Страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

2. Какое получится множество, если к множеству всех целых чисел присоединить все обыкновенные дроби? Как его обозначают?

Какое получится множество, если к множеству всех целых чисел присоединить все обыкновенные дроби?

Множество всех целых чисел, обозначаемое как $\mathbb{Z}$, включает в себя натуральные числа (1, 2, 3, ...), противоположные им числа (-1, -2, -3, ...) и ноль. Таким образом, $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.

Обыкновенные дроби — это числа, которые можно записать в виде $\frac{m}{n}$, где $m$ является целым числом, а $n$ — натуральным числом (то есть целым положительным числом).

Операция "присоединить" в теории множеств означает объединение. Нам нужно найти объединение множества целых чисел и множества обыкновенных дробей.

Важно заметить, что любое целое число $z$ можно представить в виде обыкновенной дроби. Для этого достаточно записать его со знаменателем 1: $z = \frac{z}{1}$. Например, $5 = \frac{5}{1}$, $-3 = \frac{-3}{1}$, $0 = \frac{0}{1}$.

Это означает, что множество всех целых чисел ($\mathbb{Z}$) является подмножеством множества всех обыкновенных дробей. Когда мы объединяем множество с его подмножеством, в результате получается само это большее множество.

Таким образом, если к множеству всех целых чисел присоединить все обыкновенные дроби, мы получим множество, состоящее из всех чисел, которые можно представить в виде дроби. Такое множество называется множеством рациональных чисел.

Рациональное число — это число, представимое в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}$ и $n \in \mathbb{N}$.

Ответ: Получится множество рациональных чисел.

Как его обозначают?

Множество рациональных чисел принято обозначать заглавной латинской буквой $Q$ или стилизованной буквой $\mathbb{Q}$.

Это обозначение происходит от немецкого слова Quotient, что в переводе означает "частное", так как каждое рациональное число является результатом деления (частным) двух целых чисел.

Формально это множество можно определить так: $\mathbb{Q} = \{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \}$.

Ответ: Это множество обозначают символом $\mathbb{Q}$ (или $Q$).

4. Какие новые математические символы вы изучили в этом параграфе? Проговорите их названия и запишите соответствующие обозначения на математическом языке.

В этом параграфе, скорее всего, были изучены новые математические символы, связанные с теорией множеств, числовыми множествами и промежутками. Вот их список с названиями и обозначениями:

Знак принадлежности

Этот символ показывает, что некоторый элемент является частью множества. Произносится как "принадлежит". Например, запись $a \in M$ означает, что элемент $a$ принадлежит множеству $M$.

Ответ: $\in$

Знак пересечения множеств

Этот символ обозначает операцию нахождения общих элементов для двух или более множеств. Результатом является множество, содержащее только те элементы, которые есть во всех исходных множествах. Читается как "пересечение". Например, запись $A \cap B$ — это множество элементов, принадлежащих и $A$, и $B$.

Ответ: $\cap$

Знак объединения множеств

Этот символ обозначает операцию, результатом которой является множество, содержащее все элементы из исходных множеств без повторений. Читается как "объединение". Например, запись $A \cup B$ — это множество элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств: $A$ или $B$.

Ответ: $\cup$

Знак подмножества (включения)

Символ показывает, что все элементы одного множества также являются элементами другого множества. Читается как "является подмножеством" или "содержится в". Запись $A \subset B$ означает, что множество $A$ является подмножеством множества $B$.

Ответ: $\subset$

Знак пустого множества

Этот специальный символ используется для обозначения множества, в котором нет ни одного элемента. Читается как "пустое множество".

Ответ: $\emptyset$

Множество натуральных чисел

Специальная буква для обозначения множества чисел, используемых при счете (1, 2, 3, ...). Читается как "эн".

Ответ: $\mathbb{N}$

Множество целых чисел

Символ для обозначения множества, включающего натуральные числа, им противоположные и ноль (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...). Читается как "зет".

Ответ: $\mathbb{Z}$

Множество рациональных чисел

Символ для множества чисел, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$. Читается как "ку".

Ответ: $\mathbb{Q}$

Множество действительных (вещественных) чисел

Символ для множества, которое объединяет рациональные и иррациональные числа. Оно соответствует всем точкам на числовой прямой. Читается как "эр".

Ответ: $\mathbb{R}$

Круглые скобки (открытый интервал)

Используются для обозначения числовых промежутков, не включающих свои концы (граничные точки). Например, запись $(a, b)$ означает все числа между $a$ и $b$. Читается "интервал от а до бэ".

Ответ: $( \ )$

Квадратные скобки (отрезок)

Используются для обозначения числовых промежутков, включающих свои концы. Например, запись $[a, b]$ означает все числа между $a$ и $b$, включая сами числа $a$ и $b$. Читается "отрезок от а до бэ".

Ответ: $[ \ ]$

Знак бесконечности

Этот символ используется для обозначения безграничности, например, в числовых промежутках, которые не имеют конца. Читается как "бесконечность". Например, запись $[0, +\infty)$ означает все неотрицательные числа.

Ответ: $\infty$

6. Что такое бесконечная десятичная периодическая дробь?

Бесконечная десятичная периодическая дробь — это бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого знака после запятой, одна цифра или определенная группа цифр начинает бесконечно повторяться. Эта повторяющаяся группа цифр называется периодом дроби и при записи заключается в круглые скобки.

Например:

• Обыкновенная дробь $\frac{1}{3}$ в десятичной форме равна $0,333...$ Это записывается как $0,(3)$. Здесь период — цифра $3$.

• Обыкновенная дробь $\frac{8}{33}$ в десятичной форме равна $0,242424...$ Это записывается как $0,(24)$. Здесь период — группа цифр $24$.

Существует два вида периодических дробей:

• Чистая периодическая дробь, у которой период начинается сразу после запятой. Например: $0,(3)$; $5,(12)$.

