Номер 3.12, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 3.12, страница 26.

Условие.

3.12 a) $\frac{y}{y^2 - 16} + \frac{4}{y^2 - 16}$;

б) $\frac{100}{3x - 10} - \frac{9x^2}{3x - 10}$;

в) $\frac{7}{49 - t^2} + \frac{t}{49 - t^2}$;

г) $\frac{121}{5x + 11} - \frac{25x^2}{5x + 11}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для сложения дробей $\frac{y}{y^2 - 16} + \frac{4}{y^2 - 16}$ с одинаковыми знаменателями нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
$\frac{y}{y^2 - 16} + \frac{4}{y^2 - 16} = \frac{y + 4}{y^2 - 16}$.
Знаменатель $y^2 - 16$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$y^2 - 16 = (y-4)(y+4)$.
Подставим разложенный знаменатель в выражение:
$\frac{y + 4}{(y - 4)(y + 4)}$.
Сократим общий множитель $(y+4)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{1}{y - 4}$.
Ответ: $\frac{1}{y - 4}$.

б) Для вычитания дробей $\frac{100}{3x - 10} - \frac{9x^2}{3x - 10}$ с одинаковыми знаменателями нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить без изменений.
$\frac{100}{3x - 10} - \frac{9x^2}{3x - 10} = \frac{100 - 9x^2}{3x - 10}$.
Числитель $100 - 9x^2$ является разностью квадратов, так как $100 = 10^2$ и $9x^2 = (3x)^2$. Разложим его на множители:
$100 - 9x^2 = (10 - 3x)(10 + 3x)$.
Подставим разложенный числитель в дробь:
$\frac{(10 - 3x)(10 + 3x)}{3x - 10}$.
Заметим, что множитель $(10 - 3x)$ в числителе и $(3x - 10)$ в знаменателе являются противоположными выражениями, то есть $10 - 3x = -(3x - 10)$. Вынесем минус за скобки в числителе:
$\frac{-(3x - 10)(10 + 3x)}{3x - 10}$.
Сократим общий множитель $(3x - 10)$:
$-(10 + 3x) = -10 - 3x$.
Ответ: $-10 - 3x$.

в) Для сложения дробей $\frac{7}{49 - t^2} + \frac{t}{49 - t^2}$ с одинаковыми знаменателями нужно сложить их числители.
$\frac{7}{49 - t^2} + \frac{t}{49 - t^2} = \frac{7 + t}{49 - t^2}$.
Знаменатель $49 - t^2$ является разностью квадратов $7^2 - t^2$. Разложим его на множители:
$49 - t^2 = (7 - t)(7 + t)$.
Подставим разложение в дробь:
$\frac{7 + t}{(7 - t)(7 + t)}$.
Сократим общий множитель $(7+t)$:
$\frac{1}{7 - t}$.
Ответ: $\frac{1}{7 - t}$.

г) Для вычитания дробей $\frac{121}{5x + 11} - \frac{25x^2}{5x + 11}$ с одинаковыми знаменателями нужно вычесть их числители.
$\frac{121}{5x + 11} - \frac{25x^2}{5x + 11} = \frac{121 - 25x^2}{5x + 11}$.
Числитель $121 - 25x^2$ является разностью квадратов, так как $121 = 11^2$ и $25x^2 = (5x)^2$. Разложим его на множители:
$121 - 25x^2 = (11 - 5x)(11 + 5x)$.
Подставим разложение в дробь:
$\frac{(11 - 5x)(11 + 5x)}{5x + 11}$.
Заметим, что множитель $(11+5x)$ в числителе и $(5x+11)$ в знаменателе равны. Сократим их:
$11 - 5x$.
Ответ: $11 - 5x$.