Страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Сформулируйте определение рационального уравнения.

1. Рациональным уравнением называется уравнение вида $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения.

Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, которое можно представить в виде дроби $\frac{P(x)}{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены, причем $Q(x)$ — ненулевой многочлен. Рациональные выражения строятся из переменных и чисел с помощью арифметических операций: сложения, вычитания, умножения и деления.

Любое рациональное уравнение можно путем тождественных преобразований привести к стандартному виду $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$.

В зависимости от вида знаменателя $Q(x)$ рациональные уравнения делятся на два типа:

Целые рациональные уравнения: это уравнения, в которых знаменатель $Q(x)$ не содержит переменной (является константой, отличной от нуля). Фактически, это уравнения, в которых обе части являются целыми выражениями (многочленами).
Пример: $x^2 - 5x + 4 = 0$.

Дробно-рациональные уравнения: это уравнения, в которых знаменатель $Q(x)$ содержит переменную. Такие уравнения также называют дробными. При их решении ключевым шагом является нахождение области допустимых значений (ОДЗ), то есть тех значений переменной, при которых знаменатель не обращается в ноль.
Пример: $\frac{3}{x-1} + 2 = \frac{x}{x-1}$.

Решение уравнения $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$ эквивалентно решению системы:
$ \begin{cases} P(x) = 0, \\ Q(x) \neq 0. \end{cases} $
Это означает, что нужно найти корни числителя и проверить, не обращают ли они знаменатель в ноль.

Ответ: Рациональное уравнение — это уравнение, в котором левая и правая части являются рациональными выражениями. Общий вид такого уравнения после преобразований — $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены. Если знаменатель $Q(x)$ не содержит переменной, уравнение является целым, в противном случае — дробно-рациональным.

3. Что нужно обязательно сделать при решении рационального уравнения после нахождения корней?

При решении рационального уравнения после нахождения корней обязательно нужно выполнить проверку. Эта проверка заключается в том, чтобы убедиться, что найденные корни принадлежат области допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения.

Почему это необходимо?

Рациональное уравнение содержит переменные в знаменателях дробей. Основное правило для дробей гласит, что знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль является неопределенной операцией. Область допустимых значений (ОДЗ) — это множество всех значений переменной, при которых все выражения в уравнении имеют смысл (т.е. все знаменатели не равны нулю).

Часто при решении рациональных уравнений мы избавляемся от знаменателей, умножая обе части уравнения на общий знаменатель. Это превращает рациональное уравнение в целое (чаще всего полиномиальное) уравнение. Однако такое преобразование не всегда является равносильным. В результате могут появиться так называемые посторонние корни — числа, которые являются корнями полученного целого уравнения, но не являются корнями исходного рационального уравнения, так как при их подстановке один из знаменателей обращается в ноль.

Поэтому после нахождения всех потенциальных корней необходимо выполнить один из двух шагов (или оба):

1. Сравнить каждый найденный корень с предварительно найденной областью допустимых значений (ОДЗ). Если корень не входит в ОДЗ, он является посторонним и его нужно исключить из ответа.
2. Выполнить прямую подстановку каждого найденного корня в исходное рациональное уравнение. Если при подстановке хотя бы один знаменатель обращается в ноль, то этот корень является посторонним.

Пример:

Рассмотрим уравнение: $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = 0$.

Шаг 1. Находим ОДЗ.

Знаменатель не должен быть равен нулю: $x + 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$.

Шаг 2. Решаем уравнение.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем числитель к нулю:

$x^2 - 9 = 0$

$(x - 3)(x + 3) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Шаг 3. Проверяем корни.

Сравниваем найденные корни с ОДЗ ($x \neq -3$).

• Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию ОДЗ.
• Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию ОДЗ, так как при $x = -3$ знаменатель исходного уравнения обращается в ноль. Следовательно, $x = -3$ — это посторонний корень.

Таким образом, у исходного уравнения есть только один корень.

Ответ: 3

Ответ: После нахождения корней рационального уравнения необходимо обязательно проверить, принадлежат ли они области допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения, то есть не обращают ли они в ноль какой-либо из знаменателей. Корни, которые не удовлетворяют этому условию (посторонние корни), нужно исключить из итогового ответа.

2. Закончите предложение: «Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель...».

2. Закончите предложение: «Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель...».

Для того чтобы правильно закончить это предложение, необходимо рассмотреть условия, при которых дробь принимает нулевое значение.

