Страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

6.10 a) $ \left( \frac{a + 5}{5a - 1} + \frac{a + 5}{a + 1} \right) : \frac{a^2 + 5a}{1 - 5a} + \frac{a^2 + 5}{a + 1} = a - 1; $

б) $ \left( \frac{b - 3}{7b - 4} - \frac{b - 3}{b - 4} \right) \cdot \frac{7b - 4}{9b - 3b^2} + \frac{b^2 - 14}{4 - b} = -b - 4. $

а) Чтобы доказать данное тождество, преобразуем его левую часть и покажем, что она равна правой.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей и делитель не могут быть равны нулю:
$5a-1 \neq 0 \implies a \neq \frac{1}{5}$
$a+1 \neq 0 \implies a \neq -1$
$a^2+5a \neq 0 \implies a(a+5) \neq 0 \implies a \neq 0$ и $a \neq -5$.

1. Выполним действие в скобках. Вынесем общий множитель $(a+5)$ и приведем дроби к общему знаменателю:
$(\frac{a+5}{5a-1} + \frac{a+5}{a+1}) = (a+5) \cdot (\frac{1}{5a-1} + \frac{1}{a+1}) = (a+5) \cdot \frac{(a+1) + (5a-1)}{(5a-1)(a+1)} = (a+5) \cdot \frac{6a}{(5a-1)(a+1)} = \frac{6a(a+5)}{(5a-1)(a+1)}$.

2. Выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь и предварительно преобразуем делитель: $\frac{a^2+5a}{1-5a} = \frac{a(a+5)}{-(5a-1)}$.
$\frac{6a(a+5)}{(5a-1)(a+1)} : \frac{a(a+5)}{-(5a-1)} = \frac{6a(a+5)}{(5a-1)(a+1)} \cdot \frac{-(5a-1)}{a(a+5)}$.
Сокращаем общие множители $a$, $(a+5)$ и $(5a-1)$ (с учетом ОДЗ):
$\frac{6\cancel{a}(\cancel{a+5})}{(\cancel{5a-1})(a+1)} \cdot \frac{-(\cancel{5a-1})}{\cancel{a}(\cancel{a+5})} = \frac{6}{a+1} \cdot (-1) = -\frac{6}{a+1}$.

3. К результату прибавим оставшееся слагаемое:
$-\frac{6}{a+1} + \frac{a^2+5}{a+1} = \frac{-6 + a^2+5}{a+1} = \frac{a^2-1}{a+1}$.

4. Упростим полученное выражение, применив в числителе формулу разности квадратов:
$\frac{a^2-1}{a+1} = \frac{(a-1)(a+1)}{a+1} = a-1$.

В результате преобразований левая часть оказалась равна $a-1$, что совпадает с правой частью.
Ответ: тождество доказано.

б) Докажем тождество, преобразовав его левую часть.
Определим область допустимых значений (ОДЗ):
$7b-4 \neq 0 \implies b \neq \frac{4}{7}$
$b-4 \neq 0 \implies b \neq 4$
$9b-3b^2 \neq 0 \implies 3b(3-b) \neq 0 \implies b \neq 0$ и $b \neq 3$.
$4-b \neq 0 \implies b \neq 4$.

1. Выполним действие в скобках. Вынесем общий множитель $(b-3)$:
$(\frac{b-3}{7b-4} - \frac{b-3}{b-4}) = (b-3) \cdot (\frac{1}{7b-4} - \frac{1}{b-4}) = (b-3) \cdot \frac{(b-4)-(7b-4)}{(7b-4)(b-4)} = (b-3) \cdot \frac{b-4-7b+4}{(7b-4)(b-4)} = (b-3) \cdot \frac{-6b}{(7b-4)(b-4)} = \frac{-6b(b-3)}{(7b-4)(b-4)}$.

2. Выполним умножение. Предварительно разложим знаменатель второй дроби на множители: $9b-3b^2 = 3b(3-b) = -3b(b-3)$.
$\frac{-6b(b-3)}{(7b-4)(b-4)} \cdot \frac{7b-4}{-3b(b-3)}$.
Сокращаем общие множители $b$, $(b-3)$ и $(7b-4)$ (с учетом ОДЗ):
$\frac{-6\cancel{b}(\cancel{b-3})}{(\cancel{7b-4})(b-4)} \cdot \frac{\cancel{7b-4}}{-3\cancel{b}(\cancel{b-3})} = \frac{-6}{-3(b-4)} = \frac{2}{b-4}$.

3. К результату прибавим оставшееся слагаемое. Заметим, что $4-b = -(b-4)$:
$\frac{2}{b-4} + \frac{b^2-14}{4-b} = \frac{2}{b-4} - \frac{b^2-14}{b-4} = \frac{2-(b^2-14)}{b-4} = \frac{2-b^2+14}{b-4} = \frac{16-b^2}{b-4}$.

4. Упростим полученное выражение, применив в числителе формулу разности квадратов:
$\frac{16-b^2}{b-4} = \frac{(4-b)(4+b)}{b-4} = \frac{-(b-4)(b+4)}{b-4} = -(b+4) = -b-4$.

В результате преобразований левая часть оказалась равна $-b-4$, что совпадает с правой частью.
Ответ: тождество доказано.