• Смешанная периодическая дробь, у которой между запятой и периодом есть одна или несколько цифр, не входящих в него. Например: $0,58333... = 0,58(3)$. Здесь цифры $58$ стоят до периода, а период — это цифра $3$.

Периодические дроби возникают при переводе обыкновенной несократимой дроби $\frac{m}{n}$ в десятичную путем деления числителя на знаменатель, если в разложении знаменателя $n$ на простые множители присутствуют числа, отличные от $2$ и $5$. Это фундаментальное свойство рациональных чисел: любое рациональное число можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической. Справедливо и обратное: любая бесконечная периодическая дробь представляет собой рациональное число.

Ответ: Бесконечная десятичная периодическая дробь — это способ записи рациональных чисел в виде бесконечной десятичной дроби, в которой одна или несколько цифр после запятой, называемые периодом, повторяются в одной и той же последовательности бесконечное число раз. Например, $0,666... = 0,(6)$ или $1,2343434... = 1,2(34)$.

8. Верно ли утверждение: «Любую бесконечную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби»?

Да, данное утверждение абсолютно верно. Любая бесконечная периодическая десятичная дробь является представлением рационального числа, а любое рациональное число по определению можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число.

Чтобы доказать это, достаточно показать, как любую такую дробь можно преобразовать в обыкновенную. Рассмотрим два случая.

1. Чистая периодическая дробь

Это дробь, у которой период начинается сразу после запятой. Например, $0.(45) = 0.454545...$

Пусть $x = 0.454545...$

В периоде 2 цифры, поэтому умножим $x$ на $10^2 = 100$:

$100x = 45.454545...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое:

$100x - x = 45.454545... - 0.454545...$

$99x = 45$

$x = \frac{45}{99}$

Сократив дробь, получаем $x = \frac{5}{11}$. Как видим, мы представили бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной.

В общем виде, для дроби $x = 0.(p_1p_2...p_k)$, где в периоде $k$ цифр, формула будет: $x = \frac{p_1p_2...p_k}{10^k - 1}$.

2. Смешанная периодическая дробь

Это дробь, у которой между запятой и периодом есть одна или несколько цифр (мантисса). Например, $0.21(3) = 0.21333...$

Пусть $x = 0.21333...$

Сначала умножим $x$ на такое число, чтобы "освободить" непериодическую часть. В нашем случае это $10^2 = 100$, так как до периода 2 цифры:

$100x = 21.333...$

Теперь у нас есть число, у которого справа от запятой чистая периодическая дробь. Применим к нему тот же метод, что и в первом случае. В периоде 1 цифра, умножим на $10^1 = 10$:

$10 \cdot (100x) = 1000x = 213.333...$

Теперь вычтем из последнего уравнения предыдущее:

$1000x - 100x = 213.333... - 21.333...$

$900x = 213 - 21$

$900x = 192$

$x = \frac{192}{900}$

Сократив дробь, получаем $x = \frac{16}{75}$. Снова удалось представить бесконечную дробь в виде обыкновенной.

В общем виде, для дроби $x = 0.d_1...d_m(p_1...p_k)$ с $m$ цифрами до периода и $k$ цифрами в периоде, мы всегда можем выполнить аналогичные алгебраические преобразования, которые приведут к уравнению вида $A \cdot x = B$, где $A$ и $B$ — целые числа. Решением будет $x = \frac{B}{A}$, что и является обыкновенной дробью.

Таким образом, любая бесконечная периодическая дробь может быть преобразована в обыкновенную дробь.

Ответ: Да, утверждение верно.

1. Какое множество называют множеством натуральных чисел? Множеством целых чисел? Как их обозначают в математике?

Множество натуральных чисел

Множеством натуральных чисел называют множество чисел, которые используются при счете (нумерации) предметов. Это положительные целые числа, начиная с единицы. Например, 1, 2, 3, 10, 100 и так далее. В математическом анализе и большинстве российских школьных учебников принято считать, что ряд натуральных чисел начинается с 1. Однако в некоторых разделах математики, таких как теория множеств или информатика, натуральный ряд могут начинать с 0.

Для обозначения множества натуральных чисел в математике используется специальный символ — прописная латинская буква $N$ в полужирном начертании (так называемый «блэкборд болд»). В формате KaTeX это записывается как $\mathbb{N}$.

Таким образом, множество натуральных чисел (в стандартном понимании) можно записать как:$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$

Ответ: Множество натуральных чисел — это числа, используемые при счете предметов (1, 2, 3, ...). В математике оно обозначается символом $\mathbb{N}$.

Множество целых чисел

Множество целых чисел является расширением множества натуральных чисел. Оно включает в себя все натуральные числа, число ноль, а также все числа, противоположные натуральным (то есть отрицательные целые числа).

Для обозначения множества целых чисел используется символ $\mathbb{Z}$. Эта буква была выбрана, так как она является первой буквой немецкого слова Zahlen, что переводится как «числа».

Множество целых чисел можно представить следующим образом:$\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$
Или, используя обозначение для натуральных чисел:$\mathbb{Z} = \mathbb{N} \cup \{0\} \cup \{-n \mid n \in \mathbb{N}\}$

Ответ: Множество целых чисел — это объединение натуральных чисел, нуля и отрицательных целых чисел ($\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$). В математике оно обозначается символом $\mathbb{Z}$.

3. Сформулируйте определение множества рациональных чисел.

3. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом ($m \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Также распространено эквивалентное, более общее определение, где знаменатель $n$ является любым целым числом, не равным нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$).

Множество всех рациональных чисел принято обозначать символом $\mathbb{Q}$ (от латинского quotient — частное).

Формально, множество рациональных чисел можно определить одним из следующих способов:

$\mathbb{Q} = \{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \}$

или

$\mathbb{Q} = \{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 \}$

Из этого определения следует, что любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, число 5 можно записать как $\frac{5}{1}$. Таким образом, множество целых чисел $\mathbb{Z}$ является подмножеством множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$ ($\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$).

