Номер 6.16, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 6. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 6.16, страница 45.

Условие.

6.16 $\left(\frac{y^2 + 9}{27 - 3y^2} + \frac{y}{3y + 9} - \frac{3}{y^2 - 3y}\right) : \frac{(3y + 9)^2}{3y^2 - y^3} = \frac{y}{9y + 27}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для доказательства тождества упростим его левую часть и покажем, что она равна правой части. Вычисления будем производить по действиям.

Первым действием упростим выражение в скобках: $ \left( \frac{y^2 + 9}{27 - 3y^2} + \frac{y}{3y + 9} - \frac{3}{y^2 - 3y} \right) $. Для этого разложим знаменатели на множители:

$ 27 - 3y^2 = 3(9 - y^2) = 3(3 - y)(3 + y) $

$ 3y + 9 = 3(y + 3) $

$ y^2 - 3y = y(y - 3) = -y(3 - y) $

Подставим разложенные знаменатели в выражение и преобразуем последнюю дробь, чтобы привести к общему виду $ (3-y) $:

$ \frac{y^2 + 9}{3(3 - y)(y + 3)} + \frac{y}{3(y + 3)} - \frac{3}{-y(3 - y)} = \frac{y^2 + 9}{3(3 - y)(y + 3)} + \frac{y}{3(y + 3)} + \frac{3}{y(3 - y)} $

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $ 3y(3 - y)(y + 3) $:

$ \frac{y(y^2 + 9) + y \cdot y(3 - y) + 3 \cdot 3(y + 3)}{3y(3 - y)(y + 3)} = \frac{y^3 + 9y + 3y^2 - y^3 + 9y + 27}{3y(3 - y)(y + 3)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{3y^2 + 18y + 27}{3y(3 - y)(y + 3)} $

Вынесем общий множитель в числителе и свернем выражение в скобках по формуле квадрата суммы:

$ \frac{3(y^2 + 6y + 9)}{3y(3 - y)(y + 3)} = \frac{3(y + 3)^2}{3y(3 - y)(y + 3)} $

Сократим дробь на общие множители $ 3 $ и $ (y + 3) $, получив результат первого действия:

$ \frac{y + 3}{y(3 - y)} $

Вторым действием упростим делитель $ \frac{(3y + 9)^2}{3y^2 - y^3} $. Разложим его числитель и знаменатель на множители:

$ (3y + 9)^2 = (3(y + 3))^2 = 9(y + 3)^2 $

$ 3y^2 - y^3 = y^2(3 - y) $

Таким образом, делитель равен $ \frac{9(y + 3)^2}{y^2(3 - y)} $.

Третьим действием выполним деление результата первого действия на делитель. Заменим деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{y + 3}{y(3 - y)} : \frac{9(y + 3)^2}{y^2(3 - y)} = \frac{y + 3}{y(3 - y)} \cdot \frac{y^2(3 - y)}{9(y + 3)^2} $

Сократим общие множители $ y $, $ (3 - y) $ и $ (y + 3) $:

$ \frac{y}{9(y + 3)} $

Это и есть упрощенная левая часть исходного тождества.

Наконец, сравним полученный результат с правой частью тождества $ \frac{y}{9y + 27} $. Упростим ее, вынеся 9 за скобки в знаменателе:

$ \frac{y}{9(y + 3)} $

Левая и правая части тождества равны. Следовательно, тождество доказано для всех допустимых значений переменной $ y $ (где знаменатели не обращаются в ноль: $ y \neq 0 $, $ y \neq 3 $, $ y \neq -3 $).

Ответ: тождество доказано.