Упростите выражение:

6.11 a) $\left(\frac{a^2}{a+b} - \frac{a^3}{a^2 + 2ab + b^2}\right) : \left(\frac{a}{a+b} - \frac{a^2}{a^2 - b^2}\right);$

б) $\frac{z-2}{4z^2 + 16z + 16} : \left(\frac{z}{2z-4} - \frac{z^2+4}{2z^2-8} - \frac{2}{z^2+2z}\right).$

а)

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку.

1. Упростим выражение в первых скобках: $(\frac{a^2}{a+b} - \frac{a^3}{a^2 + 2ab + b^2})$.

Знаменатель второй дроби $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы $(a+b)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю $(a+b)^2$:

$\frac{a^2}{a+b} - \frac{a^3}{(a+b)^2} = \frac{a^2(a+b)}{(a+b)^2} - \frac{a^3}{(a+b)^2} = \frac{a^2(a+b) - a^3}{(a+b)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{a^3 + a^2b - a^3}{(a+b)^2} = \frac{a^2b}{(a+b)^2}$

2. Упростим выражение во вторых скобках: $(\frac{a}{a+b} - \frac{a^2}{a^2 - b^2})$.

Знаменатель второй дроби $a^2 - b^2$ является разностью квадратов $(a-b)(a+b)$. Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$:

$\frac{a}{a+b} - \frac{a^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{a^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a(a-b) - a^2}{(a-b)(a+b)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{a^2 - ab - a^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{-ab}{(a-b)(a+b)}$

3. Выполним деление результатов, полученных в шагах 1 и 2. Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:

$\frac{a^2b}{(a+b)^2} : \frac{-ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2b}{(a+b)^2} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{-ab}$

Сократим общие множители $a$, $b$ и $(a+b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{a \cdot (a-b)}{-(a+b)} = -\frac{a(a-b)}{a+b} = \frac{a(b-a)}{a+b}$

Ответ: $\frac{a(b-a)}{a+b}$

б)

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку.

1. Упростим первую дробь (делимое): $\frac{z-2}{4z^2 + 16z + 16}$.

Вынесем общий множитель 4 из знаменателя и свернем его по формуле квадрата суммы:

$4z^2 + 16z + 16 = 4(z^2 + 4z + 4) = 4(z+2)^2$.

Таким образом, делимое равно $\frac{z-2}{4(z+2)^2}$.

2. Упростим выражение в скобках (делитель): $(\frac{z}{2z-4} - \frac{z^2+4}{2z^2-8} - \frac{2}{z^2+2z})$.

Разложим знаменатели всех дробей на множители:

$2z-4 = 2(z-2)$

$2z^2-8 = 2(z^2-4) = 2(z-2)(z+2)$

$z^2+2z = z(z+2)$

Приведем дроби к общему знаменателю $2z(z-2)(z+2)$:

$\frac{z \cdot z(z+2)}{2z(z-2)(z+2)} - \frac{(z^2+4) \cdot z}{2z(z-2)(z+2)} - \frac{2 \cdot 2(z-2)}{2z(z-2)(z+2)}$

Объединим числители под одной дробной чертой:

$\frac{z^2(z+2) - z(z^2+4) - 4(z-2)}{2z(z-2)(z+2)} = \frac{z^3+2z^2 - z^3-4z - 4z+8}{2z(z-2)(z+2)} = \frac{2z^2-8z+8}{2z(z-2)(z+2)}$

Вынесем общий множитель в числителе и свернем его по формуле квадрата разности:

$2z^2-8z+8 = 2(z^2-4z+4) = 2(z-2)^2$.

Теперь выражение в скобках равно:

$\frac{2(z-2)^2}{2z(z-2)(z+2)} = \frac{z-2}{z(z+2)}$

3. Выполним деление. Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{z-2}{4(z+2)^2} : \frac{z-2}{z(z+2)} = \frac{z-2}{4(z+2)^2} \cdot \frac{z(z+2)}{z-2}$

Сократим общие множители $(z-2)$ и $(z+2)$:

$\frac{1}{4(z+2)} \cdot \frac{z}{1} = \frac{z}{4(z+2)}$

Ответ: $\frac{z}{4(z+2)}$

6.12 а) $\left(\frac{10m^2}{3 + 2m} - 5\right) : \frac{30m^2 - 15m}{8m^3 + 27} + \frac{8 - 2m}{2m - 1},$

б) $\left(3n - \frac{9n^2}{3n + 1}\right) \cdot \frac{27n^3 + 1}{6n - 9n^2} + \frac{9n - 3}{3n - 2}.$

a)

Выполним решение по действиям. Отметим, что в исходном выражении $(\frac{10m^2}{3+2m} - 5) : \frac{30m^2 - 15m}{8m^3 + 27} + \frac{8-2m}{2m-1}$ первое действие в скобках приводит к громоздкому выражению, которое не сокращается далее. Это указывает на вероятную опечатку в условии. Если предположить, что вместо `-5` должно быть `-5m`, то выражение красиво упрощается. Решим задачу с этой поправкой.

