Номер 3.20, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 3.20, страница 28.

Условие.

3.20 а) $\frac{-x^2 + 5x}{1 - 6x} + \frac{41x^2 - 2x}{6x - 1}$ при $x = \frac{1}{28}$;

б) $\frac{(m - 1)^2}{m^3 + 27} + \frac{8 - m}{m^3 + 27}$ при $m = -3,5$;

в) $\frac{4c^2 - 8c}{3c - 2} - \frac{2c + 5c^2}{2 - 3c}$ при $c = \frac{2}{9}$;

г) $\frac{n^2 + n + 1}{n^3 - 8} - \frac{n + 3}{8 - n^3}$ при $n = -4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для нахождения значения выражения сначала упростим его. Знаменатели дробей $1 - 6x$ и $6x - 1$ являются противоположными, так как $1 - 6x = -(6x - 1)$. Приведем первую дробь к общему знаменателю $6x - 1$, изменив знак и у числителя, и у знаменателя:
$\frac{-x^2 + 5x}{1 - 6x} + \frac{41x^2 - 2x}{6x - 1} = \frac{-(-x^2 + 5x)}{-(1 - 6x)} + \frac{41x^2 - 2x}{6x - 1} = \frac{x^2 - 5x}{6x - 1} + \frac{41x^2 - 2x}{6x - 1}$.
Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:
$\frac{x^2 - 5x + 41x^2 - 2x}{6x - 1} = \frac{42x^2 - 7x}{6x - 1}$.
Вынесем в числителе общий множитель $7x$ за скобки:
$\frac{7x(6x - 1)}{6x - 1}$.
Сократим дробь на общий множитель $(6x - 1)$:
$7x$.
Теперь подставим значение $x = \frac{1}{28}$ в полученное упрощенное выражение:
$7 \cdot \frac{1}{28} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

б) Данные дроби имеют одинаковый знаменатель $m^3 + 27$, поэтому для их сложения достаточно сложить числители:
$\frac{(m - 1)^2}{m^3 + 27} + \frac{8 - m}{m^3 + 27} = \frac{(m - 1)^2 + 8 - m}{m^3 + 27}$.
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$(m - 1)^2 + 8 - m = m^2 - 2m + 1 + 8 - m = m^2 - 3m + 9$.
Выражение принимает вид:
$\frac{m^2 - 3m + 9}{m^3 + 27}$.
Разложим знаменатель на множители по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:
$m^3 + 27 = m^3 + 3^3 = (m + 3)(m^2 - m \cdot 3 + 3^2) = (m + 3)(m^2 - 3m + 9)$.
Подставим разложенный знаменатель в дробь и сократим ее на общий множитель $(m^2 - 3m + 9)$:
$\frac{m^2 - 3m + 9}{(m + 3)(m^2 - 3m + 9)} = \frac{1}{m + 3}$.
Подставим значение $m = -3,5$ в упрощенное выражение:
$\frac{1}{-3,5 + 3} = \frac{1}{-0,5} = -2$.
Ответ: $-2$

в) Упростим выражение. Знаменатели $3c - 2$ и $2 - 3c$ являются противоположными: $2 - 3c = -(3c - 2)$. Изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя, чтобы привести дроби к общему знаменателю:
$\frac{4c^2 - 8c}{3c - 2} - \frac{2c + 5c^2}{2 - 3c} = \frac{4c^2 - 8c}{3c - 2} - \frac{2c + 5c^2}{-(3c - 2)} = \frac{4c^2 - 8c}{3c - 2} + \frac{2c + 5c^2}{3c - 2}$.
Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
$\frac{4c^2 - 8c + 2c + 5c^2}{3c - 2} = \frac{9c^2 - 6c}{3c - 2}$.
Вынесем в числителе общий множитель $3c$ за скобки:
$\frac{3c(3c - 2)}{3c - 2}$.
Сократим дробь на $(3c - 2)$:
$3c$.
Подставим значение $c = \frac{2}{9}$:
$3 \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

г) Упростим выражение. Знаменатели $n^3 - 8$ и $8 - n^3$ являются противоположными: $8 - n^3 = -(n^3 - 8)$. Изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя:
$\frac{n^2 + n + 1}{n^3 - 8} - \frac{n + 3}{8 - n^3} = \frac{n^2 + n + 1}{n^3 - 8} - \frac{n + 3}{-(n^3 - 8)} = \frac{n^2 + n + 1}{n^3 - 8} + \frac{n + 3}{n^3 - 8}$.
Сложим дроби:
$\frac{n^2 + n + 1 + n + 3}{n^3 - 8} = \frac{n^2 + 2n + 4}{n^3 - 8}$.
Разложим знаменатель по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$n^3 - 8 = n^3 - 2^3 = (n - 2)(n^2 + 2n + 4)$.
Подставим разложение в дробь и сократим ее на общий множитель $(n^2 + 2n + 4)$:
$\frac{n^2 + 2n + 4}{(n - 2)(n^2 + 2n + 4)} = \frac{1}{n - 2}$.
Подставим значение $n = -4$ в упрощенное выражение:
$\frac{1}{-4 - 2} = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}$.
Ответ: $-\frac{1}{6}$