Страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Свойства степеней с целочисленными показателями.

Умножение степеней с одинаковым основанием
Для любого действительного числа $a$ (где $a \neq 0$) и любых целых чисел $m$ и $n$ справедливо следующее правило: при умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание остается прежним, а показатели степеней складываются. Это свойство является фундаментальным и позволяет упрощать выражения. Например, $x^5 \cdot x^{-3} = x^{5+(-3)} = x^2$.
Ответ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Деление степеней с одинаковым основанием
Для любого действительного числа $a$ (где $a \neq 0$) и любых целых чисел $m$ и $n$ при делении степеней с одинаковыми основаниями, основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Например, $y^2 : y^5 = y^{2-5} = y^{-3}$.
Ответ: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Возведение степени в степень
Для любого действительного числа $a$ (где $a \neq 0$) и любых целых чисел $m$ и $n$ при возведении степени в степень, основание остается без изменений, а показатели перемножаются. Например, $(b^4)^{-2} = b^{4 \cdot (-2)} = b^{-8}$.
Ответ: $(a^m)^n = a^{mn}$

Степень произведения
Для любых действительных чисел $a$ и $b$ (где $a \neq 0, b \neq 0$) и любого целого числа $n$, степень произведения равна произведению степеней каждого из множителей. То есть, чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить. Например, $(2x)^4 = 2^4 \cdot x^4 = 16x^4$.
Ответ: $(ab)^n = a^n b^n$

Степень частного (дроби)
Для любых действительных чисел $a$ и $b$ (где $a \neq 0, b \neq 0$) и любого целого числа $n$, степень частного (дроби) равна частному от деления степени делимого на степень делителя. Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель. Например, $(\frac{c}{d})^{-3} = \frac{c^{-3}}{d^{-3}} = \frac{d^3}{c^3}$.
Ответ: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Степень с нулевым показателем
Любое действительное число $a$, не равное нулю, в нулевой степени равно единице. Это определение вводится для сохранения свойства деления степеней: $a^m : a^m = a^{m-m} = a^0$. Поскольку любое число (кроме нуля), деленное само на себя, равно 1, то и $a^0 = 1$. Выражение $0^0$ считается неопределенным.
Ответ: $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$)

Степень с отрицательным целочисленным показателем
Для любого действительного числа $a$, не равного нулю, и любого целого положительного числа $n$ (то есть $n$ - натуральное число), степень $a$ с показателем $-n$ определяется как число, обратное степени $a$ с показателем $n$. Это определение следует из правила деления степеней: $a^0 : a^n = a^{0-n} = a^{-n}$. Учитывая, что $a^0 = 1$, получаем $1 : a^n = a^{-n}$. Например, $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Ответ: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (при $a \neq 0$)

Упростите выражение:

4.49 a) $1 - \frac{1}{a^3 + 1} - \frac{a}{a + 1}$;

б) $\frac{c}{c^2 + 3c + 9} - \frac{1}{c - 3} + \frac{27}{c^3 - 27}$;

в) $1 - \frac{2d - 1}{4d^2 - 2d + 1} - \frac{2d}{2d + 1}$;

г) $\frac{1}{b + 2} - \frac{b}{b^2 - 2b + 4} - \frac{12}{b^3 + 8}$.

а) $1 - \frac{1}{a^3 + 1} - \frac{a}{a + 1}$

Для упрощения этого выражения необходимо привести все его члены к общему знаменателю. Для этого сначала разложим знаменатель $a^3 + 1$ на множители, используя формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

$a^3 + 1 = a^3 + 1^3 = (a+1)(a^2 - a \cdot 1 + 1^2) = (a+1)(a^2 - a + 1)$.

Общий знаменатель для всех членов выражения — это $(a+1)(a^2 - a + 1)$, что равно $a^3 + 1$.

Теперь приведем каждый член выражения к этому знаменателю:

$1 = \frac{a^3 + 1}{a^3 + 1}$

$\frac{a}{a+1} = \frac{a(a^2 - a + 1)}{(a+1)(a^2 - a + 1)} = \frac{a^3 - a^2 + a}{a^3 + 1}$

Подставим полученные дроби в исходное выражение:

$1 - \frac{1}{a^3 + 1} - \frac{a}{a + 1} = \frac{a^3 + 1}{a^3 + 1} - \frac{1}{a^3 + 1} - \frac{a^3 - a^2 + a}{a^3 + 1}$

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, объединим их числители:

$\frac{(a^3 + 1) - 1 - (a^3 - a^2 + a)}{a^3 + 1} = \frac{a^3 + 1 - 1 - a^3 + a^2 - a}{a^3 + 1} = \frac{a^2 - a}{a^3 + 1}$

В числителе можно вынести общий множитель $a$ за скобки: $\frac{a(a-1)}{a^3+1}$. Выражение упрощено.

