Номер 3.16, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 3.16, страница 27.

Условие.

Упростите выражение:

3.16 a) $\frac{x^2 + 12x}{x^2 - 36} + \frac{36}{x^2 - 36}$;

б) $\frac{x^3}{x^2 - y^2} - \frac{y^3}{x^2 - y^2}$;

в) $\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} - \frac{2xy}{x^2 - y^2}$;

г) $\frac{y^3}{y^2 - 4} + \frac{8}{y^2 - 4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{x^2 + 12x}{x^2 - 36} + \frac{36}{x^2 - 36}$
Поскольку у дробей одинаковый знаменатель, мы можем сложить их числители, оставив знаменатель без изменений:
$\frac{x^2 + 12x + 36}{x^2 - 36}$
Теперь необходимо упростить полученную дробь. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $x^2 + 12x + 36$ представляет собой полный квадрат суммы по формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$:
$x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = (x+6)^2$
Знаменатель $x^2 - 36$ является разностью квадратов и раскладывается по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6)$
Подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{(x+6)^2}{(x-6)(x+6)}$
Сократим общий множитель $(x+6)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{x+6}{x-6}$
Ответ: $\frac{x+6}{x-6}$

б) $\frac{x^3}{x^2 - y^2} - \frac{y^3}{x^2 - y^2}$
Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители:
$\frac{x^3 - y^3}{x^2 - y^2}$
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $x^3 - y^3$ — это разность кубов, которая раскладывается по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$:
$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$
Знаменатель $x^2 - y^2$ — это разность квадратов:
$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$
Запишем дробь с разложенными на множители частями:
$\frac{(x-y)(x^2 + xy + y^2)}{(x-y)(x+y)}$
Сократим общий множитель $(x-y)$:
$\frac{x^2 + xy + y^2}{x+y}$
Ответ: $\frac{x^2 + xy + y^2}{x+y}$

в) $\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} - \frac{2xy}{x^2 - y^2}$
Так как знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:
$\frac{x^2 + y^2 - 2xy}{x^2 - y^2}$
Перегруппируем слагаемые в числителе, чтобы увидеть формулу сокращенного умножения:
$\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - y^2}$
Числитель $x^2 - 2xy + y^2$ является полным квадратом разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:
$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$
Знаменатель $x^2 - y^2$ — это разность квадратов:
$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(x-y)^2}{(x-y)(x+y)}$
Сократим дробь на общий множитель $(x-y)$:
$\frac{x-y}{x+y}$
Ответ: $\frac{x-y}{x+y}$

г) $\frac{y^3}{y^2 - 4} + \frac{8}{y^2 - 4}$
Сложим числители дробей, так как знаменатели у них одинаковые:
$\frac{y^3 + 8}{y^2 - 4}$
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $y^3 + 8$ — это сумма кубов, которую можно разложить по формуле $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:
$y^3 + 2^3 = (y+2)(y^2 - y \cdot 2 + 2^2) = (y+2)(y^2 - 2y + 4)$
Знаменатель $y^2 - 4$ — это разность квадратов:
$y^2 - 2^2 = (y-2)(y+2)$
Запишем дробь с разложенными выражениями:
$\frac{(y+2)(y^2 - 2y + 4)}{(y-2)(y+2)}$
Сократим общий множитель $(y+2)$:
$\frac{y^2 - 2y + 4}{y-2}$
Ответ: $\frac{y^2 - 2y + 4}{y-2}$