Рассмотрим дробь в общем виде $\frac{A}{B}$, где $A$ – это числитель, а $B$ – знаменатель. Равенство $\frac{A}{B} = 0$ является верным тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два ключевых условия.

Во-первых, числитель дроби должен быть равен нулю (то есть, $A=0$). Это следует из самого определения деления: если мы делим ноль на любое число, отличное от нуля, результат всегда будет ноль.

Во-вторых, знаменатель дроби не должен быть равен нулю (то есть, $B \neq 0$). Это фундаментальное правило в математике, поскольку деление на ноль является неопределенной операцией. Если знаменатель равен нулю, дробь не имеет смысла (не определена), независимо от значения числителя.

Таким образом, чтобы дробь была равна нулю, необходимо, чтобы ее числитель обратился в ноль, а знаменатель при этом остался отличным от нуля.

Например, при решении уравнения $\frac{x-2}{x+1} = 0$ мы должны составить и решить систему:
$ \begin{cases} x - 2 = 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2 \\ x \neq -1 \end{cases} $
Решение $x=2$ удовлетворяет обоим условиям, поэтому оно является корнем уравнения.

Следовательно, полное и корректное завершение предложения выглядит так:

Ответ: ...равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

4. Решите уравнение:

а) $\frac{x-5}{x+1} = 0;$

б) $\frac{3+2x}{x-1} = 2;$

в) $\frac{(3x-1)(x+2)}{2x^2+5x+2} = 0.$

а) $\frac{x-5}{x+1} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - 5 = 0, \\ x + 1 \neq 0; \end{cases}$

Из первого уравнения находим корень:

$x - 5 = 0 \implies x = 5$

Проверяем условие для знаменателя:

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Найденный корень $x=5$ удовлетворяет условию $x \neq -1$. Следовательно, он является решением уравнения.

Ответ: $5$

б) $\frac{3+2x}{x-1} = 2$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

Теперь решим уравнение, умножив обе его части на знаменатель $(x-1)$, так как мы учли, что он не равен нулю:

$3 + 2x = 2(x - 1)$

Раскроем скобки в правой части:

$3 + 2x = 2x - 2$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$2x - 2x = -2 - 3$

$0 \cdot x = -5$

Получено неверное равенство $0 = -5$. Это означает, что уравнение не имеет решений ни при каком значении $x$.

Ответ: нет корней

в) $\frac{(3x-1)(x+2)}{2x^2+5x+2} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Составим систему:

$\begin{cases} (3x - 1)(x + 2) = 0, \\ 2x^2 + 5x + 2 \neq 0; \end{cases}$

1. Решим уравнение из числителя:

$(3x - 1)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$3x - 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x_1 = \frac{1}{3}$

$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$

Мы получили два потенциальных корня: $\frac{1}{3}$ и $-2$.

2. Проверим условие для знаменателя. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив квадратное уравнение $2x^2 + 5x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Найдем корни квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 3}{4}$

$x_{знам.1} = \frac{-5-3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

$x_{знам.2} = \frac{-5+3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \neq -2$ и $x \neq -\frac{1}{2}$.

3. Сопоставим потенциальные корни с ОДЗ.

Корень $x_1 = \frac{1}{3}$ не совпадает ни с одним из запрещенных значений, следовательно, является решением.

Корень $x_2 = -2$ совпадает с одним из значений, при которых знаменатель равен нулю. Следовательно, $x = -2$ — это посторонний корень, и его нужно исключить.

В итоге у уравнения остается только один корень.

Ответ: $\frac{1}{3}$

3.20 а) $\frac{-x^2 + 5x}{1 - 6x} + \frac{41x^2 - 2x}{6x - 1}$ при $x = \frac{1}{28}$;

б) $\frac{(m - 1)^2}{m^3 + 27} + \frac{8 - m}{m^3 + 27}$ при $m = -3,5$;

в) $\frac{4c^2 - 8c}{3c - 2} - \frac{2c + 5c^2}{2 - 3c}$ при $c = \frac{2}{9}$;

г) $\frac{n^2 + n + 1}{n^3 - 8} - \frac{n + 3}{8 - n^3}$ при $n = -4$.