Ответ: $\frac{a^2 - a}{a^3 + 1}$

б) $\frac{c}{c^2 + 3c + 9} - \frac{1}{c - 3} + \frac{27}{c^3 - 27}$

Для упрощения приведем дроби к общему знаменателю. Используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.

$c^3 - 27 = c^3 - 3^3 = (c-3)(c^2 + c \cdot 3 + 3^2) = (c-3)(c^2 + 3c + 9)$.

Общий знаменатель — это $c^3 - 27$.

Приведем первую и вторую дроби к этому знаменателю:

$\frac{c}{c^2 + 3c + 9} = \frac{c(c-3)}{(c-3)(c^2 + 3c + 9)} = \frac{c^2 - 3c}{c^3 - 27}$

$\frac{1}{c - 3} = \frac{1(c^2 + 3c + 9)}{(c-3)(c^2 + 3c + 9)} = \frac{c^2 + 3c + 9}{c^3 - 27}$

Подставим дроби в исходное выражение:

$\frac{c^2 - 3c}{c^3 - 27} - \frac{c^2 + 3c + 9}{c^3 - 27} + \frac{27}{c^3 - 27}$

Объединим числители под общим знаменателем:

$\frac{(c^2 - 3c) - (c^2 + 3c + 9) + 27}{c^3 - 27} = \frac{c^2 - 3c - c^2 - 3c - 9 + 27}{c^3 - 27} = \frac{-6c + 18}{c^3 - 27}$

Вынесем общий множитель в числителе и разложим знаменатель:

$\frac{-6(c - 3)}{(c-3)(c^2 + 3c + 9)}$

Сократим общий множитель $(c-3)$ (при условии, что $c \neq 3$):

$\frac{-6}{c^2 + 3c + 9}$

Ответ: $\frac{-6}{c^2 + 3c + 9}$

в) $1 - \frac{2d - 1}{4d^2 - 2d + 1} - \frac{2d}{2d + 1}$

Для упрощения найдем общий знаменатель. Заметим, что знаменатели второй и третьей дробей являются множителями для формулы суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.

Пусть $x=2d$ и $y=1$. Тогда $(2d+1)((2d)^2 - 2d \cdot 1 + 1^2) = (2d+1)(4d^2-2d+1) = (2d)^3 + 1^3 = 8d^3+1$.

Общий знаменатель — $8d^3 + 1$.

Приведем все члены к общему знаменателю:

$1 = \frac{8d^3+1}{8d^3+1}$

$\frac{2d - 1}{4d^2 - 2d + 1} = \frac{(2d - 1)(2d+1)}{(4d^2 - 2d + 1)(2d+1)} = \frac{4d^2 - 1}{8d^3 + 1}$

$\frac{2d}{2d + 1} = \frac{2d(4d^2 - 2d + 1)}{(2d+1)(4d^2 - 2d + 1)} = \frac{8d^3 - 4d^2 + 2d}{8d^3 + 1}$

Подставим в исходное выражение:

$\frac{8d^3 + 1}{8d^3 + 1} - \frac{4d^2 - 1}{8d^3 + 1} - \frac{8d^3 - 4d^2 + 2d}{8d^3 + 1}$

Объединим числители:

$\frac{(8d^3 + 1) - (4d^2 - 1) - (8d^3 - 4d^2 + 2d)}{8d^3 + 1} = \frac{8d^3 + 1 - 4d^2 + 1 - 8d^3 + 4d^2 - 2d}{8d^3 + 1}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(8d^3 - 8d^3) + (-4d^2 + 4d^2) - 2d + (1+1)}{8d^3 + 1} = \frac{2 - 2d}{8d^3 + 1}$

Ответ: $\frac{2 - 2d}{8d^3 + 1}$

г) $\frac{1}{b + 2} - \frac{b}{b^2 - 2b + 4} - \frac{12}{b^3 + 8}$

Найдем общий знаменатель, используя формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

$b^3 + 8 = b^3 + 2^3 = (b+2)(b^2 - b \cdot 2 + 2^2) = (b+2)(b^2 - 2b + 4)$.

