Номер 3.15, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями - номер 3.15, страница 27.

Условие.

3.15 Докажите тождество:

a) $\frac{b^2}{b^2 + 1} + \frac{2b^2 + 1}{b^2 + 1} - \frac{2(2b^2 + 1)}{b^2 + 1} = -1;$

б) $\frac{3c^2 + 4}{2c^2 + 3} - \frac{2(c^2 + 2)}{2c^2 + 3} + \frac{c^2 + 3}{2c^2 + 3} = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Так как все дроби имеют одинаковый знаменатель $b^2 + 1$, мы можем выполнить сложение и вычитание их числителей:

$ \frac{b^2}{b^2 + 1} + \frac{2b^2 + 1}{b^2 + 1} - \frac{2(2b^2 + 1)}{b^2 + 1} = \frac{b^2 + (2b^2 + 1) - 2(2b^2 + 1)}{b^2 + 1} $

Теперь раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{b^2 + 2b^2 + 1 - 4b^2 - 2}{b^2 + 1} = \frac{(b^2 + 2b^2 - 4b^2) + (1 - 2)}{b^2 + 1} = \frac{-b^2 - 1}{b^2 + 1} $

Вынесем знак минус за скобки в числителе:

$ \frac{-(b^2 + 1)}{b^2 + 1} $

Сократим дробь на общий множитель $(b^2 + 1)$. Область допустимых значений переменной $b$ — все действительные числа, так как знаменатель $b^2 + 1$ никогда не равен нулю.

$ \frac{-(b^2 + 1)}{b^2 + 1} = -1 $

Мы получили, что левая часть тождества равна -1, что совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства данного тождества также преобразуем его левую часть. Все дроби имеют общий знаменатель $2c^2 + 3$, поэтому объединим их числители:

$ \frac{3c^2 + 4}{2c^2 + 3} - \frac{2(c^2 + 2)}{2c^2 + 3} + \frac{c^2 + 3}{2c^2 + 3} = \frac{(3c^2 + 4) - 2(c^2 + 2) + (c^2 + 3)}{2c^2 + 3} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{3c^2 + 4 - 2c^2 - 4 + c^2 + 3}{2c^2 + 3} $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(3c^2 - 2c^2 + c^2) + (4 - 4 + 3)}{2c^2 + 3} = \frac{2c^2 + 3}{2c^2 + 3} $

Так как числитель и знаменатель равны (и знаменатель $2c^2 + 3$ не равен нулю ни при каком действительном $c$), то дробь равна 1:

$ \frac{2c^2 + 3}{2c^2 + 3} = 1 $

Левая часть тождества оказалась равна 1, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.