а) Для нахождения значения выражения сначала упростим его. Знаменатели дробей $1 - 6x$ и $6x - 1$ являются противоположными, так как $1 - 6x = -(6x - 1)$. Приведем первую дробь к общему знаменателю $6x - 1$, изменив знак и у числителя, и у знаменателя:
$\frac{-x^2 + 5x}{1 - 6x} + \frac{41x^2 - 2x}{6x - 1} = \frac{-(-x^2 + 5x)}{-(1 - 6x)} + \frac{41x^2 - 2x}{6x - 1} = \frac{x^2 - 5x}{6x - 1} + \frac{41x^2 - 2x}{6x - 1}$.
Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:
$\frac{x^2 - 5x + 41x^2 - 2x}{6x - 1} = \frac{42x^2 - 7x}{6x - 1}$.
Вынесем в числителе общий множитель $7x$ за скобки:
$\frac{7x(6x - 1)}{6x - 1}$.
Сократим дробь на общий множитель $(6x - 1)$:
$7x$.
Теперь подставим значение $x = \frac{1}{28}$ в полученное упрощенное выражение:
$7 \cdot \frac{1}{28} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

б) Данные дроби имеют одинаковый знаменатель $m^3 + 27$, поэтому для их сложения достаточно сложить числители:
$\frac{(m - 1)^2}{m^3 + 27} + \frac{8 - m}{m^3 + 27} = \frac{(m - 1)^2 + 8 - m}{m^3 + 27}$.
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$(m - 1)^2 + 8 - m = m^2 - 2m + 1 + 8 - m = m^2 - 3m + 9$.
Выражение принимает вид:
$\frac{m^2 - 3m + 9}{m^3 + 27}$.
Разложим знаменатель на множители по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:
$m^3 + 27 = m^3 + 3^3 = (m + 3)(m^2 - m \cdot 3 + 3^2) = (m + 3)(m^2 - 3m + 9)$.
Подставим разложенный знаменатель в дробь и сократим ее на общий множитель $(m^2 - 3m + 9)$:
$\frac{m^2 - 3m + 9}{(m + 3)(m^2 - 3m + 9)} = \frac{1}{m + 3}$.
Подставим значение $m = -3,5$ в упрощенное выражение:
$\frac{1}{-3,5 + 3} = \frac{1}{-0,5} = -2$.
Ответ: $-2$

в) Упростим выражение. Знаменатели $3c - 2$ и $2 - 3c$ являются противоположными: $2 - 3c = -(3c - 2)$. Изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя, чтобы привести дроби к общему знаменателю:
$\frac{4c^2 - 8c}{3c - 2} - \frac{2c + 5c^2}{2 - 3c} = \frac{4c^2 - 8c}{3c - 2} - \frac{2c + 5c^2}{-(3c - 2)} = \frac{4c^2 - 8c}{3c - 2} + \frac{2c + 5c^2}{3c - 2}$.
Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
$\frac{4c^2 - 8c + 2c + 5c^2}{3c - 2} = \frac{9c^2 - 6c}{3c - 2}$.
Вынесем в числителе общий множитель $3c$ за скобки:
$\frac{3c(3c - 2)}{3c - 2}$.
Сократим дробь на $(3c - 2)$:
$3c$.
Подставим значение $c = \frac{2}{9}$:
$3 \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

г) Упростим выражение. Знаменатели $n^3 - 8$ и $8 - n^3$ являются противоположными: $8 - n^3 = -(n^3 - 8)$. Изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя:
$\frac{n^2 + n + 1}{n^3 - 8} - \frac{n + 3}{8 - n^3} = \frac{n^2 + n + 1}{n^3 - 8} - \frac{n + 3}{-(n^3 - 8)} = \frac{n^2 + n + 1}{n^3 - 8} + \frac{n + 3}{n^3 - 8}$.
Сложим дроби:
$\frac{n^2 + n + 1 + n + 3}{n^3 - 8} = \frac{n^2 + 2n + 4}{n^3 - 8}$.
Разложим знаменатель по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$n^3 - 8 = n^3 - 2^3 = (n - 2)(n^2 + 2n + 4)$.
Подставим разложение в дробь и сократим ее на общий множитель $(n^2 + 2n + 4)$:
$\frac{n^2 + 2n + 4}{(n - 2)(n^2 + 2n + 4)} = \frac{1}{n - 2}$.
Подставим значение $n = -4$ в упрощенное выражение:
$\frac{1}{-4 - 2} = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}$.
Ответ: $-\frac{1}{6}$

Упростите выражение:

3.21 a) $\frac{9x^2}{9x^2 - 4} - \frac{12x}{(3x - 2)(3x + 2)} + \frac{4}{9x^2 - 4};$

3.21 б) $\frac{25a^2}{25a^2 - 1} - \frac{10a}{(5a - 1)(5a + 1)} - \frac{1}{1 - 25a^2}.$

а)

Исходное выражение: $\frac{9x^2}{9x^2 - 4} - \frac{12x}{(3x - 2)(3x + 2)} + \frac{4}{9x^2 - 4}$.