Общий знаменатель — $b^3 + 8$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{b + 2} = \frac{1(b^2 - 2b + 4)}{(b+2)(b^2 - 2b + 4)} = \frac{b^2 - 2b + 4}{b^3 + 8}$

$\frac{b}{b^2 - 2b + 4} = \frac{b(b+2)}{(b+2)(b^2 - 2b + 4)} = \frac{b^2 + 2b}{b^3 + 8}$

Подставим дроби в исходное выражение:

$\frac{b^2 - 2b + 4}{b^3 + 8} - \frac{b^2 + 2b}{b^3 + 8} - \frac{12}{b^3 + 8}$

Объединим числители:

$\frac{(b^2 - 2b + 4) - (b^2 + 2b) - 12}{b^3 + 8} = \frac{b^2 - 2b + 4 - b^2 - 2b - 12}{b^3 + 8} = \frac{-4b - 8}{b^3 + 8}$

Вынесем общий множитель в числителе:

$\frac{-4(b+2)}{b^3 + 8} = \frac{-4(b+2)}{(b+2)(b^2 - 2b + 4)}$

Сократим общий множитель $(b+2)$ (при условии, что $b \neq -2$):

$\frac{-4}{b^2 - 2b + 4}$

Ответ: $\frac{-4}{b^2 - 2b + 4}$

4.50 a) $ \frac{3b^2 + 2b + 4}{b^3 - 1} - \frac{1 - 2b}{b^2 + b + 1} - \frac{3}{b - 1}$;

б) $ \frac{a - 2}{a^2 + 2a + 4} - \frac{6a}{a^3 - 8} + \frac{1}{a - 2}$.

а) Упростим выражение $ \frac{3b^2 + 2b + 4}{b^3 - 1} - \frac{1 - 2b}{b^2 + b + 1} - \frac{3}{b - 1} $.

1. Первым шагом найдем общий знаменатель. Для этого разложим на множители знаменатели дробей. Знаменатель первой дроби является разностью кубов: $ b^3 - 1 = (b - 1)(b^2 + b + 1) $. Остальные знаменатели уже являются множителями этого выражения.

2. Таким образом, общий знаменатель всех дробей – это $ (b - 1)(b^2 + b + 1) $.

3. Приведем каждую дробь к общему знаменателю. Первая дробь уже имеет нужный знаменатель. Для второй дроби дополнительный множитель – $ (b - 1) $. Для третьей дроби – $ (b^2 + b + 1) $.

$ \frac{3b^2 + 2b + 4}{(b - 1)(b^2 + b + 1)} - \frac{(1 - 2b)(b - 1)}{(b^2 + b + 1)(b-1)} - \frac{3(b^2 + b + 1)}{(b - 1)(b^2 + b + 1)} $

4. Выполним вычитание дробей, объединив числители под общим знаменателем. Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{(3b^2 + 2b + 4) - (1 - 2b)(b - 1) - 3(b^2 + b + 1)}{(b - 1)(b^2 + b + 1)} = \frac{3b^2 + 2b + 4 - (b - 1 - 2b^2 + 2b) - (3b^2 + 3b + 3)}{(b - 1)(b^2 + b + 1)} $

5. Упростим выражение в числителе:

$ \frac{3b^2 + 2b + 4 - (-2b^2 + 3b - 1) - 3b^2 - 3b - 3}{(b - 1)(b^2 + b + 1)} = \frac{3b^2 + 2b + 4 + 2b^2 - 3b + 1 - 3b^2 - 3b - 3}{(b - 1)(b^2 + b + 1)} $

6. Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(3b^2 + 2b^2 - 3b^2) + (2b - 3b - 3b) + (4 + 1 - 3)}{(b - 1)(b^2 + b + 1)} = \frac{2b^2 - 4b + 2}{(b - 1)(b^2 + b + 1)} $

7. Разложим числитель на множители. Вынесем общий множитель 2 за скобки и применим формулу квадрата разности:

$ 2b^2 - 4b + 2 = 2(b^2 - 2b + 1) = 2(b - 1)^2 $

8. Подставим полученное выражение обратно в дробь и сократим общий множитель $ (b-1) $:

$ \frac{2(b - 1)^2}{(b - 1)(b^2 + b + 1)} = \frac{2(b - 1)}{b^2 + b + 1} $

Ответ: $ \frac{2(b - 1)}{b^2 + b + 1} $

б) Упростим выражение $ \frac{a - 2}{a^2 + 2a + 4} - \frac{6a}{a^3 - 8} + \frac{1}{a - 2} $.

1. Найдем общий знаменатель. Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности кубов: $ a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4) $. Знаменатели первой и третьей дробей являются множителями этого выражения.

2. Общий знаменатель: $ (a - 2)(a^2 + 2a + 4) $.