Примеры рациональных чисел: $\frac{1}{2}$; $-\frac{3}{4}$; $7$ (так как $7 = \frac{7}{1}$); $0$ (так как $0 = \frac{0}{1}$); $0.25$ (так как $0.25 = \frac{1}{4}$); $-1.5$ (так как $-1.5 = -\frac{3}{2}$).

Альтернативное определение множества рациональных чисел связано с их представлением в виде десятичной дроби:

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Например: $\frac{3}{8} = 0.375$ (конечная десятичная дробь); $\frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3)$ (бесконечная периодическая десятичная дробь); $\frac{5}{6} = 0.8333... = 0.8(3)$ (смешанная периодическая дробь). Любая конечная или периодическая десятичная дробь может быть преобразована в обыкновенную дробь вида $\frac{m}{n}$, и наоборот.

Ответ: Множество рациональных чисел ($\mathbb{Q}$) — это множество всех чисел, которые могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$) или, в более общем определении, любое целое число, не равное нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$). Эквивалентно, это множество чисел, представляемых в виде конечных или бесконечных периодических десятичных дробей.

5. В каком случае используется знак $ \in $, а в каком — знак $ \subset $?

Знак ∈

Знак принадлежности ∈ (читается как «принадлежит» или «является элементом») используется для описания связи между отдельным элементом и множеством. Он показывает, что объект, указанный слева от знака, является одним из членов (элементов) множества, указанного справа.

Например, если у нас есть множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$, то запись $5 \in N$ верна, так как 5 — это натуральное число и, следовательно, элемент этого множества. Запись $0.5 \in N$ будет неверной, так как 0.5 не является элементом множества натуральных чисел.

Ответ: Знак ∈ используется для того, чтобы показать, что конкретный элемент принадлежит множеству.

Знак ⊂

Знак включения ⊂ (читается как «является подмножеством» или «содержится в») используется для описания связи между двумя множествами. Он показывает, что каждое множество, расположенное слева от знака, полностью входит в состав множества, расположенного справа. То есть, все элементы первого множества также являются элементами второго множества.

Например, рассмотрим множество $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ и множество $B = \{2, 3\}$. Так как все элементы множества $B$ (числа 2 и 3) также являются элементами множества $A$, мы можем написать $B \subset A$. Важно отметить, что с обеих сторон от знака ⊂ должны находиться множества. Запись $2 \subset A$ некорректна, поскольку 2 — это элемент, а не множество. Правильной в данном случае будет запись $\{2\} \subset A$.

Ответ: Знак ⊂ используется для того, чтобы показать, что одно множество является частью (подмножеством) другого множества.

7. Что называют периодом дроби?

При преобразовании обыкновенной дроби в десятичную путем деления числителя на знаменатель может получиться либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная. Если в записи бесконечной десятичной дроби, начиная с некоторого знака после запятой, одна или группа цифр начинают повторяться в одной и той же последовательности, то такая дробь называется бесконечной периодической десятичной дробью (или просто периодической дробью).

Периодом дроби называют эту бесконечно повторяющуюся группу цифр. При записи таких чисел период принято заключать в круглые скобки.

Существует два вида периодических дробей:

1. Чистые периодические дроби. Это дроби, у которых период начинается сразу после запятой.
Пример: Дробь $\frac{1}{3}$ в десятичном виде записывается как $0,333...$. Это можно записать короче: $0,(3)$. Здесь периодом является цифра 3.
Другой пример: Дробь $\frac{5}{11}$ равна $0,454545...$, что записывается как $0,(45)$. Периодом является группа цифр 45.

2. Смешанные периодические дроби. Это дроби, у которых между запятой и периодом есть одна или несколько цифр, которые не повторяются. Эта часть называется предпериодом.
Пример: Дробь $\frac{7}{30}$ в десятичном виде равна $0,2333...$. Это записывается как $0,2(3)$. В этой дроби цифра 2 является предпериодом, а цифра 3 — периодом.
Другой пример: Дробь $\frac{5}{12}$ равна $0,41666...$, что записывается как $0,41(6)$. Здесь предпериод — 41, а период — 6.

Любая обыкновенная дробь может быть представлена либо в виде конечной, либо в виде периодической десятичной дроби. Бесконечные непериодические дроби, такие как $\pi \approx 3,14159265...$, представляют иррациональные числа и не могут быть записаны в виде обыкновенной дроби.

Ответ: Периодом дроби называется бесконечно повторяющаяся цифра или группа цифр в десятичной записи этой дроби.

5.39 a) $\frac{x^2 - 1}{x^3 + 1} : \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - x + 1}$;

б) $\frac{t^3 + 8}{12t^2 + 27t} \cdot \frac{4t + 9}{t^2 - 2t + 4}$;

в) $\frac{z^2 + 6z + 9}{z^3 + 27} : \frac{3z + 9}{z^2 - 3z + 9}$;

г) $\frac{y^3 - 8}{y^2 - 9} \cdot \frac{y + 3}{y^2 + 2y + 4}$.

а) Выполним действия с дробями. Исходное выражение: $ \frac{x^2 - 1}{x^3 + 1} : \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - x + 1} $.
Для упрощения разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения:
Разность квадратов: $ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) $.
Сумма кубов: $ x^3 + 1 = (x+1)(x^2-x+1) $.
Квадрат разности: $ x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 $.
Многочлен $ x^2 - x + 1 $ является неполным квадратом разности и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Подставим разложенные многочлены в исходное выражение:
$ \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} : \frac{(x-1)^2}{x^2-x+1} $
Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:
$ \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} \cdot \frac{x^2-x+1}{(x-1)^2} $
Сократим общие множители $ (x+1) $, $ (x^2-x+1) $ и $ (x-1) $:
$ \frac{\cancel{(x-1)}\cancel{(x+1)}}{\cancel{(x+1)}\cancel{(x^2-x+1)}} \cdot \frac{\cancel{x^2-x+1}}{(x-1)^{\cancel{2}}} = \frac{1}{x-1} $