1. Для упрощения выражения приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель $9x^2 - 4$ является разностью квадратов и раскладывается на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$9x^2 - 4 = (3x)^2 - 2^2 = (3x - 2)(3x + 2)$.

Таким образом, общий знаменатель для всех трех дробей — это $(3x - 2)(3x + 2)$. Выражение можно переписать так:

$\frac{9x^2}{(3x - 2)(3x + 2)} - \frac{12x}{(3x - 2)(3x + 2)} + \frac{4}{(3x - 2)(3x + 2)}$

2. Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем объединить их, выполнив действия с числителями:

$\frac{9x^2 - 12x + 4}{(3x - 2)(3x + 2)}$

3. Упростим полученный числитель. Выражение $9x^2 - 12x + 4$ представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:

$9x^2 - 12x + 4 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 = (3x - 2)^2$

4. Подставим свернутый числитель обратно в дробь и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{(3x - 2)^2}{(3x - 2)(3x + 2)} = \frac{3x - 2}{3x + 2}$

Ответ: $\frac{3x - 2}{3x + 2}$

б)

Исходное выражение: $\frac{25a^2}{25a^2 - 1} - \frac{10a}{(5a - 1)(5a + 1)} - \frac{1}{1 - 25a^2}$.

1. Найдем общий знаменатель. Знаменатель $25a^2 - 1$ — это разность квадратов:

$25a^2 - 1 = (5a)^2 - 1^2 = (5a - 1)(5a + 1)$.

Знаменатель третьей дроби $1 - 25a^2$ можно представить как $-(25a^2 - 1)$.

$1 - 25a^2 = -(25a^2 - 1) = -(5a - 1)(5a + 1)$.

2. Приведем все дроби к общему знаменателю $(5a - 1)(5a + 1)$. Для этого изменим знак перед третьей дробью и одновременно знак ее знаменателя:

$\frac{25a^2}{(5a - 1)(5a + 1)} - \frac{10a}{(5a - 1)(5a + 1)} - \left(\frac{1}{-(25a^2 - 1)}\right) = \frac{25a^2}{25a^2 - 1} - \frac{10a}{25a^2 - 1} + \frac{1}{25a^2 - 1}$

3. Объединим числители над общим знаменателем:

$\frac{25a^2 - 10a + 1}{25a^2 - 1}$

4. Упростим числитель. Выражение $25a^2 - 10a + 1$ является полным квадратом разности по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:

$25a^2 - 10a + 1 = (5a)^2 - 2 \cdot (5a) \cdot 1 + 1^2 = (5a - 1)^2$

5. Подставим упрощенный числитель и разложенный на множители знаменатель обратно в дробь:

$\frac{(5a - 1)^2}{(5a - 1)(5a + 1)}$

6. Сократим общий множитель $(5a - 1)$:

$\frac{5a - 1}{5a + 1}$

Ответ: $\frac{5a - 1}{5a + 1}$

3.22 a) $\frac{100d^2}{100d^2 - 9} - \frac{160d}{(3 - 10d)(10d + 3)} + \frac{9 - 100d}{100d^2 - 9}$;

б) $\frac{49}{49a^2 - 16} + \frac{56a + 33}{(7a - 4)(-7a - 4)} - \frac{49a^2}{16 - 49a^2}$.

а)

Исходное выражение: $\frac{100d^2}{100d^2 - 9} - \frac{160d}{(3 - 10d)(10d + 3)} + \frac{9 - 100d}{100d^2 - 9}$

1. Приведем все дроби к общему знаменателю. Для этого преобразуем знаменатели.

Знаменатель первой и третьей дроби: $100d^2 - 9$. Это разность квадратов: $(10d)^2 - 3^2 = (10d - 3)(10d + 3)$.

Знаменатель второй дроби: $(3 - 10d)(10d + 3)$. Вынесем $-1$ из первой скобки: $-(10d - 3)(10d + 3) = -(100d^2 - 9)$.

