Номер 3.22, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями - номер 3.22, страница 28.

Условие.

3.22 a) $\frac{100d^2}{100d^2 - 9} - \frac{160d}{(3 - 10d)(10d + 3)} + \frac{9 - 100d}{100d^2 - 9}$;

б) $\frac{49}{49a^2 - 16} + \frac{56a + 33}{(7a - 4)(-7a - 4)} - \frac{49a^2}{16 - 49a^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Исходное выражение: $\frac{100d^2}{100d^2 - 9} - \frac{160d}{(3 - 10d)(10d + 3)} + \frac{9 - 100d}{100d^2 - 9}$

1. Приведем все дроби к общему знаменателю. Для этого преобразуем знаменатели.

Знаменатель первой и третьей дроби: $100d^2 - 9$. Это разность квадратов: $(10d)^2 - 3^2 = (10d - 3)(10d + 3)$.

Знаменатель второй дроби: $(3 - 10d)(10d + 3)$. Вынесем $-1$ из первой скобки: $-(10d - 3)(10d + 3) = -(100d^2 - 9)$.

2. Перепишем выражение, учитывая преобразованные знаменатели.

$\frac{100d^2}{(10d - 3)(10d + 3)} - \frac{160d}{-(10d - 3)(10d + 3)} + \frac{9 - 100d}{(10d - 3)(10d + 3)}$

Знак "минус" перед второй дробью и "минус" в ее знаменателе дают "плюс":

$\frac{100d^2}{(10d - 3)(10d + 3)} + \frac{160d}{(10d - 3)(10d + 3)} + \frac{9 - 100d}{(10d - 3)(10d + 3)}$

3. Теперь, когда все дроби имеют общий знаменатель $100d^2 - 9$, сложим их числители:

$\frac{100d^2 + 160d + 9 - 100d}{100d^2 - 9}$

4. Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:

$\frac{100d^2 + (160d - 100d) + 9}{100d^2 - 9} = \frac{100d^2 + 60d + 9}{100d^2 - 9}$

5. Заметим, что числитель является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$100d^2 + 60d + 9 = (10d)^2 + 2 \cdot 10d \cdot 3 + 3^2 = (10d + 3)^2$.

Знаменатель, как мы уже знаем, это разность квадратов: $100d^2 - 9 = (10d - 3)(10d + 3)$.

6. Подставим разложенные на множители числитель и знаменатель в дробь и сократим ее:

$\frac{(10d + 3)^2}{(10d - 3)(10d + 3)} = \frac{(10d + 3)\cancel{(10d + 3)}}{(10d - 3)\cancel{(10d + 3)}} = \frac{10d + 3}{10d - 3}$

Ответ: $\frac{10d + 3}{10d - 3}$

б)

Исходное выражение: $\frac{49}{49a^2 - 16} + \frac{56a + 33}{(7a - 4)(-7a - 4)} - \frac{49a^2}{16 - 49a^2}$

1. Приведем все дроби к общему знаменателю. Для этого преобразуем знаменатели.

Знаменатель первой дроби: $49a^2 - 16$. Это разность квадратов: $(7a)^2 - 4^2 = (7a - 4)(7a + 4)$.

Знаменатель второй дроби: $(7a - 4)(-7a - 4)$. Вынесем $-1$ из второй скобки: $(7a - 4) \cdot (-1) \cdot (7a + 4) = -(7a - 4)(7a + 4) = -(49a^2 - 16)$.

Знаменатель третьей дроби: $16 - 49a^2$. Вынесем $-1$ за скобки: $-(49a^2 - 16)$.

2. Перепишем выражение с общим знаменателем $49a^2 - 16$.

$\frac{49}{49a^2 - 16} + \frac{56a + 33}{-(49a^2 - 16)} - \frac{49a^2}{-(49a^2 - 16)}$

Упростим знаки перед дробями:

$\frac{49}{49a^2 - 16} - \frac{56a + 33}{49a^2 - 16} + \frac{49a^2}{49a^2 - 16}$

3. Теперь сложим и вычтем числители, так как знаменатели одинаковы:

$\frac{49 - (56a + 33) + 49a^2}{49a^2 - 16}$

4. Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{49 - 56a - 33 + 49a^2}{49a^2 - 16} = \frac{49a^2 - 56a + 16}{49a^2 - 16}$

5. Заметим, что числитель является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:
$49a^2 - 56a + 16 = (7a)^2 - 2 \cdot 7a \cdot 4 + 4^2 = (7a - 4)^2$.

Знаменатель, как мы уже знаем, это разность квадратов: $49a^2 - 16 = (7a - 4)(7a + 4)$.

6. Подставим разложенные на множители числитель и знаменатель в дробь и сократим ее:

$\frac{(7a - 4)^2}{(7a - 4)(7a + 4)} = \frac{\cancel{(7a - 4)}(7a - 4)}{\cancel{(7a - 4)}(7a + 4)} = \frac{7a - 4}{7a + 4}$

Ответ: $\frac{7a - 4}{7a + 4}$