1. Упростим выражение в скобках, приняв его за $(\frac{10m^2}{3+2m} - 5m)$:

$\frac{10m^2}{3+2m} - 5m = \frac{10m^2 - 5m(3+2m)}{3+2m} = \frac{10m^2 - 15m - 10m^2}{3+2m} = \frac{-15m}{2m+3}$

2. Выполним деление. Для этого преобразуем делитель, разложив его числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $30m^2 - 15m = 15m(2m-1)$.

Знаменатель (сумма кубов): $8m^3 + 27 = (2m)^3 + 3^3 = (2m+3)(4m^2 - 6m + 9)$.

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{-15m}{2m+3} : \frac{15m(2m-1)}{(2m+3)(4m^2 - 6m + 9)} = \frac{-15m}{2m+3} \cdot \frac{(2m+3)(4m^2 - 6m + 9)}{15m(2m-1)}$

Сократим общие множители $15m$ и $(2m+3)$:

$= \frac{-1 \cdot (4m^2 - 6m + 9)}{2m-1} = \frac{-4m^2 + 6m - 9}{2m-1}$

3. Выполним сложение с последним членом выражения:

$\frac{-4m^2 + 6m - 9}{2m-1} + \frac{8-2m}{2m-1}$

Так как знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{-4m^2 + 6m - 9 + 8 - 2m}{2m-1} = \frac{-4m^2 + 4m - 1}{2m-1}$

4. Упростим полученную дробь. Вынесем знак минус из числителя:

$\frac{-(4m^2 - 4m + 1)}{2m-1}$

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $(2m-1)^2$.

$\frac{-(2m-1)^2}{2m-1} = -(2m-1) = 1-2m$

Ответ: $1-2m$

б)

Выполним решение по действиям для выражения $(\ 3n - \frac{9n^2}{3n+1}) \cdot \frac{27n^3 + 1}{6n - 9n^2} + \frac{9n-3}{3n-2}$.

1. Упростим выражение в скобках:

$3n - \frac{9n^2}{3n+1} = \frac{3n(3n+1) - 9n^2}{3n+1} = \frac{9n^2 + 3n - 9n^2}{3n+1} = \frac{3n}{3n+1}$

2. Выполним умножение. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби.

Числитель (сумма кубов): $27n^3 + 1 = (3n)^3 + 1^3 = (3n+1)(9n^2 - 3n + 1)$.

Знаменатель: $6n - 9n^2 = 3n(2-3n)$.

Выполним умножение:

$\frac{3n}{3n+1} \cdot \frac{(3n+1)(9n^2 - 3n + 1)}{3n(2-3n)}$

Сократим общие множители $3n$ и $(3n+1)$:

$= \frac{9n^2 - 3n + 1}{2-3n}$

3. Выполним сложение:

$\frac{9n^2 - 3n + 1}{2-3n} + \frac{9n-3}{3n-2}$

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, заметим, что $2-3n = -(3n-2)$.

$\frac{9n^2 - 3n + 1}{-(3n-2)} + \frac{9n-3}{3n-2} = \frac{-(9n^2 - 3n + 1)}{3n-2} + \frac{9n-3}{3n-2}$

Теперь сложим числители:

$\frac{-9n^2 + 3n - 1 + 9n - 3}{3n-2} = \frac{-9n^2 + 12n - 4}{3n-2}$

4. Упростим полученное выражение. Вынесем знак минус из числителя:

$\frac{-(9n^2 - 12n + 4)}{3n-2}$

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $(3n-2)^2$.

$\frac{-(3n-2)^2}{3n-2} = -(3n-2) = 2-3n$

Ответ: $2-3n$

6.13 a) $ \frac{9n + 27}{3n^2 - n^3} + \left(\frac{3n + 9}{n - 3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{3n - 9} + \frac{2}{9 - n^2} - \frac{1}{n^2 + 3n}\right); $

б) $ \left(\frac{2}{2p - q} + \frac{6q}{q^2 - 4p^2} - \frac{4}{2p + q}\right) : \left(1 + \frac{4p^2 + q^2}{4p^2 - q^2}\right). $

а)

Упростим выражение по действиям. Исходное выражение:

$ \frac{9n + 27}{3n^2 - n^3} + \left(\frac{3n + 9}{n - 3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{3n - 9} + \frac{2}{9 - n^2} - \frac{1}{n^2 + 3n}\right) $

1. Сначала выполним действия в скобках, а затем умножение и сложение. Преобразуем выражение в больших скобках: $ \frac{1}{3n - 9} + \frac{2}{9 - n^2} - \frac{1}{n^2 + 3n} $.

Разложим знаменатели на множители: $ 3n - 9 = 3(n - 3) $, $ 9 - n^2 = (3 - n)(3 + n) = -(n - 3)(n + 3) $, $ n^2 + 3n = n(n + 3) $.

Подставим разложенные знаменатели в выражение:

$ \frac{1}{3(n - 3)} + \frac{2}{-(n - 3)(n + 3)} - \frac{1}{n(n + 3)} = \frac{1}{3(n - 3)} - \frac{2}{(n - 3)(n + 3)} - \frac{1}{n(n + 3)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ 3n(n - 3)(n + 3) $:

$ \frac{n(n + 3)}{3n(n - 3)(n + 3)} - \frac{2 \cdot 3n}{3n(n - 3)(n + 3)} - \frac{3(n - 3)}{3n(n - 3)(n + 3)} = \frac{n^2 + 3n - 6n - 3n + 9}{3n(n - 3)(n + 3)} $

Упростим числитель, приведя подобные слагаемые: $ n^2 - 6n + 9 $. Это полный квадрат: $ (n - 3)^2 $.