2. Перепишем выражение, учитывая преобразованные знаменатели.

$\frac{100d^2}{(10d - 3)(10d + 3)} - \frac{160d}{-(10d - 3)(10d + 3)} + \frac{9 - 100d}{(10d - 3)(10d + 3)}$

Знак "минус" перед второй дробью и "минус" в ее знаменателе дают "плюс":

$\frac{100d^2}{(10d - 3)(10d + 3)} + \frac{160d}{(10d - 3)(10d + 3)} + \frac{9 - 100d}{(10d - 3)(10d + 3)}$

3. Теперь, когда все дроби имеют общий знаменатель $100d^2 - 9$, сложим их числители:

$\frac{100d^2 + 160d + 9 - 100d}{100d^2 - 9}$

4. Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:

$\frac{100d^2 + (160d - 100d) + 9}{100d^2 - 9} = \frac{100d^2 + 60d + 9}{100d^2 - 9}$

5. Заметим, что числитель является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$100d^2 + 60d + 9 = (10d)^2 + 2 \cdot 10d \cdot 3 + 3^2 = (10d + 3)^2$.

Знаменатель, как мы уже знаем, это разность квадратов: $100d^2 - 9 = (10d - 3)(10d + 3)$.

6. Подставим разложенные на множители числитель и знаменатель в дробь и сократим ее:

$\frac{(10d + 3)^2}{(10d - 3)(10d + 3)} = \frac{(10d + 3)\cancel{(10d + 3)}}{(10d - 3)\cancel{(10d + 3)}} = \frac{10d + 3}{10d - 3}$

Ответ: $\frac{10d + 3}{10d - 3}$

б)

Исходное выражение: $\frac{49}{49a^2 - 16} + \frac{56a + 33}{(7a - 4)(-7a - 4)} - \frac{49a^2}{16 - 49a^2}$

1. Приведем все дроби к общему знаменателю. Для этого преобразуем знаменатели.

Знаменатель первой дроби: $49a^2 - 16$. Это разность квадратов: $(7a)^2 - 4^2 = (7a - 4)(7a + 4)$.

Знаменатель второй дроби: $(7a - 4)(-7a - 4)$. Вынесем $-1$ из второй скобки: $(7a - 4) \cdot (-1) \cdot (7a + 4) = -(7a - 4)(7a + 4) = -(49a^2 - 16)$.

Знаменатель третьей дроби: $16 - 49a^2$. Вынесем $-1$ за скобки: $-(49a^2 - 16)$.

2. Перепишем выражение с общим знаменателем $49a^2 - 16$.

$\frac{49}{49a^2 - 16} + \frac{56a + 33}{-(49a^2 - 16)} - \frac{49a^2}{-(49a^2 - 16)}$

Упростим знаки перед дробями:

$\frac{49}{49a^2 - 16} - \frac{56a + 33}{49a^2 - 16} + \frac{49a^2}{49a^2 - 16}$

3. Теперь сложим и вычтем числители, так как знаменатели одинаковы:

$\frac{49 - (56a + 33) + 49a^2}{49a^2 - 16}$

4. Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{49 - 56a - 33 + 49a^2}{49a^2 - 16} = \frac{49a^2 - 56a + 16}{49a^2 - 16}$

5. Заметим, что числитель является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:
$49a^2 - 56a + 16 = (7a)^2 - 2 \cdot 7a \cdot 4 + 4^2 = (7a - 4)^2$.

Знаменатель, как мы уже знаем, это разность квадратов: $49a^2 - 16 = (7a - 4)(7a + 4)$.

6. Подставим разложенные на множители числитель и знаменатель в дробь и сократим ее:

$\frac{(7a - 4)^2}{(7a - 4)(7a + 4)} = \frac{\cancel{(7a - 4)}(7a - 4)}{\cancel{(7a - 4)}(7a + 4)} = \frac{7a - 4}{7a + 4}$

Ответ: $\frac{7a - 4}{7a + 4}$

3.23 a) $\frac{x^2 - 3}{(x - 2)^4} - \frac{5x - 1}{(x - 2)^4} + \frac{x + 6}{(x - 2)^4};$

б) $\frac{8m^2 + 3m - 2}{4m^2 + 4m + 1} - \frac{5m - 7}{-4m^2 - 4m - 1} - \frac{4m - 9}{(1 + 2m)^2}.$

а) $ \frac{x^2 - 3}{(x - 2)^4} - \frac{5x - 1}{(x - 2)^4} + \frac{x + 6}{(x - 2)^4} $

Поскольку все дроби имеют одинаковый знаменатель $ (x - 2)^4 $, мы можем объединить их числители, выполнив соответствующие арифметические операции. Важно обратить внимание на знак минус перед второй дробью, который изменит знаки в её числителе.

