac{b+3}{b(b^2+9)} \cdot \frac{2(b^2+9)}{b^2-9}$

4. Сократим одинаковые множители $(b^2+9)$:

$\frac{b+3}{b} \cdot \frac{2}{b^2-9}$

Разложим знаменатель $b^2-9$ по формуле разности квадратов: $b^2-9 = (b-3)(b+3)$.

$\frac{b+3}{b} \cdot \frac{2}{(b-3)(b+3)}$

5. Сократим одинаковые множители $(b+3)$:

$\frac{1}{b} \cdot \frac{2}{b-3} = \frac{2}{b(b-3)}$.

Ответ: $\frac{2}{b(b-3)}$.

в)

Упростим выражение $(\frac{3d+1}{2d+2} - 1) : \frac{6d-6}{d+1}$.

1. Сначала выполним вычитание в скобках. Вынесем общий множитель в знаменателе первой дроби: $2d+2 = 2(d+1)$.

$\frac{3d+1}{2(d+1)} - 1 = \frac{3d+1}{2(d+1)} - \frac{2(d+1)}{2(d+1)} = \frac{3d+1 - 2(d+1)}{2(d+1)}$.

2. Раскроем скобки в числителе:

$\frac{3d+1 - 2d - 2}{2(d+1)} = \frac{d-1}{2(d+1)}$.

3. Теперь разделим полученное выражение на вторую дробь. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{d-1}{2(d+1)} : \frac{6d-6}{d+1} = \frac{d-1}{2(d+1)} \cdot \frac{d+1}{6d-6}$.

4. Вынесем общий множитель в числителе второй дроби: $6d-6 = 6(d-1)$.

$\frac{d-1}{2(d+1)} \cdot \frac{d+1}{6(d-1)}$

5. Сократим одинаковые множители $(d-1)$ и $(d+1)$:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.

г)

Упростим выражение $\frac{x^2-9}{2x^2+1} \cdot (\frac{6x+1}{x-3} + \frac{6x-1}{x+3})$.

1. Сначала выполним сложение дробей в скобках. Общий знаменатель для дробей $\frac{6x+1}{x-3}$ и $\frac{6x-1}{x+3}$ будет $(x-3)(x+3)$.

$\frac{(6x+1)(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{(6x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{(6x+1)(x+3) + (6x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}$.

2. Раскроем скобки в числителе:

$(6x+1)(x+3) = 6x^2 + 18x + x + 3 = 6x^2 + 19x + 3$

$(6x-1)(x-3) = 6x^2 - 18x - x + 3 = 6x^2 - 19x + 3$

Сложим полученные выражения: $(6x^2+19x+3) + (6x^2-19x+3) = 12x^2+6 = 6(2x^2+1)$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{6(2x^2+1)}{(x-3)(x+3)}$.

3. Теперь умножим первый множитель на полученное выражение. Разложим числитель первого множителя по формуле разности квадратов: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$.

$\frac{(x-3)(x+3)}{2x^2+1} \cdot \frac{6(2x^2+1)}{(x-3)(x+3)}$

4. Сократим одинаковые множители $(x-3)(x+3)$ и $(2x^2+1)$:

$\frac{1}{1} \cdot \frac{6}{1} = 6$.

Ответ: $6$.