В результате выражение в скобках равно: $ \frac{(n - 3)^2}{3n(n - 3)(n + 3)} = \frac{n - 3}{3n(n + 3)} $.

2. Теперь выполним умножение: $ \left(\frac{3n + 9}{n - 3}\right)^2 \cdot \frac{n - 3}{3n(n + 3)} $.

Упростим первый множитель: $ \left(\frac{3(n + 3)}{n - 3}\right)^2 = \frac{9(n + 3)^2}{(n - 3)^2} $.

Выполним умножение: $ \frac{9(n + 3)^2}{(n - 3)^2} \cdot \frac{n - 3}{3n(n + 3)} $. Сократим общие множители:

$ \frac{9(n + 3)^2 \cdot (n - 3)}{(n - 3)^2 \cdot 3n(n + 3)} = \frac{3(n + 3)}{n(n - 3)} $.

3. Наконец, выполним сложение с первым членом исходного выражения.

Упростим первый член: $ \frac{9n + 27}{3n^2 - n^3} = \frac{9(n + 3)}{n^2(3 - n)} = -\frac{9(n + 3)}{n^2(n - 3)} $.

Выполним сложение: $ -\frac{9(n + 3)}{n^2(n - 3)} + \frac{3(n + 3)}{n(n - 3)} $.

Приведем к общему знаменателю $ n^2(n - 3) $:

$ -\frac{9(n + 3)}{n^2(n - 3)} + \frac{3n(n + 3)}{n^2(n - 3)} = \frac{-9(n + 3) + 3n(n + 3)}{n^2(n - 3)} $

Вынесем общий множитель $ (n + 3) $ в числителе: $ \frac{(n + 3)(-9 + 3n)}{n^2(n - 3)} = \frac{(n + 3) \cdot 3(n - 3)}{n^2(n - 3)} $.

Сократим дробь на $ (n - 3) $: $ \frac{3(n + 3)}{n^2} $.

Ответ: $ \frac{3(n+3)}{n^2} $

б)

Упростим выражение по действиям. Исходное выражение:

$ \left(\frac{2}{2p - q} + \frac{6q}{q^2 - 4p^2} - \frac{4}{2p + q}\right) : \left(1 + \frac{4p^2 + q^2}{4p^2 - q^2}\right) $

1. Сначала упростим выражение в первых скобках: $ \frac{2}{2p - q} + \frac{6q}{q^2 - 4p^2} - \frac{4}{2p + q} $.

Разложим знаменатель средней дроби на множители по формуле разности квадратов: $ q^2 - 4p^2 = (q - 2p)(q + 2p) = -(2p - q)(2p + q) $.

Подставим и вынесем минус перед дробью:

$ \frac{2}{2p - q} - \frac{6q}{(2p - q)(2p + q)} - \frac{4}{2p + q} $

Приведем все дроби к общему знаменателю $ (2p - q)(2p + q) = 4p^2 - q^2 $:

$ \frac{2(2p + q)}{(2p - q)(2p + q)} - \frac{6q}{(2p - q)(2p + q)} - \frac{4(2p - q)}{(2p - q)(2p + q)} $

Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$ \frac{2(2p + q) - 6q - 4(2p - q)}{4p^2 - q^2} = \frac{4p + 2q - 6q - 8p + 4q}{4p^2 - q^2} $

Приведем подобные слагаемые в числителе: $ \frac{(4p - 8p) + (2q - 6q + 4q)}{4p^2 - q^2} = \frac{-4p}{4p^2 - q^2} $.

2. Теперь упростим выражение во вторых скобках: $ 1 + \frac{4p^2 + q^2}{4p^2 - q^2} $.

Представим 1 как дробь со знаменателем $ 4p^2 - q^2 $:

$ \frac{4p^2 - q^2}{4p^2 - q^2} + \frac{4p^2 + q^2}{4p^2 - q^2} = \frac{4p^2 - q^2 + 4p^2 + q^2}{4p^2 - q^2} = \frac{8p^2}{4p^2 - q^2} $.

3. Выполним деление результатов, полученных в пунктах 1 и 2:

$ \frac{-4p}{4p^2 - q^2} : \frac{8p^2}{4p^2 - q^2} $

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{-4p}{4p^2 - q^2} \cdot \frac{4p^2 - q^2}{8p^2} $

Сократим общий множитель $ (4p^2 - q^2) $:

$ \frac{-4p}{8p^2} $

Сократим дробь на $ 4p $: $ -\frac{1}{2p} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2p} $

6.14 a) $\frac{k-4}{k-2} : \left( \frac{80k}{k^3-8} + \frac{2k}{k^2+2k+4} - \frac{k-16}{2-k} \right) - \frac{6k+4}{(4-k)^2}$

б) $\left( \frac{m-n}{(m+n)^2} - \frac{2m}{m^2-n^2} + \frac{m+n}{(m-n)^2} \right) : \frac{8mn^2}{m^4-n^4} + \frac{2n^2}{n^2-m^2}$

а) $\frac{k - 4}{k - 2} : \left( \frac{80k}{k^3 - 8} + \frac{2k}{k^2 + 2k + 4} - \frac{k - 16}{2 - k} \right) - \frac{6k + 4}{(4 - k)^2}$

1. Сначала упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю.