$ \frac{(x^2 - 3) - (5x - 1) + (x + 6)}{(x - 2)^4} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{x^2 - 3 - 5x + 1 + x + 6}{(x - 2)^4} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{x^2 + (-5x + x) + (-3 + 1 + 6)}{(x - 2)^4} = \frac{x^2 - 4x + 4}{(x - 2)^4} $

Заметим, что числитель $ x^2 - 4x + 4 $ является полным квадратом разности $ (x - 2)^2 $, так как $ x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2 $.

Подставим это в наше выражение:

$ \frac{(x - 2)^2}{(x - 2)^4} $

Сократим дробь, используя свойство степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ (x - 2)^{2-4} = (x - 2)^{-2} = \frac{1}{(x - 2)^2} $

При этом область допустимых значений $ x \neq 2 $ сохраняется.

Ответ: $ \frac{1}{(x - 2)^2} $

б) $ \frac{8m^2 + 3m - 2}{4m^2 + 4m + 1} - \frac{5m - 7}{-4m^2 - 4m - 1} - \frac{4m - 9}{(1 + 2m)^2} $

Сначала преобразуем знаменатели, чтобы привести их к общему виду.

Первый знаменатель: $ 4m^2 + 4m + 1 $ - это полный квадрат суммы $ (2m + 1)^2 $.

Второй знаменатель: $ -4m^2 - 4m - 1 $. Вынесем $ -1 $ за скобки: $ -(4m^2 + 4m + 1) = -(2m + 1)^2 $.

Третий знаменатель: $ (1 + 2m)^2 $ равен $ (2m + 1)^2 $.

Перепишем исходное выражение с преобразованными знаменателями:

$ \frac{8m^2 + 3m - 2}{(2m + 1)^2} - \frac{5m - 7}{-(2m + 1)^2} - \frac{4m - 9}{(2m + 1)^2} $

Минус перед второй дробью и минус в её знаменателе дают плюс:

$ \frac{8m^2 + 3m - 2}{(2m + 1)^2} + \frac{5m - 7}{(2m + 1)^2} - \frac{4m - 9}{(2m + 1)^2} $

Теперь все дроби имеют общий знаменатель $ (2m + 1)^2 $. Объединим числители:

$ \frac{(8m^2 + 3m - 2) + (5m - 7) - (4m - 9)}{(2m + 1)^2} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{8m^2 + 3m - 2 + 5m - 7 - 4m + 9}{(2m + 1)^2} $

$ \frac{8m^2 + (3m + 5m - 4m) + (-2 - 7 + 9)}{(2m + 1)^2} = \frac{8m^2 + 4m}{(2m + 1)^2} $

Вынесем в числителе общий множитель $ 4m $ за скобки:

$ \frac{4m(2m + 1)}{(2m + 1)^2} $

Сократим дробь на общий множитель $ (2m + 1) $ (при условии, что $ 2m + 1 \neq 0 $, то есть $ m \neq -0.5 $):

$ \frac{4m}{2m + 1} $

Ответ: $ \frac{4m}{2m + 1} $

3.24 a) $\frac{a^2}{(a-b)^2} - \frac{2ab}{b^2 - 2ab + a^2} - \frac{b^2}{(a-b)(b-a)};$

б) $\frac{y^2}{(-x-y)^2} + \frac{x^2}{x^2 + 2xy + y^2} - \frac{2xy}{(x+y)(-x-y)}.$

а) $ \frac{a^2}{(a-b)^2} - \frac{2ab}{b^2 - 2ab + a^2} - \frac{b^2}{(a-b)(b-a)} $

Для решения необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Для этого упростим знаменатели каждого слагаемого.

1. Знаменатель второй дроби $ b^2 - 2ab + a^2 $ является полным квадратом разности. Его можно свернуть по формуле $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $, получив $ (b-a)^2 $. Так как $ (b-a)^2 = (a-b)^2 $, для удобства запишем его как $ (a-b)^2 $.

