Номер 6.19, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 6. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 6.19, страница 46.

Условие.

Найдите значение выражения:

6.19

$\frac{2 - a}{5} + \left(\frac{1}{1 - 2a}\right)^2 : \left(\frac{a + 2}{4a^3 - 4a^2 + a} - \frac{2 - a}{1 - 8a^3} \cdot \frac{4a^2 + 2a + 1}{2a^2 + a}\right)$

при $a = -3,2746$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы найти значение данного выражения, мы сначала упростим его. Зачастую в таких задачах громоздкое выражение после упрощения принимает простой вид, не зависящий от переменной, или вид, в который легко подставить заданное значение.

Исходное выражение:

$\frac{2-a}{5} + \left(\frac{1}{1-2a}\right)^2 : \left(\frac{a+2}{4a^3 - 4a^2 + a} - \frac{2-a}{1-8a^3} \cdot \frac{4a^2 + 2a + 1}{2a^2 + a}\right)$

Выполним действия по порядку. В первую очередь упростим выражение в больших скобках.

1. Упрощение выражения в скобках.

Сначала разложим на множители знаменатели дробей:

• $4a^3 - 4a^2 + a = a(4a^2 - 4a + 1) = a(2a-1)^2$
• $1-8a^3 = 1^3 - (2a)^3 = (1-2a)(1+2a+4a^2)$ (по формуле разности кубов)
• $2a^2 + a = a(2a+1)$

Теперь подставим разложенные выражения в скобки и выполним умножение:

$\frac{a+2}{a(2a-1)^2} - \frac{2-a}{(1-2a)(1+2a+4a^2)} \cdot \frac{4a^2 + 2a + 1}{a(2a+1)}$

Сокращаем $(4a^2 + 2a + 1)$ во втором слагаемом:

$\frac{a+2}{a(2a-1)^2} - \frac{2-a}{(1-2a)a(2a+1)}$

Заметим, что $(2a-1)^2 = (-(1-2a))^2 = (1-2a)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю $a(1-2a)^2(2a+1)$:

$\frac{(a+2)(2a+1)}{a(1-2a)^2(2a+1)} - \frac{(2-a)(1-2a)}{a(1-2a)^2(2a+1)}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{(a+2)(2a+1) - (2-a)(1-2a)}{a(1-2a)^2(2a+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(a+2)(2a+1) = 2a^2+a+4a+2 = 2a^2+5a+2$

$(2-a)(1-2a) = 2-4a-a+2a^2 = 2a^2-5a+2$

Числитель дроби равен:

$(2a^2+5a+2) - (2a^2-5a+2) = 2a^2+5a+2 - 2a^2+5a-2 = 10a$

Таким образом, всё выражение в скобках равно:

$\frac{10a}{a(1-2a)^2(2a+1)} = \frac{10}{(1-2a)^2(2a+1)}$

2. Выполнение деления.

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим полученный результат:

$\frac{2-a}{5} + \left(\frac{1}{1-2a}\right)^2 : \frac{10}{(1-2a)^2(2a+1)}$

Выполним деление:

$\left(\frac{1}{1-2a}\right)^2 : \frac{10}{(1-2a)^2(2a+1)} = \frac{1}{(1-2a)^2} \cdot \frac{(1-2a)^2(2a+1)}{10}$

Сокращаем общий множитель $(1-2a)^2$:

$\frac{1}{\cancel{(1-2a)^2}} \cdot \frac{\cancel{(1-2a)^2}(2a+1)}{10} = \frac{2a+1}{10}$

3. Выполнение сложения.

Подставим результат деления в исходное выражение:

$\frac{2-a}{5} + \frac{2a+1}{10}$

Приведем дроби к общему знаменателю 10:

$\frac{2(2-a)}{10} + \frac{2a+1}{10} = \frac{4-2a+2a+1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0,5$

В результате упрощения мы получили число, не зависящее от переменной $a$. Это означает, что при любом допустимом значении $a$ (включая $a = -3,2746$) значение выражения будет одинаковым.

Ответ: $0,5$