Знаменатель первой дроби: $k^3 - 8 = k^3 - 2^3 = (k - 2)(k^2 + 2k + 4)$ (формула разности кубов).

Знаменатель третьей дроби: $2 - k = -(k - 2)$.

Выражение в скобках принимает вид:

$\frac{80k}{(k - 2)(k^2 + 2k + 4)} + \frac{2k}{k^2 + 2k + 4} + \frac{k - 16}{k - 2}$

Общий знаменатель: $(k - 2)(k^2 + 2k + 4)$.

$\frac{80k}{(k - 2)(k^2 + 2k + 4)} + \frac{2k(k-2)}{(k-2)(k^2 + 2k + 4)} + \frac{(k - 16)(k^2+2k+4)}{(k - 2)(k^2+2k+4)}$

Сложим числители:

$80k + 2k(k-2) + (k-16)(k^2+2k+4) = 80k + 2k^2 - 4k + k(k^2+2k+4) - 16(k^2+2k+4) = 76k + 2k^2 + k^3 + 2k^2 + 4k - 16k^2 - 32k - 64$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$k^3 + (2+2-16)k^2 + (76+4-32)k - 64 = k^3 - 12k^2 + 48k - 64$

Заметим, что полученный числитель является кубом разности: $k^3 - 3 \cdot k^2 \cdot 4 + 3 \cdot k \cdot 4^2 - 4^3 = (k - 4)^3$.

Таким образом, выражение в скобках равно: $\frac{(k - 4)^3}{(k - 2)(k^2 + 2k + 4)}$.

2. Выполним деление:

$\frac{k - 4}{k - 2} : \frac{(k - 4)^3}{(k - 2)(k^2 + 2k + 4)} = \frac{k - 4}{k - 2} \cdot \frac{(k - 2)(k^2 + 2k + 4)}{(k - 4)^3}$

Сокращаем $(k-4)$ и $(k-2)$:

$\frac{k^2 + 2k + 4}{(k - 4)^2}$

3. Выполним вычитание:

$\frac{k^2 + 2k + 4}{(k - 4)^2} - \frac{6k + 4}{(4 - k)^2}$

Так как $(4 - k)^2 = (-(k-4))^2 = (k - 4)^2$, знаменатели одинаковы.

$\frac{k^2 + 2k + 4 - (6k + 4)}{(k - 4)^2} = \frac{k^2 + 2k + 4 - 6k - 4}{(k - 4)^2} = \frac{k^2 - 4k}{(k - 4)^2}$

4. Упростим полученное выражение:

$\frac{k(k - 4)}{(k - 4)^2} = \frac{k}{k - 4}$

Ответ: $\frac{k}{k - 4}$.

б) $\left( \frac{m - n}{(m + n)^2} - \frac{2m}{m^2 - n^2} + \frac{m + n}{(m - n)^2} \right) : \frac{8mn^2}{m^4 - n^4} + \frac{2n^2}{n^2 - m^2}$

1. Сначала упростим выражение в скобках. Разложим знаменатель средней дроби $m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$ и приведем все дроби к общему знаменателю $(m+n)^2(m-n)^2 = ((m-n)(m+n))^2 = (m^2-n^2)^2$.

$\frac{(m - n)(m - n)^2}{(m+n)^2(m-n)^2} - \frac{2m(m-n)(m+n)}{(m+n)^2(m-n)^2} + \frac{(m + n)(m+n)^2}{(m+n)^2(m-n)^2} = \frac{(m - n)^3 - 2m(m^2-n^2) + (m + n)^3}{(m^2 - n^2)^2}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$(m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3) - (2m^3 - 2mn^2) + (m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3)$

$= m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3 - 2m^3 + 2mn^2 + m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3$

$= (m^3 - 2m^3 + m^3) + (-3m^2n + 3m^2n) + (3mn^2 + 2mn^2 + 3mn^2) + (-n^3 + n^3)$

$= 0 + 0 + 8mn^2 + 0 = 8mn^2$

Таким образом, выражение в скобках равно: $\frac{8mn^2}{(m^2 - n^2)^2}$.

2. Выполним деление:

$\frac{8mn^2}{(m^2 - n^2)^2} : \frac{8mn^2}{m^4 - n^4} = \frac{8mn^2}{(m^2 - n^2)^2} \cdot \frac{m^4 - n^4}{8mn^2}$

Сокращаем $8mn^2$ и раскладываем $m^4 - n^4 = (m^2 - n^2)(m^2 + n^2)$:

$\frac{(m^2 - n^2)(m^2 + n^2)}{(m^2 - n^2)^2} = \frac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2}$

3. Выполним сложение:

$\frac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2} + \frac{2n^2}{n^2 - m^2}$

Так как $n^2 - m^2 = -(m^2 - n^2)$, то $\frac{2n^2}{n^2 - m^2} = -\frac{2n^2}{m^2 - n^2}$.

$\frac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2} - \frac{2n^2}{m^2 - n^2} = \frac{m^2 + n^2 - 2n^2}{m^2 - n^2} = \frac{m^2 - n^2}{m^2 - n^2} = 1$

Ответ: $1$.

