Номер 3.14, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями - номер 3.14, страница 27.

Условие.

3.14 а) $ \frac{z^2}{(z+8)^2} - \frac{64}{(z+8)^2}; $

б) $ \frac{a^2}{(9x-a)^2} - \frac{81x^2}{(a-9x)^2}; $

в) $ \frac{t^2}{(t+10)^2} - \frac{100}{(t+10)^2}; $

г) $ \frac{49c^2}{(b-7c)^2} - \frac{b^2}{(7c-b)^2}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Данное выражение: $ \frac{z^2}{(z+8)^2} - \frac{64}{(z+8)^2} $.
Поскольку знаменатели дробей одинаковы, мы можем вычесть числители, оставив знаменатель без изменений: $ \frac{z^2 - 64}{(z+8)^2} $.
Числитель $ z^2 - 64 $ является разностью квадратов, так как $ 64 = 8^2 $. Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ z^2 - 64 = z^2 - 8^2 = (z-8)(z+8) $.
Подставим разложенный числитель обратно в дробь: $ \frac{(z-8)(z+8)}{(z+8)^2} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (z+8) $ (при условии, что $ z+8 \neq 0 $):
$ \frac{z-8}{z+8} $.
Ответ: $ \frac{z-8}{z+8} $

б)

Данное выражение: $ \frac{a^2}{(9x-a)^2} - \frac{81x^2}{(a-9x)^2} $.
Заметим, что знаменатели связаны соотношением $ (a-9x)^2 = (-(9x-a))^2 = (9x-a)^2 $. Таким образом, знаменатели дробей равны.
Приведем выражение к общему знаменателю $ (9x-a)^2 $:
$ \frac{a^2}{(9x-a)^2} - \frac{81x^2}{(9x-a)^2} = \frac{a^2 - 81x^2}{(9x-a)^2} $.
Числитель $ a^2 - 81x^2 $ является разностью квадратов, так как $ 81x^2 = (9x)^2 $. Применим формулу $ u^2 - v^2 = (u-v)(u+v) $:
$ a^2 - (9x)^2 = (a-9x)(a+9x) $.
Подставим разложенный числитель в дробь: $ \frac{(a-9x)(a+9x)}{(9x-a)^2} $.
Используя свойство $ (9x-a)^2 = (a-9x)^2 $, перепишем выражение: $ \frac{(a-9x)(a+9x)}{(a-9x)^2} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (a-9x) $ (при условии, что $ a-9x \neq 0 $):
$ \frac{a+9x}{a-9x} $.
Ответ: $ \frac{a+9x}{a-9x} $

в)

Данное выражение: $ \frac{t^2}{(t+10)^2} - \frac{100}{(t+10)^2} $.
Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители: $ \frac{t^2 - 100}{(t+10)^2} $.
Числитель $ t^2 - 100 $ является разностью квадратов, так как $ 100 = 10^2 $. Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ t^2 - 10^2 = (t-10)(t+10) $.
Подставим разложенный числитель в дробь: $ \frac{(t-10)(t+10)}{(t+10)^2} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (t+10) $ (при условии, что $ t+10 \neq 0 $):
$ \frac{t-10}{t+10} $.
Ответ: $ \frac{t-10}{t+10} $

г)

Данное выражение: $ \frac{49c^2}{(b-7c)^2} - \frac{b^2}{(7c-b)^2} $.
Обратим внимание на знаменатели. Так как $ (7c-b)^2 = (-(b-7c))^2 = (b-7c)^2 $, знаменатели дробей равны.
Приведем выражение к общему знаменателю $ (b-7c)^2 $:
$ \frac{49c^2}{(b-7c)^2} - \frac{b^2}{(b-7c)^2} = \frac{49c^2 - b^2}{(b-7c)^2} $.
Числитель $ 49c^2 - b^2 $ является разностью квадратов, так как $ 49c^2 = (7c)^2 $. Применим формулу $ u^2 - v^2 = (u-v)(u+v) $:
$ (7c)^2 - b^2 = (7c-b)(7c+b) $.
Подставим разложенный числитель в дробь: $ \frac{(7c-b)(7c+b)}{(b-7c)^2} $.
Используя свойство $ (b-7c)^2 = (7c-b)^2 $, перепишем выражение: $ \frac{(7c-b)(7c+b)}{(7c-b)^2} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (7c-b) $ (при условии, что $ 7c-b \neq 0 $):
$ \frac{7c+b}{7c-b} $.
Ответ: $ \frac{7c+b}{7c-b} $