Номер 6.23, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 6. Преобразование рациональных выражений - номер 6.23, страница 46.

Условие.

6.23 Докажите, что при любых значениях $x > 2$ значение выражения

$(\frac{x+1}{2x} + \frac{4}{x+3} - 2) : \frac{x+1}{x+3} - \frac{x^2-5x+3}{2x}$

является отрицательным числом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы доказать данное утверждение, необходимо упростить исходное алгебраическое выражение. Упрощение будем производить в соответствии с порядком математических операций: сначала выполним действие в скобках, затем деление и в конце — вычитание.

1. Упрощение выражения в скобках:

Выполним сложение и вычитание дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю $2x(x+3)$.

$\frac{x+1}{2x} + \frac{4}{x+3} - 2 = \frac{(x+1)(x+3)}{2x(x+3)} + \frac{4 \cdot 2x}{2x(x+3)} - \frac{2 \cdot 2x(x+3)}{2x(x+3)}$

Объединим числители под общим знаменателем:

$\frac{(x^2+3x+x+3) + 8x - (4x^2+12x)}{2x(x+3)} = \frac{x^2+4x+3+8x-4x^2-12x}{2x(x+3)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-3x^2+3}{2x(x+3)} = \frac{-3(x^2-1)}{2x(x+3)}$

2. Выполнение деления:

Разделим результат, полученный в первом шаге, на дробь $\frac{x+1}{x+3}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{-3(x^2-1)}{2x(x+3)} : \frac{x+1}{x+3} = \frac{-3(x-1)(x+1)}{2x(x+3)} \cdot \frac{x+3}{x+1}$

Поскольку по условию $x > 2$, то выражения $x+1$ и $x+3$ не равны нулю, поэтому мы можем сократить дробь на эти множители:

$\frac{-3(x-1)}{2x}$

3. Выполнение вычитания:

Теперь из результата второго действия вычтем последнюю дробь из исходного выражения.

$\frac{-3(x-1)}{2x} - \frac{x^2-5x+3}{2x}$

Так как у дробей одинаковый знаменатель, вычтем их числители:

$\frac{-3(x-1) - (x^2-5x+3)}{2x} = \frac{-3x+3 - x^2+5x-3}{2x}$

Снова приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-x^2+2x}{2x} = \frac{x(-x+2)}{2x}$

Так как $x > 2$, то $x \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $x$:

$\frac{-x+2}{2} = \frac{-(x-2)}{2}$

4. Анализ знака итогового выражения:

В результате упрощения мы получили выражение $\frac{-(x-2)}{2}$. Теперь проанализируем его знак при заданном условии $x > 2$.

Из условия $x > 2$ следует, что разность $x-2$ всегда является положительным числом: $x-2 > 0$.

Числитель итоговой дроби, $-(x-2)$, является произведением отрицательного числа $(-1)$ на положительное число $(x-2)$, следовательно, числитель всегда будет отрицательным.

Знаменатель дроби, $2$, является положительным числом.

Деление отрицательного числа на положительное всегда дает в результате отрицательное число.

Таким образом, мы доказали, что при любых значениях $x > 2$ значение исходного выражения является отрицательным числом.

Ответ: Утверждение доказано, так как после упрощения выражение принимает вид $\frac{-(x-2)}{2}$, которое всегда отрицательно при $x > 2$.