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби – $ (a - 2) $. Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель. Дополнительный множитель для третьей дроби – $ (a^2 + 2a + 4) $.

$ \frac{(a - 2)(a-2)}{(a^2 + 2a + 4)(a-2)} - \frac{6a}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} + \frac{1(a^2 + 2a + 4)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} $

4. Запишем все под одной дробной чертой и раскроем скобки в числителе:

$ \frac{(a - 2)^2 - 6a + (a^2 + 2a + 4)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} = \frac{(a^2 - 4a + 4) - 6a + a^2 + 2a + 4}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} $

5. Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(a^2 + a^2) + (-4a - 6a + 2a) + (4 + 4)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} = \frac{2a^2 - 8a + 8}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} $

6. Разложим числитель на множители, вынеся 2 за скобки и используя формулу квадрата разности:

$ 2a^2 - 8a + 8 = 2(a^2 - 4a + 4) = 2(a - 2)^2 $

7. Подставим полученное выражение в дробь и сократим на общий множитель $ (a-2) $:

$ \frac{2(a - 2)^2}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} = \frac{2(a - 2)}{a^2 + 2a + 4} $

Ответ: $ \frac{2(a - 2)}{a^2 + 2a + 4} $

4.51 a) $\frac{2mn}{m^3 + n^3} + \frac{2m}{m^2 - n^2} - \frac{1}{m - n}$;

б) $\frac{2xy}{x^3 - y^3} - \frac{2x}{x^2 - y^2} + \frac{1}{x + y}$.

a)

Исходное выражение: $\frac{2mn}{m^3 + n^3} + \frac{2m}{m^2 - n^2} - \frac{1}{m - n}$.

1. Для начала разложим знаменатели на множители. Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ и формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$
$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$
Знаменатель третьей дроби $m - n$ уже является простым множителем.

2. Найдём общий знаменатель. Он должен содержать все множители из разложений в наибольшей встречающейся степени.
Общий знаменатель: $(m - n)(m + n)(m^2 - mn + n^2)$.

3. Приведём каждую дробь к общему знаменателю. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на недостающие множители.
- Для первой дроби $\frac{2mn}{(m + n)(m^2 - mn + n^2)}$ дополнительный множитель — $(m - n)$.
- Для второй дроби $\frac{2m}{(m - n)(m + n)}$ дополнительный множитель — $(m^2 - mn + n^2)$.
- Для третьей дроби $\frac{1}{m - n}$ дополнительный множитель — $(m + n)(m^2 - mn + n^2)$, что равно $m^3 + n^3$.

4. Запишем выражение с общим знаменателем и выполним действия в числителе:
$\frac{2mn(m - n) + 2m(m^2 - mn + n^2) - 1 \cdot (m^3 + n^3)}{(m - n)(m + n)(m^2 - mn + n^2)}$

5. Раскроем скобки в числителе:
$2mn(m - n) = 2m^2n - 2mn^2$
$2m(m^2 - mn + n^2) = 2m^3 - 2m^2n + 2mn^2$
$-(m^3 + n^3) = -m^3 - n^3$

6. Сложим полученные выражения, чтобы упростить числитель:
$(2m^2n - 2mn^2) + (2m^3 - 2m^2n + 2mn^2) - m^3 - n^3$
Приводим подобные слагаемые:
$2m^3 - m^3 + 2m^2n - 2m^2n - 2mn^2 + 2mn^2 - n^3 = m^3 - n^3$

7. Теперь наша дробь имеет вид:
$\frac{m^3 - n^3}{(m - n)(m + n)(m^2 - mn + n^2)}$

8. Числитель можно разложить по формуле разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$

9. Подставим разложение в дробь и сократим общий множитель $(m - n)$:
$\frac{(m - n)(m^2 + mn + n^2)}{(m - n)(m + n)(m^2 - mn + n^2)} = \frac{m^2 + mn + n^2}{(m + n)(m^2 - mn + n^2)}$

10. Знаменатель $(m + n)(m^2 - mn + n^2)$ можно свернуть обратно в $m^3 + n^3$.
Ответ: $\frac{m^2 + mn + n^2}{m^3 + n^3}$

б)

Исходное выражение: $\frac{2xy}{x^3 - y^3} - \frac{2x}{x^2 - y^2} + \frac{1}{x + y}$.

1. Разложим знаменатели на множители, используя формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ и формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
Знаменатель $x + y$ уже является простым множителем.

2. Общий знаменатель: $(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)$.