2. Знаменатель третьей дроби $ (a-b)(b-a) $. Вынесем $ -1 $ за скобки во втором множителе: $ (b-a) = -(a-b) $. Тогда знаменатель примет вид: $ (a-b) \cdot (-(a-b)) = -(a-b)^2 $.

3. Теперь перепишем исходное выражение с преобразованными знаменателями:

$ \frac{a^2}{(a-b)^2} - \frac{2ab}{(a-b)^2} - \frac{b^2}{-(a-b)^2} $

4. Упростим знак в третьей дроби. Минус перед дробью и минус в знаменателе дают плюс:

$ \frac{a^2}{(a-b)^2} - \frac{2ab}{(a-b)^2} + \frac{b^2}{(a-b)^2} $

5. Теперь все дроби имеют общий знаменатель $ (a-b)^2 $. Выполним сложение и вычитание числителей:

$ \frac{a^2 - 2ab + b^2}{(a-b)^2} $

6. Числитель $ a^2 - 2ab + b^2 $ является формулой квадрата разности $ (a-b)^2 $.

7. Подставим свернутую формулу в числитель и сократим дробь:

$ \frac{(a-b)^2}{(a-b)^2} = 1 $

Ответ: 1

б) $ \frac{y^2}{(-x-y)^2} + \frac{x^2}{x^2 + 2xy + y^2} - \frac{2xy}{(x+y)(-x-y)} $

Приведем все дроби к общему знаменателю, предварительно упростив знаменатели.

1. Знаменатель первой дроби $ (-x-y)^2 $. Вынесем $ -1 $ за скобки: $ (-(x+y))^2 = (-1)^2(x+y)^2 = (x+y)^2 $.

2. Знаменатель второй дроби $ x^2 + 2xy + y^2 $ является полным квадратом суммы и сворачивается по формуле $ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $.

3. Знаменатель третьей дроби $ (x+y)(-x-y) $. Вынесем $ -1 $ за скобки во втором множителе: $ (-x-y) = -(x+y) $. Тогда знаменатель примет вид: $ (x+y) \cdot (-(x+y)) = -(x+y)^2 $.

4. Перепишем исходное выражение с новыми знаменателями:

$ \frac{y^2}{(x+y)^2} + \frac{x^2}{(x+y)^2} - \frac{2xy}{-(x+y)^2} $

5. Упростим знак в третьей дроби. Минус перед дробью и минус в знаменателе дают плюс:

$ \frac{y^2}{(x+y)^2} + \frac{x^2}{(x+y)^2} + \frac{2xy}{(x+y)^2} $

6. Теперь у всех дробей общий знаменатель $ (x+y)^2 $. Сложим их числители:

$ \frac{y^2 + x^2 + 2xy}{(x+y)^2} $

7. Числитель $ y^2 + x^2 + 2xy $ можно переписать в виде $ x^2 + 2xy + y^2 $, что является формулой квадрата суммы $ (x+y)^2 $.

8. Подставим свернутую формулу в числитель и сократим дробь:

$ \frac{(x+y)^2}{(x+y)^2} = 1 $

Ответ: 1

3.25 a) $ \frac{5}{(b-4)(5-b)} + \frac{b+1}{(4-b)(5-b)} $

б) $ \frac{2}{(3-a)(2-a)} + \frac{a-4}{(a-3)(a-2)} $

а) $\frac{5}{(b-4)(5-b)} + \frac{b+1}{(4-b)(5-b)}$

Чтобы сложить дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Заметим, что множители в знаменателях очень похожи. Связь между ними следующая: $4-b = -(b-4)$.

Воспользуемся этим свойством и преобразуем вторую дробь. Вынесем знак минус из множителя $(4-b)$ в знаменателе перед всей дробью:

$\frac{b+1}{(4-b)(5-b)} = \frac{b+1}{-(b-4)(5-b)} = -\frac{b+1}{(b-4)(5-b)}$

Теперь исходное выражение можно переписать с одинаковыми знаменателями:

$\frac{5}{(b-4)(5-b)} - \frac{b+1}{(b-4)(5-b)}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, вычитая их числители:

$\frac{5 - (b+1)}{(b-4)(5-b)} = \frac{5 - b - 1}{(b-4)(5-b)} = \frac{4-b}{(b-4)(5-b)}$

Упростим полученное выражение. В числителе стоит $4-b$, что является противоположным выражению $b-4$ в знаменателе, то есть $4-b = -(b-4)$. Сократим дробь:

