Страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

4.5 а) $ \frac{b - 2}{5} + \frac{2b + 1}{15}; $

б) $ \frac{b - 4q}{6} - \frac{2q + b}{10}; $

в) $ \frac{5t - s}{14} - \frac{3s - t}{7}; $

г) $ \frac{p - 5}{20} + \frac{p - 1}{12}. $

а) Чтобы сложить дроби $\frac{b-2}{5}$ и $\frac{2b+1}{15}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 5 и 15 равен 15. Дополнительный множитель для первой дроби равен $15 \div 5 = 3$.
$\frac{b-2}{5} + \frac{2b+1}{15} = \frac{3 \cdot (b-2)}{15} + \frac{2b+1}{15} = \frac{3b-6}{15} + \frac{2b+1}{15}$.
Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями, складывая их числители:
$\frac{(3b-6) + (2b+1)}{15} = \frac{3b-6+2b+1}{15} = \frac{5b-5}{15}$.
Вынесем общий множитель 5 в числителе за скобки и сократим дробь:
$\frac{5(b-1)}{15} = \frac{b-1}{3}$.
Ответ: $\frac{b-1}{3}$

б) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{b-4q}{6} - \frac{2q+b}{10}$, найдем их наименьший общий знаменатель. Наименьшее общее кратное для 6 и 10 равно 30.
Дополнительный множитель для первой дроби: $30 \div 6 = 5$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $30 \div 10 = 3$.
$\frac{5 \cdot (b-4q)}{30} - \frac{3 \cdot (2q+b)}{30} = \frac{5b-20q}{30} - \frac{6q+3b}{30}$.
Вычтем числители, при этом выражение во втором числителе берем в скобки, чтобы правильно раскрыть знак минус:
$\frac{(5b-20q) - (6q+3b)}{30} = \frac{5b-20q-6q-3b}{30}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(5b-3b) + (-20q-6q)}{30} = \frac{2b-26q}{30}$.
Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь:
$\frac{2(b-13q)}{30} = \frac{b-13q}{15}$.
Ответ: $\frac{b-13q}{15}$

в) Выполним вычитание дробей $\frac{5t-s}{14} - \frac{3s-t}{7}$. Общий знаменатель для 14 и 7 равен 14. Дополнительный множитель для второй дроби равен $14 \div 7 = 2$.
$\frac{5t-s}{14} - \frac{2 \cdot (3s-t)}{14} = \frac{5t-s}{14} - \frac{6s-2t}{14}$.
Выполним вычитание числителей:
$\frac{(5t-s) - (6s-2t)}{14} = \frac{5t-s-6s+2t}{14}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(5t+2t) + (-s-6s)}{14} = \frac{7t-7s}{14}$.
Вынесем общий множитель 7 в числителе и сократим дробь:
$\frac{7(t-s)}{14} = \frac{t-s}{2}$.
Ответ: $\frac{t-s}{2}$

г) Сложим дроби $\frac{p-5}{20} + \frac{p-1}{12}$. Найдем наименьший общий знаменатель для 20 и 12. Разложим числа на простые множители: $20=2^2 \cdot 5$, $12=2^2 \cdot 3$. Наименьший общий знаменатель равен $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $60 \div 20 = 3$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $60 \div 12 = 5$.
$\frac{3 \cdot (p-5)}{60} + \frac{5 \cdot (p-1)}{60} = \frac{3p-15}{60} + \frac{5p-5}{60}$.
Сложим числители:
$\frac{(3p-15)+(5p-5)}{60} = \frac{3p-15+5p-5}{60}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(3p+5p) + (-15-5)}{60} = \frac{8p-20}{60}$.
Вынесем общий множитель 4 в числителе и сократим дробь:
$\frac{4(2p-5)}{60} = \frac{2p-5}{15}$.
Ответ: $\frac{2p-5}{15}$

4.6 а) $\frac{a}{b} + \frac{2}{a}$;

б) $\frac{n}{2m} - \frac{4m^2}{3n}$;

в) $\frac{3}{y} - \frac{y^2}{x}$;

г) $\frac{2p}{5q} + \frac{q^4}{2p}$.