Ответ: $ \frac{1}{x-1} $

б) Выполним действия с дробями. Исходное выражение: $ \frac{t^3 + 8}{12t^2 + 27t} \cdot \frac{4t + 9}{t^2 - 2t + 4} $.
Разложим числители и знаменатели на множители:
Сумма кубов: $ t^3 + 8 = t^3 + 2^3 = (t+2)(t^2-2t+4) $.
Вынесение общего множителя: $ 12t^2 + 27t = 3t(4t+9) $.
Подставим разложения в выражение:
$ \frac{(t+2)(t^2-2t+4)}{3t(4t+9)} \cdot \frac{4t+9}{t^2-2t+4} $
Сократим общие множители $ (t^2-2t+4) $ и $ (4t+9) $:
$ \frac{(t+2)\cancel{(t^2-2t+4)}}{3t\cancel{(4t+9)}} \cdot \frac{\cancel{4t+9}}{\cancel{t^2-2t+4}} = \frac{t+2}{3t} $

Ответ: $ \frac{t+2}{3t} $

в) Выполним действия с дробями. Исходное выражение: $ \frac{z^2 + 6z + 9}{z^3 + 27} : \frac{3z + 9}{z^2 - 3z + 9} $.
Разложим многочлены на множители:
Квадрат суммы: $ z^2 + 6z + 9 = (z+3)^2 $.
Сумма кубов: $ z^3 + 27 = z^3 + 3^3 = (z+3)(z^2-3z+9) $.
Вынесение общего множителя: $ 3z + 9 = 3(z+3) $.
Подставим разложения в выражение:
$ \frac{(z+3)^2}{(z+3)(z^2-3z+9)} : \frac{3(z+3)}{z^2-3z+9} $
Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{(z+3)^2}{(z+3)(z^2-3z+9)} \cdot \frac{z^2-3z+9}{3(z+3)} $
Запишем под одной чертой и сократим общие множители:
$ \frac{(z+3)^2 \cdot (z^2-3z+9)}{(z+3)(z^2-3z+9) \cdot 3(z+3)} = \frac{\cancel{(z+3)^2}\cancel{(z^2-3z+9)}}{3\cancel{(z+3)^2}\cancel{(z^2-3z+9)}} = \frac{1}{3} $

Ответ: $ \frac{1}{3} $

г) Выполним действия с дробями. Исходное выражение: $ \frac{y^3 - 8}{y^2 - 9} \cdot \frac{y + 3}{y^2 + 2y + 4} $.
Разложим числители и знаменатели на множители:
Разность кубов: $ y^3 - 8 = y^3 - 2^3 = (y-2)(y^2+2y+4) $.
Разность квадратов: $ y^2 - 9 = (y-3)(y+3) $.
Подставим разложения в выражение:
$ \frac{(y-2)(y^2+2y+4)}{(y-3)(y+3)} \cdot \frac{y+3}{y^2+2y+4} $
Сократим общие множители $ (y+3) $ и $ (y^2+2y+4) $:
$ \frac{(y-2)\cancel{(y^2+2y+4)}}{(y-3)\cancel{(y+3)}} \cdot \frac{\cancel{y+3}}{\cancel{y^2+2y+4}} = \frac{y-2}{y-3} $

Ответ: $ \frac{y-2}{y-3} $

5.40 a) $\frac{a^2 - 6a + 9}{1 - b^3} : \frac{2a - 6}{b^2 - 1};$

б) $\frac{c^3 - 8d^3}{2c + 4d} \cdot \frac{4d^2 - c^2}{(2d - c)^2};$

в) $\frac{b^2 - 6b + 9}{4b^2 - 6b + 9} \cdot \frac{27 + 8b^3}{6 - 2b};$

г) $\frac{(m - 1)^2}{4 + 4m^3} : \frac{1 - m^2}{(2m + 2)^2};$

а)

Исходное выражение: $ \frac{a^2 - 6a + 9}{1 - b^3} : \frac{2a - 6}{b^2 - 1} $.

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй: $ \frac{a^2 - 6a + 9}{1 - b^3} \cdot \frac{b^2 - 1}{2a - 6} $.

Разложим на множители числители и знаменатели дробей, используя формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки.

Числитель первой дроби (квадрат разности):
$ a^2 - 6a + 9 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = (a - 3)^2 $.

Знаменатель первой дроби (разность кубов):
$ 1 - b^3 = 1^3 - b^3 = (1 - b)(1^2 + 1 \cdot b + b^2) = (1 - b)(1 + b + b^2) $.

Числитель второй дроби (разность квадратов):
$ b^2 - 1 = (b - 1)(b + 1) $.

Знаменатель второй дроби (вынесение общего множителя):
$ 2a - 6 = 2(a - 3) $.

Подставим разложенные выражения обратно в пример: $ \frac{(a - 3)^2}{(1 - b)(1 + b + b^2)} \cdot \frac{(b - 1)(b + 1)}{2(a - 3)} $.

Заметим, что $ (b - 1) = -(1 - b) $. Заменим, чтобы можно было сократить: $ \frac{(a - 3)^2}{(1 - b)(1 + b + b^2)} \cdot \frac{-(1 - b)(b + 1)}{2(a - 3)} $.

Сокращаем общие множители $ (a-3) $ и $ (1-b) $: $ \frac{a - 3}{1 + b + b^2} \cdot \frac{-(b + 1)}{2} = -\frac{(a - 3)(b + 1)}{2(1 + b + b^2)} $.

Ответ: $ -\frac{(a - 3)(b + 1)}{2(1 + b + b^2)} $

б)

Исходное выражение: $ \frac{c^3 - 8d^3}{2c + 4d} \cdot \frac{4d^2 - c^2}{(2d - c)^2} $.

Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

Числитель первой дроби (разность кубов):
$ c^3 - 8d^3 = c^3 - (2d)^3 = (c - 2d)(c^2 + c \cdot 2d + (2d)^2) = (c - 2d)(c^2 + 2cd + 4d^2) $.

