Номер 7.4, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.4, страница 47.

Условие.

7.4 а) $\frac{x-4}{x^2-4x}$;

б) $\frac{x^2+1}{x}$;

в) $\frac{x^2}{x^2+2x}$;

г) $\frac{x^2+2}{2x}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)Рассмотрим дробь $\frac{x-4}{x^2-4x}$.Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо разложить знаменатель на множители.В знаменателе $x^2-4x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:$x^2-4x = x(x-4)$.
Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:$\frac{x-4}{x(x-4)}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения определяется условием, что знаменатель не должен быть равен нулю: $x(x-4) \neq 0$, откуда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq 4$.
При этих условиях мы можем сократить дробь на общий множитель $(x-4)$:$\frac{x-4}{x(x-4)} = \frac{1}{x}$.
Ответ: $\frac{1}{x}$

б)Рассмотрим дробь $\frac{x^2+1}{x}$.Числитель $x^2+1$ и знаменатель $x$ не имеют общих множителей, кроме 1. Выражение $x^2+1$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами, так как уравнение $x^2+1=0$ не имеет действительных корней.
Следовательно, данная дробь является несократимой.
Однако, можно представить эту дробь в виде суммы, разделив почленно числитель на знаменатель (выделить целую часть):$\frac{x^2+1}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}$.
Ответ: Дробь несократима. Можно представить в виде $x + \frac{1}{x}$.

в)Рассмотрим дробь $\frac{x^2}{x^2+2x}$.Разложим знаменатель на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки:$x^2+2x = x(x+2)$.
Подставим разложенный знаменатель в дробь:$\frac{x^2}{x(x+2)}$.
ОДЗ: $x(x+2) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq -2$.
При этих условиях сократим дробь на общий множитель $x$:$\frac{x^2}{x(x+2)} = \frac{x}{x+2}$.
Ответ: $\frac{x}{x+2}$

г)Рассмотрим дробь $\frac{x^2+2}{2x}$.Числитель $x^2+2$ и знаменатель $2x$ не имеют общих множителей, кроме 1. Выражение $x^2+2$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами, так как уравнение $x^2+2=0$ не имеет действительных корней.
Следовательно, данная дробь является несократимой.
Можно представить эту дробь в виде суммы, разделив почленно числитель на знаменатель:$\frac{x^2+2}{2x} = \frac{x^2}{2x} + \frac{2}{2x} = \frac{x}{2} + \frac{1}{x}$.
Ответ: Дробь несократима. Можно представить в виде $\frac{x}{2} + \frac{1}{x}$.