Докажите тождество:

6.15

$\left(\frac{8y^2 + 2y}{8y^3 - 1} - \frac{2y + 1}{4y^2 + 2y + 1}\right) \cdot \left(1 + \frac{2y + 1}{2y} - \frac{4y^2 + 10y}{4y^2 + 2y}\right) : \frac{1}{2y} = \frac{2y - 1}{2y + 1}$

Для доказательства тождества необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части. Выполним преобразования по действиям.

1. Упростим выражение в первой скобке:

$ \frac{8y^2+2y}{8y^3-1} - \frac{2y+1}{4y^2+2y+1} $

Знаменатель первой дроби, $8y^3-1$, является разностью кубов. Разложим его на множители по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$ 8y^3-1 = (2y)^3 - 1^3 = (2y-1)(4y^2+2y+1) $

Теперь выражение в скобках можно записать так:

$ \frac{8y^2+2y}{(2y-1)(4y^2+2y+1)} - \frac{2y+1}{4y^2+2y+1} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(2y-1)(4y^2+2y+1)$, домножив числитель и знаменатель второй дроби на $(2y-1)$:

$ \frac{8y^2+2y}{(2y-1)(4y^2+2y+1)} - \frac{(2y+1)(2y-1)}{(2y-1)(4y^2+2y+1)} $

Объединим дроби и упростим числитель, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ для выражения $(2y+1)(2y-1)=4y^2-1$:

$ \frac{8y^2+2y - (4y^2-1)}{(2y-1)(4y^2+2y+1)} = \frac{8y^2+2y-4y^2+1}{(2y-1)(4y^2+2y+1)} = \frac{4y^2+2y+1}{(2y-1)(4y^2+2y+1)} $

Сократим дробь на общий множитель $(4y^2+2y+1)$:

$ \frac{1}{2y-1} $

2. Упростим выражение во второй скобке:

$ 1 + \frac{2y+1}{2y} - \frac{4y^2+10y}{4y^2+2y} $

Сначала упростим последнюю дробь, вынеся общий множитель $2y$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{4y^2+10y}{4y^2+2y} = \frac{2y(2y+5)}{2y(2y+1)} = \frac{2y+5}{2y+1} $

Теперь выражение во второй скобке имеет вид:

$ 1 + \frac{2y+1}{2y} - \frac{2y+5}{2y+1} $

Приведем все члены к общему знаменателю $2y(2y+1)$:

$ \frac{2y(2y+1)}{2y(2y+1)} + \frac{(2y+1)(2y+1)}{2y(2y+1)} - \frac{2y(2y+5)}{2y(2y+1)} $

Объединим дроби и раскроем скобки в числителе:

$ \frac{(4y^2+2y) + (4y^2+4y+1) - (4y^2+10y)}{2y(2y+1)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{4y^2+2y+4y^2+4y+1-4y^2-10y}{2y(2y+1)} = \frac{4y^2-4y+1}{2y(2y+1)} $

Числитель $4y^2-4y+1$ является полным квадратом разности $(2y-1)^2$. Таким образом, получаем:

$ \frac{(2y-1)^2}{2y(2y+1)} $

3. Выполним умножение и деление с результатами, полученными в предыдущих действиях.

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$ \frac{1}{2y-1} \cdot \frac{(2y-1)^2}{2y(2y+1)} : \frac{1}{2y} $

Заменим деление на дробь умножением на обратную ей дробь:

$ \frac{1}{2y-1} \cdot \frac{(2y-1)^2}{2y(2y+1)} \cdot \frac{2y}{1} $

Выполним умножение и сократим общие множители $(2y-1)$ и $2y$:

$ \frac{1 \cdot (2y-1)^2 \cdot 2y}{(2y-1) \cdot 2y(2y+1) \cdot 1} = \frac{2y-1}{2y+1} $

В результате преобразования левой части тождества мы получили выражение $ \frac{2y-1}{2y+1} $, которое равно правой части тождества.

Ответ: Тождество доказано.

6.16 $\left(\frac{y^2 + 9}{27 - 3y^2} + \frac{y}{3y + 9} - \frac{3}{y^2 - 3y}\right) : \frac{(3y + 9)^2}{3y^2 - y^3} = \frac{y}{9y + 27}$

Для доказательства тождества упростим его левую часть и покажем, что она равна правой части. Вычисления будем производить по действиям.

Первым действием упростим выражение в скобках: $ \left( \frac{y^2 + 9}{27 - 3y^2} + \frac{y}{3y + 9} - \frac{3}{y^2 - 3y} \right) $. Для этого разложим знаменатели на множители:

$ 27 - 3y^2 = 3(9 - y^2) = 3(3 - y)(3 + y) $

$ 3y + 9 = 3(y + 3) $

$ y^2 - 3y = y(y - 3) = -y(3 - y) $

Подставим разложенные знаменатели в выражение и преобразуем последнюю дробь, чтобы привести к общему виду $ (3-y) $:

$ \frac{y^2 + 9}{3(3 - y)(y + 3)} + \frac{y}{3(y + 3)} - \frac{3}{-y(3 - y)} = \frac{y^2 + 9}{3(3 - y)(y + 3)} + \frac{y}{3(y + 3)} + \frac{3}{y(3 - y)} $