Знаменатель первой дроби (вынесение общего множителя):
$ 2c + 4d = 2(c + 2d) $.

Числитель второй дроби (разность квадратов):
$ 4d^2 - c^2 = (2d)^2 - c^2 = (2d - c)(2d + c) $.

Подставим разложенные выражения: $ \frac{(c - 2d)(c^2 + 2cd + 4d^2)}{2(c + 2d)} \cdot \frac{(2d - c)(2d + c)}{(2d - c)^2} $.

Заметим, что $ (c - 2d) = -(2d - c) $ и $ (c + 2d) = (2d + c) $. Подставим и сгруппируем множители для сокращения: $ \frac{-(2d - c)(c^2 + 2cd + 4d^2) \cdot (2d - c)(c + 2d)}{2(c + 2d) \cdot (2d - c)^2} $.

Сокращаем общие множители $ (c + 2d) $ и $ (2d - c)^2 $: $ \frac{-(c^2 + 2cd + 4d^2)}{2} $.

Ответ: $ -\frac{c^2 + 2cd + 4d^2}{2} $

в)

Исходное выражение: $ \frac{b^2 - 6b + 9}{4b^2 - 6b + 9} \cdot \frac{27 + 8b^3}{6 - 2b} $.

Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

Числитель первой дроби (квадрат разности):
$ b^2 - 6b + 9 = (b - 3)^2 $.

Числитель второй дроби (сумма кубов):
$ 27 + 8b^3 = 3^3 + (2b)^3 = (3 + 2b)(3^2 - 3 \cdot 2b + (2b)^2) = (3 + 2b)(9 - 6b + 4b^2) $.

Знаменатель второй дроби (вынесение общего множителя):
$ 6 - 2b = 2(3 - b) $.

Знаменатель первой дроби $ 4b^2 - 6b + 9 $ является неполным квадратом разности и совпадает с одним из множителей в числителе второй дроби.

Подставим разложенные выражения: $ \frac{(b - 3)^2}{4b^2 - 6b + 9} \cdot \frac{(3 + 2b)(9 - 6b + 4b^2)}{2(3 - b)} $.

Заметим, что $ (b - 3)^2 = (-(3 - b))^2 = (3 - b)^2 $ и $ 9 - 6b + 4b^2 = 4b^2 - 6b + 9 $.

Перепишем выражение и сократим общие множители $ (4b^2 - 6b + 9) $ и $ (3-b) $: $ \frac{(3 - b)^2}{4b^2 - 6b + 9} \cdot \frac{(3 + 2b)(4b^2 - 6b + 9)}{2(3 - b)} = \frac{(3-b)(3+2b)}{2} $.

Ответ: $ \frac{(3 - b)(3 + 2b)}{2} $

г)

Исходное выражение: $ \frac{(m - 1)^2}{4 + 4m^3} : \frac{1 - m^2}{(2m + 2)^2} $.

Заменим деление на умножение на обратную дробь: $ \frac{(m - 1)^2}{4 + 4m^3} \cdot \frac{(2m + 2)^2}{1 - m^2} $.

Разложим на множители:

Знаменатель первой дроби (вынесение общего множителя и сумма кубов):
$ 4 + 4m^3 = 4(1 + m^3) = 4(1 + m)(1 - m + m^2) $.

Числитель второй дроби:
$ (2m + 2)^2 = (2(m + 1))^2 = 4(m + 1)^2 $.

Знаменатель второй дроби (разность квадратов):
$ 1 - m^2 = (1 - m)(1 + m) $.

Подставим разложенные выражения: $ \frac{(m - 1)^2}{4(1 + m)(1 - m + m^2)} \cdot \frac{4(m + 1)^2}{(1 - m)(1 + m)} $.

Заметим, что $ (m-1)^2 = (-(1-m))^2 = (1-m)^2 $ и $ (m+1)=(1+m) $. Объединим дроби: $ \frac{(1 - m)^2 \cdot 4(1 + m)^2}{4(1 + m)(1 - m + m^2) \cdot (1 - m)(1 + m)} = \frac{4(1 - m)^2(1 + m)^2}{4(1 - m)(1 + m)^2(1 - m + m^2)} $.

Сокращаем общие множители $ 4 $, $ (1-m) $ и $ (1+m)^2 $: $ \frac{1 - m}{1 - m + m^2} $.

Ответ: $ \frac{1 - m}{m^2 - m + 1} $

5.41 a) $\frac{1 - 16a^2}{4a^2 + 10a + 25} : \frac{4a - 1}{8a^3 - 125}$;

б) $\frac{64a^3 - 27b^3}{(4a - 3b)^2} : \frac{9b^2 - 16a^2}{16a^2 + 12ab + 9b^2}$;

в) $\frac{4 - 9c^2}{9c^2 - 12c + 16} : \frac{2 - 3c}{27c^3 + 64}$;

г) $\frac{125p^3 + 8q^3}{(5p + 2q)^2} : \frac{25p^2 - 10pq + 4q^2}{4q^2 - 25p^2}$.

а) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Затем разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ и разность кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
$\frac{1 - 16a^2}{4a^2 + 10a + 25} : \frac{4a - 1}{8a^3 - 125} = \frac{1 - 16a^2}{4a^2 + 10a + 25} \cdot \frac{8a^3 - 125}{4a - 1}$
Разложим на множители:
$1 - 16a^2 = (1-4a)(1+4a) = -(4a-1)(4a+1)$
$8a^3 - 125 = (2a)^3 - 5^3 = (2a-5)(4a^2+10a+25)$
Подставим разложенные многочлены в выражение и объединим в одну дробь:
$\frac{-(4a-1)(4a+1)}{4a^2+10a+25} \cdot \frac{(2a-5)(4a^2+10a+25)}{4a-1} = \frac{-(4a-1)(4a+1)(2a-5)(4a^2+10a+25)}{(4a^2+10a+25)(4a-1)}$
Сократим общие множители $(4a-1)$ и $(4a^2+10a+25)$:
$= -(4a+1)(2a-5) = (4a+1)(5-2a)$
Ответ: $(4a+1)(5-2a)$.