3. Приведём дроби к общему знаменателю:
- Для первой дроби $\frac{2xy}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}$ дополнительный множитель — $(x + y)$.
- Для второй дроби $\frac{2x}{(x - y)(x + y)}$ дополнительный множитель — $(x^2 + xy + y^2)$.
- Для третьей дроби $\frac{1}{x + y}$ дополнительный множитель — $(x - y)(x^2 + xy + y^2)$, что равно $x^3 - y^3$.

4. Запишем выражение с общим знаменателем:
$\frac{2xy(x + y) - 2x(x^2 + xy + y^2) + 1 \cdot (x^3 - y^3)}{(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)}$

5. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые в числителе:
$2x^2y + 2xy^2 - (2x^3 + 2x^2y + 2xy^2) + x^3 - y^3$
$= 2x^2y + 2xy^2 - 2x^3 - 2x^2y - 2xy^2 + x^3 - y^3$
$= (-2x^3 + x^3) + (2x^2y - 2x^2y) + (2xy^2 - 2xy^2) - y^3$
$= -x^3 - y^3 = -(x^3 + y^3)$

6. Дробь принимает вид:
$\frac{-(x^3 + y^3)}{(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)}$

7. Разложим выражение $(x^3 + y^3)$ в числителе по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

8. Подставим разложение в дробь и сократим на общий множитель $(x + y)$:
$\frac{-(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)} = \frac{-(x^2 - xy + y^2)}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}$

9. Знаменатель $(x - y)(x^2 + xy + y^2)$ можно свернуть обратно в $x^3 - y^3$.
Ответ: $-\frac{x^2 - xy + y^2}{x^3 - y^3}$

4.52 a) $\frac{1}{(b - 5)^2} - \frac{2}{b^2 - 25} + \frac{1}{(b + 5)^2}$;

б) $\frac{1}{(2m - 5n)^2} - \frac{2}{25n^2 - 4m^2} + \frac{1}{(5n + 2m)^2}$.

a) $\frac{1}{(b - 5)^2} - \frac{2}{b^2 - 25} + \frac{1}{(b + 5)^2}$

Для того чтобы сложить и вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель второй дроби $b^2 - 25$ является разностью квадратов: $b^2 - 25 = (b - 5)(b + 5)$.

Таким образом, выражение можно переписать в виде:

$\frac{1}{(b - 5)^2} - \frac{2}{(b - 5)(b + 5)} + \frac{1}{(b + 5)^2}$

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для дробей со знаменателями $(b - 5)^2$, $(b - 5)(b + 5)$ и $(b + 5)^2$ будет $(b - 5)^2(b + 5)^2$.

Приведем каждую дробь к этому знаменателю:

• Домножим первую дробь на $(b + 5)^2$:
  $\frac{1 \cdot (b + 5)^2}{(b - 5)^2(b + 5)^2} = \frac{(b + 5)^2}{(b - 5)^2(b + 5)^2}$
• Домножим вторую дробь на $(b - 5)(b + 5)$:
  $\frac{2 \cdot (b - 5)(b + 5)}{(b - 5)(b + 5)(b - 5)(b + 5)} = \frac{2(b^2 - 25)}{(b - 5)^2(b + 5)^2}$
• Домножим третью дробь на $(b - 5)^2$:
  $\frac{1 \cdot (b - 5)^2}{(b + 5)^2(b - 5)^2} = \frac{(b - 5)^2}{(b - 5)^2(b + 5)^2}$

Теперь выполним операции с числителями над общим знаменателем:

$\frac{(b + 5)^2 - 2(b^2 - 25) + (b - 5)^2}{(b - 5)^2(b + 5)^2}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы, квадрата разности и распределительный закон:

$(b + 5)^2 = b^2 + 10b + 25$

$-2(b^2 - 25) = -2b^2 + 50$

$(b - 5)^2 = b^2 - 10b + 25$

Сложим выражения в числителе:

$(b^2 + 10b + 25) + (-2b^2 + 50) + (b^2 - 10b + 25)$

Приведем подобные слагаемые:

$(b^2 - 2b^2 + b^2) + (10b - 10b) + (25 + 50 + 25) = 0 \cdot b^2 + 0 \cdot b + 100 = 100$

Числитель равен 100. Запишем итоговую дробь:

$\frac{100}{(b - 5)^2(b + 5)^2}$

Знаменатель можно свернуть по формуле $(a \cdot c)^n = a^n \cdot c^n$ и разности квадратов:

$(b - 5)^2(b + 5)^2 = ((b-5)(b+5))^2 = (b^2 - 25)^2$

Таким образом, окончательное выражение:

$\frac{100}{(b^2 - 25)^2}$

Ответ: $\frac{100}{(b^2 - 25)^2}$.