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $ 3y(3 - y)(y + 3) $:

$ \frac{y(y^2 + 9) + y \cdot y(3 - y) + 3 \cdot 3(y + 3)}{3y(3 - y)(y + 3)} = \frac{y^3 + 9y + 3y^2 - y^3 + 9y + 27}{3y(3 - y)(y + 3)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{3y^2 + 18y + 27}{3y(3 - y)(y + 3)} $

Вынесем общий множитель в числителе и свернем выражение в скобках по формуле квадрата суммы:

$ \frac{3(y^2 + 6y + 9)}{3y(3 - y)(y + 3)} = \frac{3(y + 3)^2}{3y(3 - y)(y + 3)} $

Сократим дробь на общие множители $ 3 $ и $ (y + 3) $, получив результат первого действия:

$ \frac{y + 3}{y(3 - y)} $

Вторым действием упростим делитель $ \frac{(3y + 9)^2}{3y^2 - y^3} $. Разложим его числитель и знаменатель на множители:

$ (3y + 9)^2 = (3(y + 3))^2 = 9(y + 3)^2 $

$ 3y^2 - y^3 = y^2(3 - y) $

Таким образом, делитель равен $ \frac{9(y + 3)^2}{y^2(3 - y)} $.

Третьим действием выполним деление результата первого действия на делитель. Заменим деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{y + 3}{y(3 - y)} : \frac{9(y + 3)^2}{y^2(3 - y)} = \frac{y + 3}{y(3 - y)} \cdot \frac{y^2(3 - y)}{9(y + 3)^2} $

Сократим общие множители $ y $, $ (3 - y) $ и $ (y + 3) $:

$ \frac{y}{9(y + 3)} $

Это и есть упрощенная левая часть исходного тождества.

Наконец, сравним полученный результат с правой частью тождества $ \frac{y}{9y + 27} $. Упростим ее, вынеся 9 за скобки в знаменателе:

$ \frac{y}{9(y + 3)} $

Левая и правая части тождества равны. Следовательно, тождество доказано для всех допустимых значений переменной $ y $ (где знаменатели не обращаются в ноль: $ y \neq 0 $, $ y \neq 3 $, $ y \neq -3 $).

Ответ: тождество доказано.

6.17 $\left( \frac{z}{z - 2} - \frac{z^2}{z^3 + 8} \cdot \frac{z^2 + 2z}{z - 2} \right) : \frac{8}{z^2 - 2z + 4} + \frac{z^2 + z - 2}{2z + 4} = \frac{z - 2}{4}.$

Для решения данного уравнения необходимо сначала найти Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $z$, а затем последовательно упростить левую часть уравнения.

1. Нахождение Области Допустимых Значений (ОДЗ)

ОДЗ определяется условиями, при которых знаменатели дробей не равны нулю.

• $z - 2 \neq 0 \implies z \neq 2$
• $z^3 + 8 \neq 0 \implies z^3 \neq -8 \implies z \neq -2$. Разложим на множители: $z^3 + 8 = (z+2)(z^2-2z+4)$. Отсюда $z+2 \neq 0$, то есть $z \neq -2$. Выражение $z^2-2z+4$ не равно нулю ни при каких действительных $z$, так как его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$.
• $z^2 - 2z + 4 \neq 0$, как мы уже выяснили, это выражение всегда больше нуля.
• $2z + 4 \neq 0 \implies 2(z+2) \neq 0 \implies z \neq -2$.

Таким образом, ОДЗ: $z \neq 2$ и $z \neq -2$.

2. Упрощение левой части уравнения по действиям

Выполним действия в левой части уравнения по порядку.

Действие 1. Упростим выражение в скобках.

Сначала выполним умножение дробей:

$\frac{z^2}{z^3+8} \cdot \frac{z^2+2z}{z-2}$

Разложим числители и знаменатели на множители:

$z^3+8 = (z+2)(z^2-2z+4)$

$z^2+2z = z(z+2)$

Подставим и сократим:

$\frac{z^2}{(z+2)(z^2-2z+4)} \cdot \frac{z(z+2)}{z-2} = \frac{z^2 \cdot z}{(z^2-2z+4)(z-2)} = \frac{z^3}{(z-2)(z^2-2z+4)}$

Теперь выполним вычитание в скобках:

$\frac{z}{z-2} - \frac{z^3}{(z-2)(z^2-2z+4)}$

Приведем к общему знаменателю $(z-2)(z^2-2z+4)$:

$\frac{z(z^2-2z+4) - z^3}{(z-2)(z^2-2z+4)} = \frac{z^3-2z^2+4z-z^3}{(z-2)(z^2-2z+4)} = \frac{-2z^2+4z}{(z-2)(z^2-2z+4)}$

Вынесем общий множитель в числителе:

$\frac{-2z(z-2)}{(z-2)(z^2-2z+4)} = \frac{-2z}{z^2-2z+4}$

Действие 2. Выполним деление.

Результат из скобок разделим на дробь $\frac{8}{z^2-2z+4}$:

$\frac{-2z}{z^2-2z+4} \div \frac{8}{z^2-2z+4} = \frac{-2z}{z^2-2z+4} \cdot \frac{z^2-2z+4}{8} = \frac{-2z}{8} = -\frac{z}{4}$

Действие 3. Подставим упрощенное выражение в исходное уравнение.