б) Разложим многочлены в числителях и знаменателях на множители, используя формулы разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ и разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.
$64a^3 - 27b^3 = (4a)^3 - (3b)^3 = (4a-3b)(16a^2+12ab+9b^2)$
$9b^2 - 16a^2 = (3b)^2 - (4a)^2 = (3b-4a)(3b+4a) = -(4a-3b)(4a+3b)$
Подставим разложенные многочлены в выражение и запишем в виде одной дроби:
$\frac{(4a-3b)(16a^2+12ab+9b^2)}{(4a - 3b)^2} \cdot \frac{-(4a-3b)(4a+3b)}{16a^2 + 12ab + 9b^2} = \frac{(4a-3b)(16a^2+12ab+9b^2) \cdot (-(4a-3b)(4a+3b))}{(4a-3b)^2(16a^2+12ab+9b^2)}$
В числителе имеем $(4a-3b) \cdot (-(4a-3b)) = -(4a-3b)^2$. Сократим общие множители $-(4a-3b)^2$ и $(16a^2+12ab+9b^2)$:
$= -(4a+3b)$
Ответ: $-(4a+3b)$.

в) Заменим деление на умножение на обратную дробь. Затем разложим на множители, используя формулы разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ и суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.
$\frac{4 - 9c^2}{9c^2 - 12c + 16} : \frac{2 - 3c}{27c^3 + 64} = \frac{4 - 9c^2}{9c^2 - 12c + 16} \cdot \frac{27c^3 + 64}{2 - 3c}$
Разложим на множители:
$4 - 9c^2 = (2-3c)(2+3c)$
$27c^3 + 64 = (3c)^3 + 4^3 = (3c+4)(9c^2-12c+16)$
Подставим в выражение и объединим:
$\frac{(2-3c)(2+3c)}{9c^2 - 12c + 16} \cdot \frac{(3c+4)(9c^2-12c+16)}{2 - 3c} = \frac{(2-3c)(2+3c)(3c+4)(9c^2-12c+16)}{(9c^2 - 12c + 16)(2 - 3c)}$
Сократим общие множители $(2-3c)$ и $(9c^2 - 12c + 16)$:
$= (2+3c)(3c+4)$
Ответ: $(3c+2)(3c+4)$.

г) Заменим деление на умножение на обратную дробь. Применим формулы суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ и разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.
$\frac{125p^3 + 8q^3}{(5p + 2q)^2} : \frac{25p^2 - 10pq + 4q^2}{4q^2 - 25p^2} = \frac{125p^3 + 8q^3}{(5p + 2q)^2} \cdot \frac{4q^2 - 25p^2}{25p^2 - 10pq + 4q^2}$
Разложим на множители:
$125p^3 + 8q^3 = (5p)^3+(2q)^3 = (5p+2q)(25p^2-10pq+4q^2)$
$4q^2 - 25p^2 = (2q-5p)(2q+5p)$
Подставим в выражение и объединим в одну дробь:
$\frac{(5p+2q)(25p^2-10pq+4q^2)}{(5p+2q)^2} \cdot \frac{(2q-5p)(2q+5p)}{25p^2-10pq+4q^2} = \frac{(5p+2q)(25p^2-10pq+4q^2)(2q-5p)(5p+2q)}{(5p+2q)^2(25p^2-10pq+4q^2)}$
В числителе имеем $(5p+2q)(5p+2q) = (5p+2q)^2$. Сократим общие множители $(5p+2q)^2$ и $(25p^2-10pq+4q^2)$:
$= 2q-5p$
Ответ: $2q-5p$.

5.42 а) $ \frac{x - 3}{2x + 4} \cdot \frac{x^2 - 4}{x^3 - 27} : \frac{x^2 + 3x + 9}{x^2 - 2x} $;

б) $ \frac{a^2 - 16}{2a - a^2} \cdot \frac{ab - 2b}{a^2 + 8a + 16} : \frac{a - 4}{4b} $;

в) $ \frac{b^2 - 10b + 25}{5b - 10} : \frac{b^2 - 25}{2b - b^2} \cdot \frac{b + 5}{5b} $;

г) $ \frac{a^3 + 8}{3a - 6} : \frac{a^2 + 4a + 4}{a^2 - 2a} \cdot \frac{a^2 - 2a + 4}{a^2 - 4} $.

а) Чтобы упростить выражение, разложим числители и знаменатели дробей на множители и затем сократим общие множители.

Исходное выражение: $ \frac{x-3}{2x+4} \cdot \frac{x^2-4}{x^3-27} \cdot \frac{x^2+3x+9}{x^2-2x} $

Разложим на множители каждый числитель и знаменатель:

• $2x+4 = 2(x+2)$
• $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ (формула разности квадратов)
• $x^3-27 = x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2+3x+9)$ (формула разности кубов)
• $x^2-2x = x(x-2)$

Подставим разложенные выражения обратно в исходное:

$ \frac{x-3}{2(x+2)} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{(x-3)(x^2+3x+9)} \cdot \frac{x^2+3x+9}{x(x-2)} $

Теперь сократим одинаковые множители в числителях и знаменателях:

$ \frac{\cancel{x-3}}{2\cancel{(x+2)}} \cdot \frac{\cancel{(x-2)}\cancel{(x+2)}}{(\cancel{x-3})\cancel{(x^2+3x+9)}} \cdot \frac{\cancel{x^2+3x+9}}{x\cancel{(x-2)}} $

После сокращения остается:

$ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2x} $

Ответ: $ \frac{1}{2x} $

б) Сначала заменим деление на умножение, перевернув дробь, на которую делим. Затем разложим на множители и сократим.

