Номер 6.16, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Авторы: Мордкович А. Г., Александрова Л. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е., Семенов П. В.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 2
Цвет обложки:
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Параграф 6. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 6.16, страница 45.
№6.16 (с. 45)
Условие. №6.16 (с. 45)
скриншот условия

6.16 $\left(\frac{y^2 + 9}{27 - 3y^2} + \frac{y}{3y + 9} - \frac{3}{y^2 - 3y}\right) : \frac{(3y + 9)^2}{3y^2 - y^3} = \frac{y}{9y + 27}$
Решение 1. №6.16 (с. 45)

Решение 2. №6.16 (с. 45)

Решение 4. №6.16 (с. 45)

Решение 6. №6.16 (с. 45)
Для доказательства тождества упростим его левую часть и покажем, что она равна правой части. Вычисления будем производить по действиям.
Первым действием упростим выражение в скобках: $ \left( \frac{y^2 + 9}{27 - 3y^2} + \frac{y}{3y + 9} - \frac{3}{y^2 - 3y} \right) $. Для этого разложим знаменатели на множители:
$ 27 - 3y^2 = 3(9 - y^2) = 3(3 - y)(3 + y) $
$ 3y + 9 = 3(y + 3) $
$ y^2 - 3y = y(y - 3) = -y(3 - y) $
Подставим разложенные знаменатели в выражение и преобразуем последнюю дробь, чтобы привести к общему виду $ (3-y) $:
$ \frac{y^2 + 9}{3(3 - y)(y + 3)} + \frac{y}{3(y + 3)} - \frac{3}{-y(3 - y)} = \frac{y^2 + 9}{3(3 - y)(y + 3)} + \frac{y}{3(y + 3)} + \frac{3}{y(3 - y)} $
Теперь приведем дроби к общему знаменателю $ 3y(3 - y)(y + 3) $:
$ \frac{y(y^2 + 9) + y \cdot y(3 - y) + 3 \cdot 3(y + 3)}{3y(3 - y)(y + 3)} = \frac{y^3 + 9y + 3y^2 - y^3 + 9y + 27}{3y(3 - y)(y + 3)} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{3y^2 + 18y + 27}{3y(3 - y)(y + 3)} $
Вынесем общий множитель в числителе и свернем выражение в скобках по формуле квадрата суммы:
$ \frac{3(y^2 + 6y + 9)}{3y(3 - y)(y + 3)} = \frac{3(y + 3)^2}{3y(3 - y)(y + 3)} $
Сократим дробь на общие множители $ 3 $ и $ (y + 3) $, получив результат первого действия:
$ \frac{y + 3}{y(3 - y)} $
Вторым действием упростим делитель $ \frac{(3y + 9)^2}{3y^2 - y^3} $. Разложим его числитель и знаменатель на множители:
$ (3y + 9)^2 = (3(y + 3))^2 = 9(y + 3)^2 $
$ 3y^2 - y^3 = y^2(3 - y) $
Таким образом, делитель равен $ \frac{9(y + 3)^2}{y^2(3 - y)} $.
Третьим действием выполним деление результата первого действия на делитель. Заменим деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{y + 3}{y(3 - y)} : \frac{9(y + 3)^2}{y^2(3 - y)} = \frac{y + 3}{y(3 - y)} \cdot \frac{y^2(3 - y)}{9(y + 3)^2} $
Сократим общие множители $ y $, $ (3 - y) $ и $ (y + 3) $:
$ \frac{y}{9(y + 3)} $
Это и есть упрощенная левая часть исходного тождества.
Наконец, сравним полученный результат с правой частью тождества $ \frac{y}{9y + 27} $. Упростим ее, вынеся 9 за скобки в знаменателе:
$ \frac{y}{9(y + 3)} $
Левая и правая части тождества равны. Следовательно, тождество доказано для всех допустимых значений переменной $ y $ (где знаменатели не обращаются в ноль: $ y \neq 0 $, $ y \neq 3 $, $ y \neq -3 $).
Ответ: тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 6.16 расположенного на странице 45 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.16 (с. 45), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Александрова (Лилия Александровна), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), Семенов (Павел Владимирович), 2-й части учебного пособия издательства Мнемозина.