б) $\frac{1}{(2m - 5n)^2} - \frac{2}{25n^2 - 4m^2} + \frac{1}{(5n + 2m)^2}$

Преобразуем знаменатели, чтобы найти общий. Заметим, что $(2m-5n)^2 = (-(5n-2m))^2 = (5n-2m)^2$ и $(5n+2m)^2 = (2m+5n)^2$. Знаменатель второй дроби является разностью квадратов: $25n^2 - 4m^2 = (5n - 2m)(5n + 2m)$.

Преобразуем знак во второй дроби, вынеся минус из знаменателя:

$-\frac{2}{25n^2 - 4m^2} = -\frac{2}{-(4m^2 - 25n^2)} = +\frac{2}{4m^2 - 25n^2}$

Теперь выражение имеет вид:

$\frac{1}{(2m - 5n)^2} + \frac{2}{4m^2 - 25n^2} + \frac{1}{(2m + 5n)^2}$

Разложим знаменатель второй дроби на множители: $4m^2 - 25n^2 = (2m - 5n)(2m + 5n)$.

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{(2m - 5n)^2} + \frac{2}{(2m - 5n)(2m + 5n)} + \frac{1}{(2m + 5n)^2}$

Это выражение является полным квадратом суммы вида $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, где $a = \frac{1}{2m - 5n}$ и $b = \frac{1}{2m + 5n}$.

Свернем выражение по этой формуле:

$\left(\frac{1}{2m - 5n} + \frac{1}{2m + 5n}\right)^2$

Теперь сложим дроби в скобках. Общий знаменатель для них - $(2m - 5n)(2m + 5n)$.

$\frac{1 \cdot (2m+5n)}{(2m - 5n)(2m + 5n)} + \frac{1 \cdot (2m-5n)}{(2m - 5n)(2m + 5n)} = \frac{2m + 5n + 2m - 5n}{(2m - 5n)(2m + 5n)} = \frac{4m}{4m^2 - 25n^2}$

Теперь возведем полученную дробь в квадрат:

$\left(\frac{4m}{4m^2 - 25n^2}\right)^2 = \frac{(4m)^2}{(4m^2 - 25n^2)^2} = \frac{16m^2}{(4m^2 - 25n^2)^2}$

Ответ: $\frac{16m^2}{(4m^2 - 25n^2)^2}$.

Докажите тождество:

4.53 $\frac{3a(16 - 3a)}{9a^2 - 4} + \frac{3(1 + 2a)}{2 - 3a} - \frac{2 - 9a}{3a + 2} = \frac{1}{3a + 2}$

Чтобы доказать тождество, мы преобразуем левую часть уравнения и покажем, что она равна правой части.

Исходное выражение в левой части:

$$ \frac{3a(16 - 3a)}{9a^2 - 4} + \frac{3(1 + 2a)}{2 - 3a} - \frac{2 - 9a}{3a + 2} $$

Шаг 1: Нахождение общего знаменателя.

Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$9a^2 - 4 = (3a)^2 - 2^2 = (3a - 2)(3a + 2)$

Знаменатель второй дроби $2 - 3a$ можно переписать как $-(3a - 2)$. Это позволяет нам изменить знак перед дробью:

$\frac{3(1 + 2a)}{2 - 3a} = -\frac{3(1 + 2a)}{3a - 2}$

Теперь левая часть выглядит так:

$$ \frac{3a(16 - 3a)}{(3a - 2)(3a + 2)} - \frac{3(1 + 2a)}{3a - 2} - \frac{2 - 9a}{3a + 2} $$

Общий знаменатель для всех дробей — $(3a - 2)(3a + 2)$.

Шаг 2: Приведение дробей к общему знаменателю.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(3a - 2)(3a + 2)$, домножив числитель и знаменатель второй дроби на $(3a + 2)$, а третьей — на $(3a - 2)$:

$$ \frac{3a(16 - 3a)}{(3a - 2)(3a + 2)} - \frac{3(1 + 2a)(3a + 2)}{(3a - 2)(3a + 2)} - \frac{(2 - 9a)(3a - 2)}{(3a - 2)(3a + 2)} $$

Шаг 3: Упрощение числителя.