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их необходимо привести к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{2}{a}$ — это их произведение $ab$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $a$, а второй дроби — на дополнительный множитель $b$:
$\frac{a}{b} + \frac{2}{a} = \frac{a \cdot a}{b \cdot a} + \frac{2 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{a^2}{ab} + \frac{2b}{ab}$
Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители, оставив общий знаменатель без изменений:
$\frac{a^2 + 2b}{ab}$
Ответ: $\frac{a^2 + 2b}{ab}$

б) Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $2m$ и $3n$ — это $6mn$.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{n}{2m}$ равен $3n$. Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{4m^2}{3n}$ равен $2m$.
$\frac{n}{2m} - \frac{4m^2}{3n} = \frac{n \cdot 3n}{2m \cdot 3n} - \frac{4m^2 \cdot 2m}{3n \cdot 2m} = \frac{3n^2}{6mn} - \frac{8m^3}{6mn}$
Выполним вычитание числителей, а знаменатель оставим прежним:
$\frac{3n^2 - 8m^3}{6mn}$
Ответ: $\frac{3n^2 - 8m^3}{6mn}$

в) Приведем дроби $\frac{3}{y}$ и $\frac{y^2}{x}$ к общему знаменателю $xy$.
Домножим первую дробь на дополнительный множитель $x$, а вторую — на $y$:
$\frac{3}{y} - \frac{y^2}{x} = \frac{3 \cdot x}{y \cdot x} - \frac{y^2 \cdot y}{x \cdot y} = \frac{3x}{xy} - \frac{y^3}{xy}$
Вычтем числители:
$\frac{3x - y^3}{xy}$
Ответ: $\frac{3x - y^3}{xy}$

г) Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{2p}{5q}$ и $\frac{q^4}{2p}$. Наименьший общий знаменатель — это $10pq$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $2p$, для второй — $5q$.
$\frac{2p}{5q} + \frac{q^4}{2p} = \frac{2p \cdot 2p}{5q \cdot 2p} + \frac{q^4 \cdot 5q}{2p \cdot 5q} = \frac{4p^2}{10pq} + \frac{5q^5}{10pq}$
Сложим числители:
$\frac{4p^2 + 5q^5}{10pq}$
Ответ: $\frac{4p^2 + 5q^5}{10pq}$

4.7 а) $\frac{3c-5}{c} - \frac{3d-2}{d}$;

б) $\frac{8a-15}{2a} + \frac{13-12b}{3b}$;

B) $\frac{7-5r}{r} - \frac{8-5s}{s}$;

г) $\frac{9-5z}{5z} + \frac{5+4t}{4t}$.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{3c - 5}{c}$ и $\frac{3d - 2}{d}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $c$ и $d$. Наименьший общий знаменатель для них — это их произведение $cd$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $d$, а второй дроби — на $c$:
$\frac{3c - 5}{c} - \frac{3d - 2}{d} = \frac{d \cdot (3c - 5)}{d \cdot c} - \frac{c \cdot (3d - 2)}{c \cdot d} = \frac{d(3c - 5) - c(3d - 2)}{cd}$.
Теперь раскроем скобки в числителе:
$\frac{3cd - 5d - (3cd - 2c)}{cd} = \frac{3cd - 5d - 3cd + 2c}{cd}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе. Слагаемые $3cd$ и $-3cd$ взаимно уничтожаются:
$\frac{(3cd - 3cd) + 2c - 5d}{cd} = \frac{2c - 5d}{cd}$.
Ответ: $\frac{2c - 5d}{cd}$.

б) Чтобы сложить дроби $\frac{8a - 15}{2a}$ и $\frac{13 - 12b}{3b}$, найдем их общий знаменатель. Знаменатели $2a$ и $3b$. Наименьший общий знаменатель равен произведению коэффициентов и переменных, то есть $НОК(2, 3) \cdot a \cdot b = 6ab$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $3b$, для второй — $2a$:
$\frac{8a - 15}{2a} + \frac{13 - 12b}{3b} = \frac{3b \cdot (8a - 15)}{3b \cdot 2a} + \frac{2a \cdot (13 - 12b)}{2a \cdot 3b} = \frac{3b(8a - 15) + 2a(13 - 12b)}{6ab}$.
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{24ab - 45b + 26a - 24ab}{6ab}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе. Слагаемые $24ab$ и $-24ab$ взаимно уничтожаются:
$\frac{(24ab - 24ab) + 26a - 45b}{6ab} = \frac{26a - 45b}{6ab}$.
Ответ: $\frac{26a - 45b}{6ab}$.

