Номер 3.21, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 3.21, страница 28.

Условие.

Упростите выражение:

3.21 a) $\frac{9x^2}{9x^2 - 4} - \frac{12x}{(3x - 2)(3x + 2)} + \frac{4}{9x^2 - 4};$

3.21 б) $\frac{25a^2}{25a^2 - 1} - \frac{10a}{(5a - 1)(5a + 1)} - \frac{1}{1 - 25a^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Исходное выражение: $\frac{9x^2}{9x^2 - 4} - \frac{12x}{(3x - 2)(3x + 2)} + \frac{4}{9x^2 - 4}$.

1. Для упрощения выражения приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель $9x^2 - 4$ является разностью квадратов и раскладывается на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$9x^2 - 4 = (3x)^2 - 2^2 = (3x - 2)(3x + 2)$.

Таким образом, общий знаменатель для всех трех дробей — это $(3x - 2)(3x + 2)$. Выражение можно переписать так:

$\frac{9x^2}{(3x - 2)(3x + 2)} - \frac{12x}{(3x - 2)(3x + 2)} + \frac{4}{(3x - 2)(3x + 2)}$

2. Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем объединить их, выполнив действия с числителями:

$\frac{9x^2 - 12x + 4}{(3x - 2)(3x + 2)}$

3. Упростим полученный числитель. Выражение $9x^2 - 12x + 4$ представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:

$9x^2 - 12x + 4 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 = (3x - 2)^2$

4. Подставим свернутый числитель обратно в дробь и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{(3x - 2)^2}{(3x - 2)(3x + 2)} = \frac{3x - 2}{3x + 2}$

Ответ: $\frac{3x - 2}{3x + 2}$

б)

Исходное выражение: $\frac{25a^2}{25a^2 - 1} - \frac{10a}{(5a - 1)(5a + 1)} - \frac{1}{1 - 25a^2}$.

1. Найдем общий знаменатель. Знаменатель $25a^2 - 1$ — это разность квадратов:

$25a^2 - 1 = (5a)^2 - 1^2 = (5a - 1)(5a + 1)$.

Знаменатель третьей дроби $1 - 25a^2$ можно представить как $-(25a^2 - 1)$.

$1 - 25a^2 = -(25a^2 - 1) = -(5a - 1)(5a + 1)$.

2. Приведем все дроби к общему знаменателю $(5a - 1)(5a + 1)$. Для этого изменим знак перед третьей дробью и одновременно знак ее знаменателя:

$\frac{25a^2}{(5a - 1)(5a + 1)} - \frac{10a}{(5a - 1)(5a + 1)} - \left(\frac{1}{-(25a^2 - 1)}\right) = \frac{25a^2}{25a^2 - 1} - \frac{10a}{25a^2 - 1} + \frac{1}{25a^2 - 1}$

3. Объединим числители над общим знаменателем:

$\frac{25a^2 - 10a + 1}{25a^2 - 1}$

4. Упростим числитель. Выражение $25a^2 - 10a + 1$ является полным квадратом разности по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:

$25a^2 - 10a + 1 = (5a)^2 - 2 \cdot (5a) \cdot 1 + 1^2 = (5a - 1)^2$

5. Подставим упрощенный числитель и разложенный на множители знаменатель обратно в дробь:

$\frac{(5a - 1)^2}{(5a - 1)(5a + 1)}$

6. Сократим общий множитель $(5a - 1)$:

$\frac{5a - 1}{5a + 1}$

Ответ: $\frac{5a - 1}{5a + 1}$