Исходное выражение: $ \frac{a^2-16}{2a-a^2} \cdot \frac{ab-2b}{a^2+8a+16} : \frac{a-4}{4b} = \frac{a^2-16}{2a-a^2} \cdot \frac{ab-2b}{a^2+8a+16} \cdot \frac{4b}{a-4} $

Разложим на множители:

• $a^2-16 = (a-4)(a+4)$ (разность квадратов)
• $2a-a^2 = a(2-a) = -a(a-2)$
• $ab-2b = b(a-2)$
• $a^2+8a+16 = (a+4)^2$ (квадрат суммы)

Подставим разложенные выражения:

$ \frac{(a-4)(a+4)}{-a(a-2)} \cdot \frac{b(a-2)}{(a+4)^2} \cdot \frac{4b}{a-4} $

Сократим общие множители:

$ \frac{\cancel{(a-4)}\cancel{(a+4)}}{-a\cancel{(a-2)}} \cdot \frac{b\cancel{(a-2)}}{(\cancel{a+4})(a+4)} \cdot \frac{4b}{\cancel{a-4}} $

После сокращения получаем:

$ \frac{1}{-a} \cdot \frac{b}{a+4} \cdot \frac{4b}{1} = \frac{4b^2}{-a(a+4)} = -\frac{4b^2}{a(a+4)} $

Ответ: $ -\frac{4b^2}{a(a+4)} $

в) Заменим деление на умножение на обратную дробь, а затем разложим многочлены на множители для сокращения.

Исходное выражение: $ \frac{b^2-10b+25}{5b-10} : \frac{b^2-25}{2b-b^2} \cdot \frac{b+5}{5b} = \frac{b^2-10b+25}{5b-10} \cdot \frac{2b-b^2}{b^2-25} \cdot \frac{b+5}{5b} $

Разложим на множители:

• $b^2-10b+25 = (b-5)^2$ (квадрат разности)
• $5b-10 = 5(b-2)$
• $2b-b^2 = b(2-b) = -b(b-2)$
• $b^2-25 = (b-5)(b+5)$ (разность квадратов)

Подставим разложенные выражения:

$ \frac{(b-5)^2}{5(b-2)} \cdot \frac{-b(b-2)}{(b-5)(b+5)} \cdot \frac{b+5}{5b} $

Сократим общие множители:

$ \frac{(\cancel{b-5})(b-5)}{5\cancel{(b-2)}} \cdot \frac{-\cancel{b}\cancel{(b-2)}}{(\cancel{b-5})\cancel{(b+5)}} \cdot \frac{\cancel{b+5}}{5\cancel{b}} $

После сокращения получаем:

$ \frac{b-5}{5} \cdot \frac{-1}{1} \cdot \frac{1}{5} = \frac{-(b-5)}{25} = \frac{5-b}{25} $

Ответ: $ \frac{5-b}{25} $

г) Заменим оба знака деления на умножение, перевернув соответствующие дроби. Затем разложим все на множители.

Исходное выражение: $ \frac{a^3+8}{3a-6} : \frac{a^2+4a+4}{a^2-2a} : \frac{a^2-2a+4}{a^2-4} = \frac{a^3+8}{3a-6} \cdot \frac{a^2-2a}{a^2+4a+4} \cdot \frac{a^2-4}{a^2-2a+4} $

Разложим на множители:

• $a^3+8 = a^3+2^3 = (a+2)(a^2-2a+4)$ (сумма кубов)
• $3a-6 = 3(a-2)$
• $a^2-2a = a(a-2)$
• $a^2+4a+4 = (a+2)^2$ (квадрат суммы)
• $a^2-4 = (a-2)(a+2)$ (разность квадратов)

Подставим разложенные выражения:

$ \frac{(a+2)(a^2-2a+4)}{3(a-2)} \cdot \frac{a(a-2)}{(a+2)^2} \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{a^2-2a+4} $

Сгруппируем все числители и знаменатели и проведем сокращение:

$ \frac{(a+2)(a^2-2a+4) \cdot a(a-2) \cdot (a-2)(a+2)}{3(a-2) \cdot (a+2)^2 \cdot (a^2-2a+4)} = \frac{a(a-2)\cancel{(a-2)}\cancel{(a+2)^2}\cancel{(a^2-2a+4)}}{3\cancel{(a-2)}\cancel{(a+2)^2}\cancel{(a^2-2a+4)}} $

После сокращения получаем:

$ \frac{a(a-2)}{3} $

Ответ: $ \frac{a(a-2)}{3} $

5.43 a) $ \left(\frac{b^4(b-c)^2}{a^6(c-a)}\right)^3 : \left(\frac{b^2(b-c)}{a^3(a-c)}\right)^6; $

б) $ \left(-\frac{a^2+ab}{ab^2-b^3}\right)^4 \cdot \left(\frac{b-a}{a^2+2ab+b^2}\right)^3; $

в) $ \left(\frac{a^2(a-b)}{x^4(a-x)^3}\right)^6 \cdot \left(\frac{x^6(x-a)^5}{a^3(b-a)^2}\right)^4; $

г) $ \left(\frac{x^2-4xy+4y^2}{x^2+xy}\right)^2 \cdot \left(-\frac{x+y}{2xy-x^2}\right)^3; $

а) Решим пример $\left(\frac{b^4(b-c)^2}{a^6(c-a)}\right)^3 : \left(\frac{b^2(b-c)}{a^3(a-c)}\right)^6$.