в) Для вычитания дробей $\frac{7 - 5r}{r}$ и $\frac{8 - 5s}{s}$ найдем общий знаменатель, который равен $rs$.
Домножим первую дробь на $s$, а вторую на $r$:
$\frac{7 - 5r}{r} - \frac{8 - 5s}{s} = \frac{s \cdot (7 - 5r)}{s \cdot r} - \frac{r \cdot (8 - 5s)}{r \cdot s} = \frac{s(7 - 5r) - r(8 - 5s)}{rs}$.
Раскроем скобки в числителе, обращая внимание на знак "минус" перед второй дробью:
$\frac{7s - 5rs - (8r - 5rs)}{rs} = \frac{7s - 5rs - 8r + 5rs}{rs}$.
Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-5rs$ и $+5rs$ взаимно уничтожаются:
$\frac{(-5rs + 5rs) + 7s - 8r}{rs} = \frac{7s - 8r}{rs}$.
Ответ: $\frac{7s - 8r}{rs}$.

г) Для сложения дробей $\frac{9 - 5z}{5z}$ и $\frac{5 + 4t}{4t}$ найдем их общий знаменатель. Знаменатели $5z$ и $4t$. Наименьший общий знаменатель равен $НОК(5, 4) \cdot z \cdot t = 20zt$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $4t$, для второй — $5z$:
$\frac{9 - 5z}{5z} + \frac{5 + 4t}{4t} = \frac{4t \cdot (9 - 5z)}{4t \cdot 5z} + \frac{5z \cdot (5 + 4t)}{5z \cdot 4t} = \frac{4t(9 - 5z) + 5z(5 + 4t)}{20zt}$.
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{36t - 20zt + 25z + 20zt}{20zt}$.
Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-20zt$ и $+20zt$ взаимно уничтожаются:
$\frac{(-20zt + 20zt) + 25z + 36t}{20zt} = \frac{25z + 36t}{20zt}$.
Ответ: $\frac{25z + 36t}{20zt}$.

4.8 a) $\frac{x}{7y} - \frac{1}{y}$;

б) $\frac{a}{12b} + \frac{3a}{4b}$;

в) $\frac{7}{a} + \frac{b}{5a}$;

г) $\frac{5y}{8x} - \frac{7y}{24x}$.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{x}{7y} - \frac{1}{y}$, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $7y$ и $y$ — это $7y$. Дополнительный множитель для второй дроби равен $7$.

$\frac{x}{7y} - \frac{1}{y} = \frac{x}{7y} - \frac{1 \cdot 7}{y \cdot 7} = \frac{x}{7y} - \frac{7}{7y} = \frac{x-7}{7y}$.

Ответ: $\frac{x-7}{7y}$

б) Чтобы выполнить сложение дробей $\frac{a}{12b} + \frac{3a}{4b}$, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $12b$ и $4b$ — это $12b$. Дополнительный множитель для второй дроби равен $3$, так как $12b \div 4b = 3$.

$\frac{a}{12b} + \frac{3a}{4b} = \frac{a}{12b} + \frac{3a \cdot 3}{4b \cdot 3} = \frac{a}{12b} + \frac{9a}{12b} = \frac{a+9a}{12b} = \frac{10a}{12b}$.

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{10a}{12b} = \frac{5a}{6b}$.

Ответ: $\frac{5a}{6b}$

в) Чтобы выполнить сложение дробей $\frac{7}{a} + \frac{b}{5a}$, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $a$ и $5a$ — это $5a$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $5$.

$\frac{7}{a} + \frac{b}{5a} = \frac{7 \cdot 5}{a \cdot 5} + \frac{b}{5a} = \frac{35}{5a} + \frac{b}{5a} = \frac{35+b}{5a}$.

