Номер 6.18, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 6. Преобразование рациональных выражений - номер 6.18, страница 45.

Условие.

6.18 $\frac{18xy}{2y + 3x} + \frac{1}{2y - 3x} : \left( \frac{4}{4y^2 - 9x^2} - \frac{6y - 9x}{8y^3 + 27x^3} \right) = 3x + 2y.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой. Выполним действия в левой части по порядку.

1. Первым действием выполним вычитание в скобках: $ \frac{4}{4y^2 - 9x^2} - \frac{6y - 9x}{8y^3 + 27x^3} $.

Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ и формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $.

$ 4y^2 - 9x^2 = (2y)^2 - (3x)^2 = (2y - 3x)(2y + 3x) $

$ 8y^3 + 27x^3 = (2y)^3 + (3x)^3 = (2y + 3x)(4y^2 - 6xy + 9x^2) $

Также вынесем общий множитель в числителе второй дроби: $ 6y - 9x = 3(2y - 3x) $.

Подставим разложенные выражения обратно в скобки:

$ \frac{4}{(2y - 3x)(2y + 3x)} - \frac{3(2y - 3x)}{(2y + 3x)(4y^2 - 6xy + 9x^2)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ (2y - 3x)(2y + 3x)(4y^2 - 6xy + 9x^2) $:

$ \frac{4(4y^2 - 6xy + 9x^2) - 3(2y - 3x)(2y - 3x)}{(2y - 3x)(2y + 3x)(4y^2 - 6xy + 9x^2)} = \frac{4(4y^2 - 6xy + 9x^2) - 3(2y - 3x)^2}{(2y - 3x)(2y + 3x)(4y^2 - 6xy + 9x^2)} $

Раскроем скобки и упростим числитель:

$ 4(4y^2 - 6xy + 9x^2) - 3(4y^2 - 12xy + 9x^2) = 16y^2 - 24xy + 36x^2 - 12y^2 + 36xy - 27x^2 = 4y^2 + 12xy + 9x^2 $

Заметим, что полученный числитель является полным квадратом суммы: $ 4y^2 + 12xy + 9x^2 = (2y + 3x)^2 $.

Итак, результат выражения в скобках:

$ \frac{(2y + 3x)^2}{(2y - 3x)(2y + 3x)(4y^2 - 6xy + 9x^2)} = \frac{2y + 3x}{(2y - 3x)(4y^2 - 6xy + 9x^2)} $

2. Вторым действием выполним деление: $ \frac{1}{2y - 3x} $ на результат, полученный в первом действии.

$ \frac{1}{2y - 3x} : \frac{2y + 3x}{(2y - 3x)(4y^2 - 6xy + 9x^2)} = \frac{1}{2y - 3x} \cdot \frac{(2y - 3x)(4y^2 - 6xy + 9x^2)}{2y + 3x} $

Сократим общий множитель $ (2y - 3x) $:

$ \frac{4y^2 - 6xy + 9x^2}{2y + 3x} $

3. Третьим действием выполним сложение:

$ \frac{18xy}{2y + 3x} + \frac{4y^2 - 6xy + 9x^2}{2y + 3x} $

Так как знаменатели одинаковы, сложим числители:

$ \frac{18xy + 4y^2 - 6xy + 9x^2}{2y + 3x} = \frac{4y^2 + 12xy + 9x^2}{2y + 3x} $

Числитель, как мы уже выяснили, является полным квадратом $ (2y + 3x)^2 $:

$ \frac{(2y + 3x)^2}{2y + 3x} $

Сократим дробь на $ (2y + 3x) $:

$ 2y + 3x $

Мы преобразовали левую часть уравнения и получили $ 3x + 2y $, что в точности равно правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество $ \frac{18xy}{2y + 3x} + \frac{1}{2y - 3x} : \left( \frac{4}{4y^2 - 9x^2} - \frac{6y - 9x}{8y^3 + 27x^3} \right) = 3x + 2y $ доказано.