Номер 6.20, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 6. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 6.20, страница 46.

Условие.

6.20 $(\frac{b^2 - 2b + 4}{4b^2 - 1} \cdot \frac{2b^2 + b}{b^3 + 8} - \frac{b+2}{2b^2 - b}) : (\frac{4}{b^2 + 2b} - \frac{b+4}{3 - 6b})$

при $b = \frac{7}{275}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение, выполняя действия в соответствии с их порядком: сначала действия в скобках (умножение, затем вычитание), после этого деление и, наконец, последнее вычитание.

1. Умножение в скобках

Разложим числители и знаменатели дробей на множители. Для этого используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

$ \frac{b^2 - 2b + 4}{4b^2 - 1} \cdot \frac{2b^2 + b}{b^3 + 8} = \frac{b^2 - 2b + 4}{(2b - 1)(2b + 1)} \cdot \frac{b(2b + 1)}{(b + 2)(b^2 - 2b + 4)} $

Сократим общие множители $(b^2 - 2b + 4)$ и $(2b + 1)$:

$ \frac{1}{2b - 1} \cdot \frac{b}{b + 2} = \frac{b}{(2b - 1)(b + 2)} $

2. Вычитание в скобках

Теперь из результата первого действия вычтем вторую дробь. Предварительно разложим на множители знаменатель второй дроби: $2b^2 - b = b(2b - 1)$.

$ \frac{b}{(2b - 1)(b + 2)} - \frac{b + 2}{b(2b - 1)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $b(2b - 1)(b + 2)$:

$ \frac{b \cdot b}{b(2b - 1)(b + 2)} - \frac{(b + 2)(b + 2)}{b(2b - 1)(b + 2)} = \frac{b^2 - (b + 2)^2}{b(2b - 1)(b + 2)} $

В числителе применим формулу разности квадратов или раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$ \frac{b^2 - (b^2 + 4b + 4)}{b(2b - 1)(b + 2)} = \frac{b^2 - b^2 - 4b - 4}{b(2b - 1)(b + 2)} = \frac{-4b - 4}{b(2b - 1)(b + 2)} = \frac{-4(b + 1)}{b(2b - 1)(b + 2)} $

3. Деление

Разделим выражение, полученное в скобках, на дробь $\frac{4}{b^2 + 2b}$. Для этого умножим на обратную дробь. Знаменатель делителя $b^2 + 2b$ разложим на множители: $b^2 + 2b = b(b+2)$.

$ \frac{-4(b + 1)}{b(2b - 1)(b + 2)} : \frac{4}{b(b+2)} = \frac{-4(b + 1)}{b(2b - 1)(b + 2)} \cdot \frac{b(b + 2)}{4} $

Сократим общие множители $4$, $b$ и $(b+2)$:

$ \frac{-(b + 1)}{2b - 1} $

4. Последнее вычитание

Из полученного результата вычтем последнюю дробь. Преобразуем ее знаменатель: $3 - 6b = 3(1 - 2b) = -3(2b - 1)$.

$ \frac{-(b + 1)}{2b - 1} - \frac{b + 4}{3 - 6b} = \frac{-(b + 1)}{2b - 1} - \frac{b + 4}{-3(2b - 1)} = \frac{-(b + 1)}{2b - 1} + \frac{b + 4}{3(2b - 1)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $3(2b - 1)$:

$ \frac{-3(b + 1)}{3(2b - 1)} + \frac{b + 4}{3(2b - 1)} = \frac{-3(b + 1) + b + 4}{3(2b - 1)} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{-3b - 3 + b + 4}{3(2b - 1)} = \frac{-2b + 1}{3(2b - 1)} $

Вынесем $-1$ за скобки в числителе и сократим дробь:

$ \frac{-(2b - 1)}{3(2b - 1)} = -\frac{1}{3} $

5. Вычисление значения выражения

В результате упрощения мы получили числовое значение $-\frac{1}{3}$. Это означает, что значение исходного выражения не зависит от переменной $b$ (для всех допустимых значений $b$).

Значение $b = \frac{7}{275}$ является допустимым, так как оно не обращает в ноль ни один из знаменателей в исходном выражении.

Следовательно, при $b = \frac{7}{275}$ значение выражения равно $-\frac{1}{3}$.

Ответ: $ -\frac{1}{3} $