Номер 3.13, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 3.13, страница 27.

Условие.

3.13 a) $ \frac{2z}{9-z^2} - \frac{6}{9-z^2} $;

б) $ \frac{x^2+1}{xy-y^2} + \frac{y^2+1}{y^2-xy} $;

в) $ \frac{3t}{49-t^2} - \frac{21}{49-t^2} $;

г) $ \frac{p^2-2}{p^2-pq} + \frac{q^2-2}{pq-p^2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Исходное выражение: $ \frac{2z}{9 - z^2} - \frac{6}{9 - z^2} $.
Так как знаменатели дробей одинаковы, мы можем вычесть их числители, оставив знаменатель без изменений:
$ \frac{2z - 6}{9 - z^2} $.
Теперь упростим полученную дробь. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки: $ 2z - 6 = 2(z - 3) $. Знаменатель является разностью квадратов: $ 9 - z^2 = 3^2 - z^2 = (3 - z)(3 + z) $.
Получаем дробь:
$ \frac{2(z - 3)}{(3 - z)(3 + z)} $.
Заметим, что выражения $ (z - 3) $ и $ (3 - z) $ являются противоположными, то есть $ z - 3 = -(3 - z) $. Подставим это в числитель:
$ \frac{-2(3 - z)}{(3 - z)(3 + z)} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (3 - z) $, при условии, что $ z \neq 3 $:
$ \frac{-2}{3 + z} = -\frac{2}{z + 3} $.
Ответ: $ -\frac{2}{z + 3} $

б) Исходное выражение: $ \frac{x^2 + 1}{xy - y^2} + \frac{y^2 + 1}{y^2 - xy} $.
Знаменатели дробей $ xy - y^2 $ и $ y^2 - xy $ являются противоположными выражениями: $ y^2 - xy = -(xy - y^2) $. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя:
$ \frac{x^2 + 1}{xy - y^2} - \frac{y^2 + 1}{xy - y^2} $.
Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:
$ \frac{(x^2 + 1) - (y^2 + 1)}{xy - y^2} = \frac{x^2 + 1 - y^2 - 1}{xy - y^2} = \frac{x^2 - y^2}{xy - y^2} $.
Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это разность квадратов: $ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $. В знаменателе вынесем общий множитель $ y $ за скобки: $ xy - y^2 = y(x - y) $.
$ \frac{(x - y)(x + y)}{y(x - y)} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (x - y) $, при условии, что $ x \neq y $:
$ \frac{x + y}{y} $.
Ответ: $ \frac{x + y}{y} $

в) Исходное выражение: $ \frac{3t}{49 - t^2} - \frac{21}{49 - t^2} $.
Знаменатели дробей равны, поэтому вычитаем их числители:
$ \frac{3t - 21}{49 - t^2} $.
Разложим числитель и знаменатель на множители для возможного сокращения. В числителе вынесем 3 за скобки: $ 3(t - 7) $. Знаменатель — это разность квадратов: $ 49 - t^2 = 7^2 - t^2 = (7 - t)(7 + t) $.
$ \frac{3(t - 7)}{(7 - t)(7 + t)} $.
Так как $ t - 7 = -(7 - t) $, мы можем переписать числитель:
$ \frac{-3(7 - t)}{(7 - t)(7 + t)} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (7 - t) $, при условии, что $ t \neq 7 $:
$ \frac{-3}{7 + t} = -\frac{3}{t + 7} $.
Ответ: $ -\frac{3}{t + 7} $

г) Исходное выражение: $ \frac{p^2 - 2}{p^2 - pq} + \frac{q^2 - 2}{pq - p^2} $.
Знаменатели $ p^2 - pq $ и $ pq - p^2 $ являются противоположными: $ pq - p^2 = -(p^2 - pq) $. Приведем дроби к общему знаменателю $ p^2 - pq $, изменив знак перед второй дробью и в ее знаменателе:
$ \frac{p^2 - 2}{p^2 - pq} - \frac{q^2 - 2}{p^2 - pq} $.
Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$ \frac{(p^2 - 2) - (q^2 - 2)}{p^2 - pq} = \frac{p^2 - 2 - q^2 + 2}{p^2 - pq} = \frac{p^2 - q^2}{p^2 - pq} $.
Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это разность квадратов: $ p^2 - q^2 = (p - q)(p + q) $. В знаменателе вынесем общий множитель $ p $: $ p^2 - pq = p(p - q) $.
$ \frac{(p - q)(p + q)}{p(p - q)} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (p - q) $, при условии, что $ p \neq q $:
$ \frac{p + q}{p} $.
Ответ: $ \frac{p + q}{p} $