После упрощения первых двух членов левой части уравнение принимает вид:

$-\frac{z}{4} + \frac{z^2+z-2}{2z+4} = \frac{z-2}{4}$

3. Решение полученного уравнения

Упростим второе слагаемое в левой части, разложив числитель и знаменатель на множители:

$\frac{z^2+z-2}{2z+4} = \frac{(z+2)(z-1)}{2(z+2)} = \frac{z-1}{2}$

Теперь уравнение выглядит так:

$-\frac{z}{4} + \frac{z-1}{2} = \frac{z-2}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$4 \cdot (-\frac{z}{4}) + 4 \cdot (\frac{z-1}{2}) = 4 \cdot (\frac{z-2}{4})$

$-z + 2(z-1) = z-2$

Раскроем скобки:

$-z + 2z - 2 = z-2$

$z - 2 = z - 2$

$0 = 0$

4. Вывод

Мы получили верное числовое равенство $0=0$, которое не зависит от переменной $z$. Это означает, что исходное уравнение является тождеством, то есть оно верно для всех значений переменной $z$, принадлежащих области допустимых значений (ОДЗ).

Как мы установили вначале, ОДЗ: $z \neq 2$ и $z \neq -2$.

Ответ: $z$ - любое действительное число, кроме $z = 2$ и $z = -2$. Это можно записать в виде $z \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

6.18 $\frac{18xy}{2y + 3x} + \frac{1}{2y - 3x} : \left( \frac{4}{4y^2 - 9x^2} - \frac{6y - 9x}{8y^3 + 27x^3} \right) = 3x + 2y.$

Чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой. Выполним действия в левой части по порядку.

1. Первым действием выполним вычитание в скобках: $ \frac{4}{4y^2 - 9x^2} - \frac{6y - 9x}{8y^3 + 27x^3} $.

Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ и формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $.

$ 4y^2 - 9x^2 = (2y)^2 - (3x)^2 = (2y - 3x)(2y + 3x) $

$ 8y^3 + 27x^3 = (2y)^3 + (3x)^3 = (2y + 3x)(4y^2 - 6xy + 9x^2) $

Также вынесем общий множитель в числителе второй дроби: $ 6y - 9x = 3(2y - 3x) $.

Подставим разложенные выражения обратно в скобки:

$ \frac{4}{(2y - 3x)(2y + 3x)} - \frac{3(2y - 3x)}{(2y + 3x)(4y^2 - 6xy + 9x^2)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ (2y - 3x)(2y + 3x)(4y^2 - 6xy + 9x^2) $:

$ \frac{4(4y^2 - 6xy + 9x^2) - 3(2y - 3x)(2y - 3x)}{(2y - 3x)(2y + 3x)(4y^2 - 6xy + 9x^2)} = \frac{4(4y^2 - 6xy + 9x^2) - 3(2y - 3x)^2}{(2y - 3x)(2y + 3x)(4y^2 - 6xy + 9x^2)} $

Раскроем скобки и упростим числитель:

$ 4(4y^2 - 6xy + 9x^2) - 3(4y^2 - 12xy + 9x^2) = 16y^2 - 24xy + 36x^2 - 12y^2 + 36xy - 27x^2 = 4y^2 + 12xy + 9x^2 $

Заметим, что полученный числитель является полным квадратом суммы: $ 4y^2 + 12xy + 9x^2 = (2y + 3x)^2 $.

Итак, результат выражения в скобках:

$ \frac{(2y + 3x)^2}{(2y - 3x)(2y + 3x)(4y^2 - 6xy + 9x^2)} = \frac{2y + 3x}{(2y - 3x)(4y^2 - 6xy + 9x^2)} $

2. Вторым действием выполним деление: $ \frac{1}{2y - 3x} $ на результат, полученный в первом действии.

$ \frac{1}{2y - 3x} : \frac{2y + 3x}{(2y - 3x)(4y^2 - 6xy + 9x^2)} = \frac{1}{2y - 3x} \cdot \frac{(2y - 3x)(4y^2 - 6xy + 9x^2)}{2y + 3x} $

Сократим общий множитель $ (2y - 3x) $:

$ \frac{4y^2 - 6xy + 9x^2}{2y + 3x} $

3. Третьим действием выполним сложение:

$ \frac{18xy}{2y + 3x} + \frac{4y^2 - 6xy + 9x^2}{2y + 3x} $

Так как знаменатели одинаковы, сложим числители:

$ \frac{18xy + 4y^2 - 6xy + 9x^2}{2y + 3x} = \frac{4y^2 + 12xy + 9x^2}{2y + 3x} $

Числитель, как мы уже выяснили, является полным квадратом $ (2y + 3x)^2 $:

$ \frac{(2y + 3x)^2}{2y + 3x} $

Сократим дробь на $ (2y + 3x) $:

$ 2y + 3x $

Мы преобразовали левую часть уравнения и получили $ 3x + 2y $, что в точности равно правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество $ \frac{18xy}{2y + 3x} + \frac{1}{2y - 3x} : \left( \frac{4}{4y^2 - 9x^2} - \frac{6y - 9x}{8y^3 + 27x^3} \right) = 3x + 2y $ доказано.