Ответ: $\frac{35+b}{5a}$

г) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{5y}{8x} - \frac{7y}{24x}$, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $8x$ и $24x$ — это $24x$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $3$, так как $24x \div 8x = 3$.

$\frac{5y}{8x} - \frac{7y}{24x} = \frac{5y \cdot 3}{8x \cdot 3} - \frac{7y}{24x} = \frac{15y}{24x} - \frac{7y}{24x} = \frac{15y-7y}{24x} = \frac{8y}{24x}$.

Сократим полученную дробь на 8:

$\frac{8y}{24x} = \frac{y}{3x}$.

Ответ: $\frac{y}{3x}$

4.9 a) $ \frac{4m - 5}{3m^2} - \frac{m + 2}{m^2}; $

б) $ \frac{7p + 1}{3p} + \frac{2p - 3}{9p}; $

в) $ \frac{3z - 8}{5z^2} + \frac{z - 1}{z^2}; $

г) $ \frac{8 - 9t}{22t} - \frac{t + 4}{11t}. $

а)

Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{4m-5}{3m^2} - \frac{m+2}{m^2}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $3m^2$ и $m^2$ — это $3m^2$.

Дополнительный множитель для второй дроби равен $3$. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на этот множитель:

$\frac{m+2}{m^2} = \frac{3 \cdot (m+2)}{3 \cdot m^2} = \frac{3m+6}{3m^2}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{4m-5}{3m^2} - \frac{3m+6}{3m^2} = \frac{(4m-5) - (3m+6)}{3m^2}$

Раскроем скобки в числителе, помня о знаке "минус" перед дробью, и приведем подобные слагаемые:

$\frac{4m-5 - 3m - 6}{3m^2} = \frac{(4m-3m) + (-5-6)}{3m^2} = \frac{m-11}{3m^2}$

Ответ: $\frac{m-11}{3m^2}$

б)

Чтобы выполнить сложение дробей $\frac{7p+1}{3p} + \frac{2p-3}{9p}$, найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для $3p$ и $9p$ — это $9p$.

Дополнительный множитель для первой дроби равен $3$. Умножим ее числитель и знаменатель на $3$:

$\frac{7p+1}{3p} = \frac{3 \cdot (7p+1)}{3 \cdot 3p} = \frac{21p+3}{9p}$

Теперь выполним сложение дробей:

$\frac{21p+3}{9p} + \frac{2p-3}{9p} = \frac{(21p+3) + (2p-3)}{9p}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{21p+2p+3-3}{9p} = \frac{23p}{9p}$

Сократим полученную дробь на общий множитель $p$ (при условии, что $p \neq 0$):

$\frac{23p}{9p} = \frac{23}{9}$

Ответ: $\frac{23}{9}$

в)

Для сложения дробей $\frac{3z-8}{5z^2} + \frac{z-1}{z^2}$ приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $5z^2$ и $z^2$ — это $5z^2$.

Дополнительный множитель для второй дроби равен $5$. Умножим ее числитель и знаменатель на $5$:

$\frac{z-1}{z^2} = \frac{5 \cdot (z-1)}{5 \cdot z^2} = \frac{5z-5}{5z^2}$

Выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{3z-8}{5z^2} + \frac{5z-5}{5z^2} = \frac{(3z-8) + (5z-5)}{5z^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3z+5z-8-5}{5z^2} = \frac{8z-13}{5z^2}$

Ответ: $\frac{8z-13}{5z^2}$

г)

Для вычитания дробей $\frac{8-9t}{22t} - \frac{t+4}{11t}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для $22t$ и $11t$ — это $22t$.