Объединим все под одной дробной чертой и раскроем скобки в числителе:

$$ \frac{3a(16 - 3a) - 3(1 + 2a)(3a + 2) - (2 - 9a)(3a - 2)}{(3a - 2)(3a + 2)} $$

Вычислим каждое произведение в числителе отдельно:
1) $3a(16 - 3a) = 48a - 9a^2$
2) $3(1 + 2a)(3a + 2) = 3(3a + 2 + 6a^2 + 4a) = 3(6a^2 + 7a + 2) = 18a^2 + 21a + 6$
3) $(2 - 9a)(3a - 2) = 6a - 4 - 27a^2 + 18a = -27a^2 + 24a - 4$

Теперь подставим эти результаты в числитель, учитывая знаки:

$(48a - 9a^2) - (18a^2 + 21a + 6) - (-27a^2 + 24a - 4)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$= 48a - 9a^2 - 18a^2 - 21a - 6 + 27a^2 - 24a + 4$

$= (-9a^2 - 18a^2 + 27a^2) + (48a - 21a - 24a) + (-6 + 4)$

$= 0 \cdot a^2 + 3a - 2 = 3a - 2$

Шаг 4: Завершение доказательства.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$$ \frac{3a - 2}{(3a - 2)(3a + 2)} $$

Сократим общий множитель $(3a - 2)$ (при условии, что $3a-2 \neq 0$, то есть $a \neq 2/3$):

$$ \frac{1}{3a + 2} $$

Полученный результат $\frac{1}{3a + 2}$ полностью совпадает с правой частью исходного выражения. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как в результате преобразований левая часть стала равна правой части.

4.54 $\frac{x+2y}{x^2+2xy+y^2} - \frac{x-2y}{x^2-y^2} + \frac{2y^2}{(x+y)(x^2-y^2)} = \frac{2y}{x^2-y^2}.$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Сначала разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ и разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Знаменатель первой дроби: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

Знаменатель второй дроби: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Знаменатель третьей дроби: $(x+y)(x^2-y^2) = (x+y)(x-y)(x+y) = (x+y)^2(x-y)$.

Подставим разложенные знаменатели в левую часть тождества:

$$ \frac{x + 2y}{(x+y)^2} - \frac{x - 2y}{(x-y)(x+y)} + \frac{2y^2}{(x+y)^2(x-y)} $$

Приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для данных дробей - это $(x+y)^2(x-y)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на множитель $(x-y)$, а второй дроби - на $(x+y)$. Третья дробь уже имеет нужный знаменатель.

$$ \frac{(x + 2y)(x-y)}{(x+y)^2(x-y)} - \frac{(x - 2y)(x+y)}{(x-y)(x+y)(x+y)} + \frac{2y^2}{(x+y)^2(x-y)} $$

Теперь объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$$ \frac{(x + 2y)(x-y) - (x - 2y)(x+y) + 2y^2}{(x+y)^2(x-y)} $$

Раскроем скобки в числителе:

$(x + 2y)(x-y) = x^2 - xy + 2xy - 2y^2 = x^2 + xy - 2y^2$.

$(x - 2y)(x+y) = x^2 + xy - 2xy - 2y^2 = x^2 - xy - 2y^2$.

Подставим раскрытые выражения обратно в числитель объединенной дроби:

$$ \frac{(x^2 + xy - 2y^2) - (x^2 - xy - 2y^2) + 2y^2}{(x+y)^2(x-y)} $$

Упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$$ x^2 + xy - 2y^2 - x^2 + xy + 2y^2 + 2y^2 = (x^2 - x^2) + (xy + xy) + (-2y^2 + 2y^2 + 2y^2) = 2xy + 2y^2 $$

Выражение принимает вид:

$$ \frac{2xy + 2y^2}{(x+y)^2(x-y)} $$

Вынесем в числителе общий множитель $2y$ за скобки:

$$ \frac{2y(x+y)}{(x+y)^2(x-y)} $$

Сократим дробь на общий множитель $(x+y)$:

$$ \frac{2y}{(x+y)(x-y)} $$

Применяя формулу разности квадратов к знаменателю, получаем окончательный вид левой части:

$$ \frac{2y}{x^2 - y^2} $$

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано, так как после преобразования левой части мы получили выражение, равное правой части: $\frac{2y}{x^2 - y^2} = \frac{2y}{x^2 - y^2}$.

4.55 $\frac{1}{2z^2 + 5z} - \frac{2}{25 - 10z} - \frac{4}{4z^2 - 25} = \frac{1}{5z}$

Для решения данного уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $z$, при которых знаменатели обращаются в ноль.

1. $2z^2 + 5z = z(2z + 5) \neq 0 \implies z \neq 0$ и $z \neq -2.5$.

2. $25 - 10z = 5(5 - 2z) \neq 0 \implies z \neq 2.5$.

