Номер 3.9, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 3.9, страница 26.

Условие.

3.9 a) $\frac{y}{y + 5} - \frac{5}{-y - 5}$;

б) $\frac{2y}{y + 3} + \frac{y - 3}{-y - 3}$;

в) $\frac{x}{1 + x} - \frac{1}{-x - 1}$,

г) $\frac{3x + 5}{-x - 5} + \frac{2x}{x + 5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Исходное выражение: $\frac{y}{y+5} - \frac{5}{-y-5}$. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, преобразуем знаменатель второй дроби. Вынесем знак "минус" за скобки: $-y-5 = -(y+5)$. Теперь выражение выглядит так: $\frac{y}{y+5} - \frac{5}{-(y+5)}$. Знак "минус" в знаменателе второй дроби можно перенести перед всей дробью. Операция вычитания заменится на сложение: $\frac{y}{y+5} + \frac{5}{y+5}$. Теперь у дробей одинаковый знаменатель. Сложим их числители: $\frac{y+5}{y+5}$. Если числитель и знаменатель дроби равны и не равны нулю (в данном случае $y+5 \neq 0$, то есть $y \neq -5$), то такая дробь равна 1.

Ответ: $1$.

б)

Исходное выражение: $\frac{2y}{y+3} + \frac{y-3}{-y-3}$. Преобразуем знаменатель второй дроби, вынеся $-1$ за скобки: $-y-3 = -(y+3)$. Выражение примет вид: $\frac{2y}{y+3} + \frac{y-3}{-(y+3)}$. Знак "минус" из знаменателя второй дроби можно перенести перед дробью, изменив знак операции с "плюс" на "минус": $\frac{2y}{y+3} - \frac{y-3}{y+3}$. Дроби имеют общий знаменатель, поэтому выполним вычитание числителей. Важно взять второй числитель в скобки, чтобы правильно раскрыть знаки: $\frac{2y - (y-3)}{y+3} = \frac{2y - y + 3}{y+3} = \frac{y+3}{y+3}$. При условии, что $y+3 \neq 0$ (то есть $y \neq -3$), дробь равна 1.

Ответ: $1$.

в)

Исходное выражение: $\frac{x}{1+x} - \frac{1}{-x-1}$. Преобразуем знаменатель второй дроби: $-x-1 = -(x+1)$. Заметим, что $1+x = x+1$. Выражение можно переписать так: $\frac{x}{x+1} - \frac{1}{-(x+1)}$. Перенесем знак "минус" из знаменателя второй дроби перед дробью, меняя знак операции на противоположный: $\frac{x}{x+1} + \frac{1}{x+1}$. Сложим числители, так как знаменатели одинаковы: $\frac{x+1}{x+1}$. При условии, что $x+1 \neq 0$ (то есть $x \neq -1$), дробь равна 1.

Ответ: $1$.

г)

Исходное выражение: $\frac{3x+5}{-x-5} + \frac{2x}{x+5}$. Преобразуем знаменатель первой дроби: $-x-5 = -(x+5)$. Подставим это в выражение: $\frac{3x+5}{-(x+5)} + \frac{2x}{x+5}$. Знак "минус" из знаменателя первой дроби можно вынести перед всей дробью: $-\frac{3x+5}{x+5} + \frac{2x}{x+5}$. Для удобства поменяем дроби местами: $\frac{2x}{x+5} - \frac{3x+5}{x+5}$. Теперь выполним вычитание числителей при общем знаменателе $x+5$: $\frac{2x - (3x+5)}{x+5} = \frac{2x - 3x - 5}{x+5} = \frac{-x-5}{x+5}$. Вынесем в числителе $-1$ за скобки: $\frac{-(x+5)}{x+5}$. При условии, что $x+5 \neq 0$ (то есть $x \neq -5$), дробь можно сократить, и она будет равна -1.

Ответ: $-1$.