Дополнительный множитель для второй дроби равен $2$. Умножим ее числитель и знаменатель на $2$:

$\frac{t+4}{11t} = \frac{2 \cdot (t+4)}{2 \cdot 11t} = \frac{2t+8}{22t}$

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{8-9t}{22t} - \frac{2t+8}{22t} = \frac{(8-9t) - (2t+8)}{22t}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{8-9t-2t-8}{22t} = \frac{-9t-2t+8-8}{22t} = \frac{-11t}{22t}$

Сократим дробь на общий множитель $11t$ (при условии, что $t \neq 0$):

$\frac{-11t}{22t} = -\frac{11}{22} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

4.10 a) $ \frac{x-4}{5x} + \frac{2}{3x}; $

б) $ \frac{n+4}{8n} - \frac{m-2}{8m}; $

в) $ \frac{3}{5a} - \frac{6+2a}{13a}; $

г) $ \frac{p+4}{12p} - \frac{q+8}{12q}. $

а) Чтобы сложить дроби $\frac{x-4}{5x}$ и $\frac{2}{3x}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для выражений $5x$ и $3x$ равен $15x$.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для первой дроби: $15x \div 5x = 3$.
Для второй дроби: $15x \div 3x = 5$.
Теперь умножим числители на их дополнительные множители и сложим полученные дроби:
$\frac{x-4}{5x} + \frac{2}{3x} = \frac{3 \cdot (x-4)}{15x} + \frac{5 \cdot 2}{15x} = \frac{3(x-4) + 10}{15x} = \frac{3x - 12 + 10}{15x} = \frac{3x - 2}{15x}$.
Ответ: $\frac{3x-2}{15x}$

б) Чтобы вычесть дроби $\frac{n+4}{8n}$ и $\frac{m-2}{8m}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $8n$ и $8m$ это $8nm$.
Найдем дополнительные множители:
Для первой дроби: $8nm \div 8n = m$.
Для второй дроби: $8nm \div 8m = n$.
Выполним вычитание:
$\frac{n+4}{8n} - \frac{m-2}{8m} = \frac{m \cdot (n+4)}{8nm} - \frac{n \cdot (m-2)}{8nm} = \frac{m(n+4) - n(m-2)}{8nm}$.
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{mn + 4m - (mn - 2n)}{8nm} = \frac{mn + 4m - mn + 2n}{8nm} = \frac{4m + 2n}{8nm}$.
Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь:
$\frac{2(2m + n)}{8nm} = \frac{2m+n}{4nm}$.
Ответ: $\frac{2m+n}{4nm}$

в) Чтобы вычесть дроби $\frac{3}{5a}$ и $\frac{6+2a}{13a}$, найдем их общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для $5a$ и $13a$ это $65a$.
Дополнительные множители:
Для первой дроби: $65a \div 5a = 13$.
Для второй дроби: $65a \div 13a = 5$.
Выполним вычитание дробей:
$\frac{3}{5a} - \frac{6+2a}{13a} = \frac{13 \cdot 3}{65a} - \frac{5 \cdot (6+2a)}{65a} = \frac{39 - 5(6+2a)}{65a}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$\frac{39 - 30 - 10a}{65a} = \frac{9 - 10a}{65a}$.
Ответ: $\frac{9-10a}{65a}$

г) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{p+4}{12p}$ и $\frac{q+8}{12q}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $12p$ и $12q$ это $12pq$.
Определим дополнительные множители:
Для первой дроби: $12pq \div 12p = q$.
Для второй дроби: $12pq \div 12q = p$.
Выполним вычитание:
$\frac{p+4}{12p} - \frac{q+8}{12q} = \frac{q \cdot (p+4)}{12pq} - \frac{p \cdot (q+8)}{12pq} = \frac{q(p+4) - p(q+8)}{12pq}$.
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{pq + 4q - (pq + 8p)}{12pq} = \frac{pq + 4q - pq - 8p}{12pq} = \frac{4q - 8p}{12pq}$.
Вынесем общий множитель 4 в числителе и сократим дробь:
$\frac{4(q - 2p)}{12pq} = \frac{q - 2p}{3pq}$.
Ответ: $\frac{q-2p}{3pq}$

4.11 a) $ \frac{3c + 5d}{35cd} + \frac{c - 3d}{21cd} $;

б) $ \frac{9 - 2a}{35a^2} - \frac{2a + 1}{15a^2} $;

в) $ \frac{4d + 7}{14d^2} - \frac{2d + 5}{10d^2} $;

г) $ \frac{2m + 3n}{21mn} - \frac{m + 6n}{15mn} $.

а) $ \frac{3c + 5d}{35cd} + \frac{c - 3d}{21cd} $

Чтобы сложить две алгебраические дроби, необходимо привести их к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $35cd$ и $21cd$.

1. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) для числовых коэффициентов 35 и 21. Разложим их на простые множители:

$35 = 5 \cdot 7$

$21 = 3 \cdot 7$

НОК(35, 21) = $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$.

Таким образом, общий знаменатель для дробей будет $105cd$.

2. Найдём дополнительные множители для каждой дроби:

Для первой дроби: $\frac{105cd}{35cd} = 3$.

Для второй дроби: $\frac{105cd}{21cd} = 5$.

3. Умножим числитель каждой дроби на её дополнительный множитель и выполним сложение:

$\frac{3(3c + 5d)}{105cd} + \frac{5(c - 3d)}{105cd} = \frac{3(3c + 5d) + 5(c - 3d)}{105cd}$

4. Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые:

$\frac{9c + 15d + 5c - 15d}{105cd} = \frac{(9c + 5c) + (15d - 15d)}{105cd} = \frac{14c}{105cd}$

5. Сократим полученную дробь. Общий множитель для числителя и знаменателя — $7c$:

$\frac{14c}{105cd} = \frac{2 \cdot 7 \cdot c}{15 \cdot 7 \cdot c \cdot d} = \frac{2}{15d}$

Ответ: $ \frac{2}{15d} $

б) $ \frac{9 - 2a}{35a^2} - \frac{2a + 1}{15a^2} $

1. Найдём общий знаменатель для дробей со знаменателями $35a^2$ и $15a^2$.

НОК(35, 15) = 105. Общий знаменатель — $105a^2$.

2. Дополнительные множители:

Для первой дроби: $\frac{105a^2}{35a^2} = 3$.

Для второй дроби: $\frac{105a^2}{15a^2} = 7$.

3. Умножим числители на их дополнительные множители и выполним вычитание:

$\frac{3(9 - 2a)}{105a^2} - \frac{7(2a + 1)}{105a^2} = \frac{3(9 - 2a) - 7(2a + 1)}{105a^2}$

4. Раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что знак минус перед второй дробью относится ко всему её числителю:

$\frac{27 - 6a - (14a + 7)}{105a^2} = \frac{27 - 6a - 14a - 7}{105a^2}$

5. Приведём подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(27 - 7) + (-6a - 14a)}{105a^2} = \frac{20 - 20a}{105a^2}$

6. Упростим полученную дробь. Вынесем общий множитель 20 в числителе и сократим числовые коэффициенты:

$\frac{20(1 - a)}{105a^2} = \frac{4 \cdot 5 (1 - a)}{21 \cdot 5 a^2} = \frac{4(1 - a)}{21a^2}$

Ответ: $ \frac{4(1 - a)}{21a^2} $

в) $ \frac{4d + 7}{14d^2} - \frac{2d + 5}{10d^2} $

1. Найдём общий знаменатель для дробей со знаменателями $14d^2$ и $10d^2$.

НОК(14, 10) = 70. Общий знаменатель — $70d^2$.

2. Дополнительные множители:

Для первой дроби: $\frac{70d^2}{14d^2} = 5$.

Для второй дроби: $\frac{70d^2}{10d^2} = 7$.

3. Выполним вычитание дробей:

$\frac{5(4d + 7)}{70d^2} - \frac{7(2d + 5)}{70d^2} = \frac{5(4d + 7) - 7(2d + 5)}{70d^2}$

4. Раскроем скобки в числителе:

$\frac{20d + 35 - (14d + 35)}{70d^2} = \frac{20d + 35 - 14d - 35}{70d^2}$

5. Приведём подобные слагаемые:

$\frac{(20d - 14d) + (35 - 35)}{70d^2} = \frac{6d}{70d^2}$

6. Сократим полученную дробь на общий множитель $2d$:

$\frac{6d}{70d^2} = \frac{3 \cdot 2 \cdot d}{35 \cdot 2 \cdot d \cdot d} = \frac{3}{35d}$

Ответ: $ \frac{3}{35d} $

г) $ \frac{2m + 3n}{21mn} - \frac{m + 6n}{15mn} $

1. Найдём общий знаменатель для дробей со знаменателями $21mn$ и $15mn$.