$\frac{-(b-4)}{(b-4)(5-b)} = \frac{-1}{5-b}$

Чтобы избавиться от знака минус перед дробью, можно вынести минус из знаменателя:

$\frac{-1}{5-b} = \frac{-1}{-(b-5)} = \frac{1}{b-5}$

Ответ: $\frac{1}{b-5}$

б) $\frac{2}{(3-a)(2-a)} + \frac{a-4}{(a-3)(a-2)}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Рассмотрим знаменатель первой дроби $(3-a)(2-a)$. Вынесем знак минус из каждого множителя в скобках:

$(3-a) = -(a-3)$

$(2-a) = -(a-2)$

Перемножив их, получим: $(3-a)(2-a) = (-(a-3)) \cdot (-(a-2)) = (a-3)(a-2)$.

Таким образом, знаменатели обеих дробей на самом деле одинаковы. Перепишем первую дробь с новым видом знаменателя:

$\frac{2}{(a-3)(a-2)} + \frac{a-4}{(a-3)(a-2)}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{2 + (a-4)}{(a-3)(a-2)} = \frac{2 + a - 4}{(a-3)(a-2)} = \frac{a-2}{(a-3)(a-2)}$

Сократим полученную дробь на общий множитель $(a-2)$ (при условии, что $a \ne 2$):

$\frac{a-2}{(a-3)(a-2)} = \frac{1}{a-3}$

Ответ: $\frac{1}{a-3}$

3.26 Вместо символа * запишите такое выражение, чтобы получилось верное равенство:

а) $\frac{*}}{2 - 3a} + \frac{3a - 4}{2 - 3a} = 1$;

б) $\frac{5x - 4}{x - 2} - \frac{*}{x - 2} = 2$;

в) $\frac{*}}{2y + 5} + \frac{y - 1}{2y + 5} = -1$;

г) $\frac{4b - 7}{8b + 9} - \frac{*}{8b + 9} = -3$.

В данном равенстве $\frac{*}{2 - 3a} + \frac{3a - 4}{2 - 3a} = 1$ дроби имеют одинаковый знаменатель. Сложим их числители:

$\frac{* + (3a - 4)}{2 - 3a} = 1$

Чтобы дробь равнялась единице, ее числитель должен быть равен знаменателю. Поэтому:

$* + 3a - 4 = 2 - 3a$

Теперь выразим искомое выражение, обозначенное символом *:

$* = 2 - 3a - (3a - 4) = 2 - 3a - 3a + 4 = 6 - 6a$

Ответ: $6 - 6a$.

Рассмотрим равенство $\frac{5x - 4}{x - 2} - \frac{*}{x - 2} = 2$. Знаменатели дробей одинаковы. Выполним вычитание дробей:

$\frac{5x - 4 - (*)}{x - 2} = 2$

Чтобы найти числитель, умножим обе части уравнения на знаменатель $x - 2$ (при условии, что $x \neq 2$):

$5x - 4 - * = 2(x - 2)$

$5x - 4 - * = 2x - 4$

Выразим искомое выражение:

$* = (5x - 4) - (2x - 4) = 5x - 4 - 2x + 4 = 3x$

Ответ: $3x$.

Дано равенство: $\frac{*}{2y + 5} + \frac{y - 1}{2y + 5} = -1$. Дроби имеют общий знаменатель $2y + 5$. Сложим числители:

$\frac{* + y - 1}{2y + 5} = -1$

Умножим обе части на знаменатель $2y + 5$ (при условии, что $y \neq -2.5$):

$* + y - 1 = -1 \cdot (2y + 5)$

$* + y - 1 = -2y - 5$

Выразим искомое выражение:

$* = -2y - 5 - (y - 1) = -2y - 5 - y + 1 = -3y - 4$

Ответ: $-3y - 4$.

Рассмотрим равенство $\frac{4b - 7}{8b + 9} - \frac{*}{8b + 9} = -3$. Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычтем их числители:

$\frac{4b - 7 - (*)}{8b + 9} = -3$

Умножим обе части равенства на знаменатель $8b + 9$ (при условии, что $b \neq -\frac{9}{8}$):

$4b - 7 - * = -3(8b + 9)$

$4b - 7 - * = -24b - 27$

Выразим искомое выражение:

$* = (4b - 7) - (-24b - 27) = 4b - 7 + 24b + 27 = 28b + 20$

Ответ: $28b + 20$.