Сначала возведем каждую дробь в соответствующую степень по правилу $( \frac{x}{y} )^n = \frac{x^n}{y^n}$ и $(xyz)^n=x^ny^nz^n$:

$\frac{(b^4)^3((b-c)^2)^3}{(a^6)^3(c-a)^3} : \frac{(b^2)^6(b-c)^6}{(a^3)^6(a-c)^6} = \frac{b^{12}(b-c)^6}{a^{18}(c-a)^3} : \frac{b^{12}(b-c)^6}{a^{18}(a-c)^6}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{b^{12}(b-c)^6}{a^{18}(c-a)^3} \cdot \frac{a^{18}(a-c)^6}{b^{12}(b-c)^6}$

Заметим, что $c-a = -(a-c)$, следовательно $(c-a)^3 = (-(a-c))^3 = -1^3 \cdot (a-c)^3 = -(a-c)^3$. Подставим это в выражение:

$\frac{b^{12}(b-c)^6}{a^{18}(-(a-c)^3)} \cdot \frac{a^{18}(a-c)^6}{b^{12}(b-c)^6}$

Теперь сократим общие множители $a^{18}$, $b^{12}$ и $(b-c)^6$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{-(a-c)^3} \cdot \frac{(a-c)^6}{1} = -\frac{(a-c)^6}{(a-c)^3}$

Используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$, получаем:

$-(a-c)^{6-3} = -(a-c)^3$

Ответ: $-(a-c)^3$

б) Решим пример $\left(-\frac{a^2+ab}{ab^2-b^3}\right)^4 \cdot \left(\frac{b-a}{a^2+2ab+b^2}\right)^3$.

Сначала упростим выражения в скобках. Разложим числители и знаменатели на множители:

Первая дробь: $-\frac{a^2+ab}{ab^2-b^3} = -\frac{a(a+b)}{b^2(a-b)}$

Вторая дробь: $\frac{b-a}{a^2+2ab+b^2} = \frac{-(a-b)}{(a+b)^2}$

Подставим упрощенные дроби в исходное выражение:

$\left(-\left(-\frac{a(a+b)}{b^2(a-b)}\right)\right)^4 \cdot \left(\frac{-(a-b)}{(a+b)^2}\right)^3 = \left(\frac{a(a+b)}{b^2(a-b)}\right)^4 \cdot \left(\frac{-(a-b)}{(a+b)^2}\right)^3$

Возведем в степень каждую дробь. В первой дроби знак минус в четвертой (четной) степени дает плюс. Во второй дроби знак минус в третьей (нечетной) степени сохраняется:

$\frac{a^4(a+b)^4}{b^8(a-b)^4} \cdot \frac{(-1)^3(a-b)^3}{(a+b)^6} = \frac{a^4(a+b)^4}{b^8(a-b)^4} \cdot \frac{-(a-b)^3}{(a+b)^6}$

Перемножим дроби и сократим степени:

$-\frac{a^4(a+b)^4(a-b)^3}{b^8(a-b)^4(a+b)^6} = -\frac{a^4}{b^8(a-b)^{4-3}(a+b)^{6-4}} = -\frac{a^4}{b^8(a-b)(a+b)^2}$

Ответ: $-\frac{a^4}{b^8(a-b)(a+b)^2}$

в) Решим пример $\left(\frac{a^2(a-b)}{x^4(a-x)^3}\right)^6 \cdot \left(\frac{x^6(x-a)^5}{a^3(b-a)^2}\right)^4$.

Упростим выражения со сменой знака: $b-a = -(a-b)$ и $x-a = -(a-x)$.

Тогда $(b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2$ и $(x-a)^5 = (-(a-x))^5 = -(a-x)^5$.

Подставим это в исходное выражение:

$\left(\frac{a^2(a-b)}{x^4(a-x)^3}\right)^6 \cdot \left(\frac{x^6(-(a-x)^5)}{a^3(a-b)^2}\right)^4$

Возведем в степень. Знак минус во второй скобке находится в четвертой (четной) степени, поэтому он исчезнет:

$\frac{(a^2)^6(a-b)^6}{(x^4)^6(a-x)^3\cdot6} \cdot \frac{(x^6)^4(a-x)^5\cdot4}{(a^3)^4(a-b)^2\cdot4} = \frac{a^{12}(a-b)^6}{x^{24}(a-x)^{18}} \cdot \frac{x^{24}(a-x)^{20}}{a^{12}(a-b)^8}$

Перемножим дроби и сократим общие множители $a^{12}$ и $x^{24}$:

$\frac{(a-b)^6(a-x)^{20}}{(a-x)^{18}(a-b)^8}$

Сократим степени, используя свойство $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{(a-x)^{20-18}}{(a-b)^{8-6}} = \frac{(a-x)^2}{(a-b)^2} = \left(\frac{a-x}{a-b}\right)^2$

Ответ: $\left(\frac{a-x}{a-b}\right)^2$

г) Решим пример $\left(\frac{x^2-4xy+4y^2}{x^2+xy}\right)^2 \cdot \left(-\frac{x+y}{2xy-x^2}\right)^3$.

Упростим выражения в скобках, разложив на множители:

Первая дробь: $\frac{x^2-4xy+4y^2}{x^2+xy} = \frac{(x-2y)^2}{x(x+y)}$

Вторая дробь: $-\frac{x+y}{2xy-x^2} = -\frac{x+y}{x(2y-x)} = -\frac{x+y}{-x(x-2y)} = \frac{x+y}{x(x-2y)}$

Подставим упрощенные дроби в исходное выражение:

$\left(\frac{(x-2y)^2}{x(x+y)}\right)^2 \cdot \left(\frac{x+y}{x(x-2y)}\right)^3$

Возведем в степень каждую дробь:

$\frac{((x-2y)^2)^2}{x^2(x+y)^2} \cdot \frac{(x+y)^3}{x^3(x-2y)^3} = \frac{(x-2y)^4}{x^2(x+y)^2} \cdot \frac{(x+y)^3}{x^3(x-2y)^3}$

Перемножим дроби:

$\frac{(x-2y)^4(x+y)^3}{x^2 \cdot x^3 (x+y)^2(x-2y)^3} = \frac{(x-2y)^4(x+y)^3}{x^5(x+y)^2(x-2y)^3}$

Сократим степени:

$\frac{(x-2y)^{4-3}(x+y)^{3-2}}{x^5} = \frac{(x-2y)(x+y)}{x^5}$

Ответ: $\frac{(x-2y)(x+y)}{x^5}$