НОК(21, 15) = 105. Общий знаменатель — $105mn$.

2. Дополнительные множители:

Для первой дроби: $\frac{105mn}{21mn} = 5$.

Для второй дроби: $\frac{105mn}{15mn} = 7$.

3. Выполним вычитание дробей:

$\frac{5(2m + 3n)}{105mn} - \frac{7(m + 6n)}{105mn} = \frac{5(2m + 3n) - 7(m + 6n)}{105mn}$

4. Раскроем скобки в числителе:

$\frac{10m + 15n - (7m + 42n)}{105mn} = \frac{10m + 15n - 7m - 42n}{105mn}$

5. Приведём подобные слагаемые:

$\frac{(10m - 7m) + (15n - 42n)}{105mn} = \frac{3m - 27n}{105mn}$

6. Упростим полученную дробь. Вынесем общий множитель 3 в числителе и сократим дробь:

$\frac{3(m - 9n)}{105mn} = \frac{3(m - 9n)}{3 \cdot 35 \cdot mn} = \frac{m - 9n}{35mn}$

Ответ: $ \frac{m - 9n}{35mn} $

4.12 a) $\frac{b}{a} + \frac{1}{ab}$;

б) $\frac{2t}{xy} - \frac{3x}{yt}$;

в) $\frac{t^2}{y} - \frac{4}{yt}$;

г) $\frac{6s}{pq} + \frac{8p}{qs}$.

а) Чтобы сложить дроби $\frac{b}{a} + \frac{1}{ab}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для знаменателей $a$ и $ab$ — это $ab$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{b}{a}$ равен $b$. Умножим ее числитель и знаменатель на $b$:

$\frac{b}{a} = \frac{b \cdot b}{a \cdot b} = \frac{b^2}{ab}$

Вторая дробь $\frac{1}{ab}$ уже имеет нужный знаменатель.

Теперь сложим дроби, складывая их числители:

$\frac{b^2}{ab} + \frac{1}{ab} = \frac{b^2 + 1}{ab}$

Ответ: $\frac{b^2+1}{ab}$

б) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{2t}{xy} - \frac{3x}{yt}$, найдем их наименьший общий знаменатель. Для знаменателей $xy$ и $yt$ наименьший общий знаменатель — это $xyt$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{2t}{xy}$ — это $t$. Умножим числитель и знаменатель на $t$:

$\frac{2t \cdot t}{xy \cdot t} = \frac{2t^2}{xyt}$

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{3x}{yt}$ — это $x$. Умножим числитель и знаменатель на $x$:

$\frac{3x \cdot x}{yt \cdot x} = \frac{3x^2}{xyt}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{2t^2}{xyt} - \frac{3x^2}{xyt} = \frac{2t^2 - 3x^2}{xyt}$

Ответ: $\frac{2t^2 - 3x^2}{xyt}$

в) Рассмотрим разность дробей $\frac{t^2}{y} - \frac{4}{yt}$. Наименьший общий знаменатель для $y$ и $yt$ — это $yt$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{t^2}{y}$ — это $t$. Приведем ее к общему знаменателю:

$\frac{t^2 \cdot t}{y \cdot t} = \frac{t^3}{yt}$

Вторая дробь $\frac{4}{yt}$ уже имеет нужный знаменатель.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{t^3}{yt} - \frac{4}{yt} = \frac{t^3 - 4}{yt}$

Ответ: $\frac{t^3-4}{yt}$

г) Для сложения дробей $\frac{6s}{pq} + \frac{8p}{qs}$ найдем наименьший общий знаменатель. Для знаменателей $pq$ и $qs$ общим будет $pqs$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{6s}{pq}$ — это $s$. Умножим на него числитель и знаменатель:

$\frac{6s \cdot s}{pq \cdot s} = \frac{6s^2}{pqs}$

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{8p}{qs}$ — это $p$. Умножим на него числитель и знаменатель:

$\frac{8p \cdot p}{qs \cdot p} = \frac{8p^2}{pqs}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{6s^2}{pqs} + \frac{8p^2}{pqs} = \frac{6s^2 + 8p^2}{pqs}$

Ответ: $\frac{6s^2+8p^2}{pqs}$