3. $4z^2 - 25 = (2z - 5)(2z + 5) \neq 0 \implies z \neq 2.5$ и $z \neq -2.5$.

4. $5z \neq 0 \implies z \neq 0$.

Таким образом, ОДЗ: $z$ — любое действительное число, кроме $0$, $2.5$ и $-2.5$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения. Для удобства вынесем минус из знаменателя второй дроби:

$$ \frac{1}{2z^2 + 5z} - \frac{2}{-(10z - 25)} - \frac{4}{4z^2 - 25} = \frac{1}{5z} $$

$$ \frac{1}{2z^2 + 5z} + \frac{2}{10z - 25} - \frac{4}{4z^2 - 25} = \frac{1}{5z} $$

Разложим знаменатели на множители:

$$ \frac{1}{z(2z + 5)} + \frac{2}{5(2z - 5)} - \frac{4}{(2z - 5)(2z + 5)} = \frac{1}{5z} $$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю, который равен $5z(2z - 5)(2z + 5)$:

$$ \frac{1 \cdot 5(2z - 5)}{5z(2z + 5)(2z - 5)} + \frac{2 \cdot z(2z + 5)}{5z(2z - 5)(2z + 5)} - \frac{4 \cdot 5z}{5z(2z - 5)(2z + 5)} = \frac{1}{5z} $$

Сложим и вычтем числители:

$$ \frac{5(2z - 5) + 2z(2z + 5) - 20z}{5z(2z - 5)(2z + 5)} = \frac{1}{5z} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{10z - 25 + 4z^2 + 10z - 20z}{5z(4z^2 - 25)} = \frac{1}{5z} $$

$$ \frac{4z^2 + (10z + 10z - 20z) - 25}{5z(4z^2 - 25)} = \frac{1}{5z} $$

$$ \frac{4z^2 - 25}{5z(4z^2 - 25)} = \frac{1}{5z} $$

Так как из ОДЗ следует, что $4z^2 - 25 \neq 0$, мы можем сократить дробь в левой части на $(4z^2 - 25)$:

$$ \frac{1}{5z} = \frac{1}{5z} $$

Полученное равенство является тождеством, то есть оно верно для всех значений переменной $z$, входящих в область допустимых значений.

Ответ: $z$ — любое действительное число, кроме $z = -2.5$, $z = 0$ и $z = 2.5$.

4.56 $\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} + \frac{2}{1+a^2} + \frac{4}{1+a^4} + \frac{8}{1+a^8} + \frac{16}{1+a^{16}} = \frac{32}{1-a^{32}}$.

Для доказательства данного тождества будем последовательно упрощать выражение в левой части, складывая слагаемые попарно. Ключевой формулой, которая будет использоваться на каждом шаге, является формула разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

1. Сложим первые два слагаемых:

$ \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} = \frac{1(1+a) + 1(1-a)}{(1-a)(1+a)} = \frac{1+a+1-a}{1^2-a^2} = \frac{2}{1-a^2} $

2. К полученному результату добавим третье слагаемое из исходного выражения:

$ \frac{2}{1-a^2} + \frac{2}{1+a^2} = \frac{2(1+a^2) + 2(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)} = \frac{2+2a^2+2-2a^2}{1^2-(a^2)^2} = \frac{4}{1-a^4} $

3. Продолжим процесс, добавив к результату четвертое слагаемое:

$ \frac{4}{1-a^4} + \frac{4}{1+a^4} = \frac{4(1+a^4) + 4(1-a^4)}{(1-a^4)(1+a^4)} = \frac{4+4a^4+4-4a^4}{1^2-(a^4)^2} = \frac{8}{1-a^8} $

4. Теперь добавим пятое слагаемое:

$ \frac{8}{1-a^8} + \frac{8}{1+a^8} = \frac{8(1+a^8) + 8(1-a^8)}{(1-a^8)(1+a^8)} = \frac{8+8a^8+8-8a^8}{1^2-(a^8)^2} = \frac{16}{1-a^{16}} $

5. Наконец, сложим полученный результат с последним слагаемым в левой части равенства:

$ \frac{16}{1-a^{16}} + \frac{16}{1+a^{16}} = \frac{16(1+a^{16}) + 16(1-a^{16})}{(1-a^{16})(1+a^{16})} = \frac{16+16a^{16}+16-16a^{16}}{1^2-(a^{16})^2} = \frac{32}{1-a^{32}} $

В результате последовательного сложения всех слагаемых левой части мы получили выражение, стоящее в правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.