Страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

3.13 a) $ \frac{2z}{9-z^2} - \frac{6}{9-z^2} $;

б) $ \frac{x^2+1}{xy-y^2} + \frac{y^2+1}{y^2-xy} $;

в) $ \frac{3t}{49-t^2} - \frac{21}{49-t^2} $;

г) $ \frac{p^2-2}{p^2-pq} + \frac{q^2-2}{pq-p^2} $.

а) Исходное выражение: $ \frac{2z}{9 - z^2} - \frac{6}{9 - z^2} $.
Так как знаменатели дробей одинаковы, мы можем вычесть их числители, оставив знаменатель без изменений:
$ \frac{2z - 6}{9 - z^2} $.
Теперь упростим полученную дробь. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки: $ 2z - 6 = 2(z - 3) $. Знаменатель является разностью квадратов: $ 9 - z^2 = 3^2 - z^2 = (3 - z)(3 + z) $.
Получаем дробь:
$ \frac{2(z - 3)}{(3 - z)(3 + z)} $.
Заметим, что выражения $ (z - 3) $ и $ (3 - z) $ являются противоположными, то есть $ z - 3 = -(3 - z) $. Подставим это в числитель:
$ \frac{-2(3 - z)}{(3 - z)(3 + z)} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (3 - z) $, при условии, что $ z \neq 3 $:
$ \frac{-2}{3 + z} = -\frac{2}{z + 3} $.
Ответ: $ -\frac{2}{z + 3} $

б) Исходное выражение: $ \frac{x^2 + 1}{xy - y^2} + \frac{y^2 + 1}{y^2 - xy} $.
Знаменатели дробей $ xy - y^2 $ и $ y^2 - xy $ являются противоположными выражениями: $ y^2 - xy = -(xy - y^2) $. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя:
$ \frac{x^2 + 1}{xy - y^2} - \frac{y^2 + 1}{xy - y^2} $.
Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:
$ \frac{(x^2 + 1) - (y^2 + 1)}{xy - y^2} = \frac{x^2 + 1 - y^2 - 1}{xy - y^2} = \frac{x^2 - y^2}{xy - y^2} $.
Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это разность квадратов: $ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $. В знаменателе вынесем общий множитель $ y $ за скобки: $ xy - y^2 = y(x - y) $.
$ \frac{(x - y)(x + y)}{y(x - y)} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (x - y) $, при условии, что $ x \neq y $:
$ \frac{x + y}{y} $.
Ответ: $ \frac{x + y}{y} $

в) Исходное выражение: $ \frac{3t}{49 - t^2} - \frac{21}{49 - t^2} $.
Знаменатели дробей равны, поэтому вычитаем их числители:
$ \frac{3t - 21}{49 - t^2} $.
Разложим числитель и знаменатель на множители для возможного сокращения. В числителе вынесем 3 за скобки: $ 3(t - 7) $. Знаменатель — это разность квадратов: $ 49 - t^2 = 7^2 - t^2 = (7 - t)(7 + t) $.
$ \frac{3(t - 7)}{(7 - t)(7 + t)} $.
Так как $ t - 7 = -(7 - t) $, мы можем переписать числитель:
$ \frac{-3(7 - t)}{(7 - t)(7 + t)} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (7 - t) $, при условии, что $ t \neq 7 $:
$ \frac{-3}{7 + t} = -\frac{3}{t + 7} $.
Ответ: $ -\frac{3}{t + 7} $

г) Исходное выражение: $ \frac{p^2 - 2}{p^2 - pq} + \frac{q^2 - 2}{pq - p^2} $.
Знаменатели $ p^2 - pq $ и $ pq - p^2 $ являются противоположными: $ pq - p^2 = -(p^2 - pq) $. Приведем дроби к общему знаменателю $ p^2 - pq $, изменив знак перед второй дробью и в ее знаменателе:
$ \frac{p^2 - 2}{p^2 - pq} - \frac{q^2 - 2}{p^2 - pq} $.
Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$ \frac{(p^2 - 2) - (q^2 - 2)}{p^2 - pq} = \frac{p^2 - 2 - q^2 + 2}{p^2 - pq} = \frac{p^2 - q^2}{p^2 - pq} $.
Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это разность квадратов: $ p^2 - q^2 = (p - q)(p + q) $. В знаменателе вынесем общий множитель $ p $: $ p^2 - pq = p(p - q) $.
$ \frac{(p - q)(p + q)}{p(p - q)} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (p - q) $, при условии, что $ p \neq q $:
$ \frac{p + q}{p} $.
Ответ: $ \frac{p + q}{p} $

3.14 а) $ \frac{z^2}{(z+8)^2} - \frac{64}{(z+8)^2}; $

б) $ \frac{a^2}{(9x-a)^2} - \frac{81x^2}{(a-9x)^2}; $

в) $ \frac{t^2}{(t+10)^2} - \frac{100}{(t+10)^2}; $

г) $ \frac{49c^2}{(b-7c)^2} - \frac{b^2}{(7c-b)^2}. $

а)

Данное выражение: $ \frac{z^2}{(z+8)^2} - \frac{64}{(z+8)^2} $.
Поскольку знаменатели дробей одинаковы, мы можем вычесть числители, оставив знаменатель без изменений: $ \frac{z^2 - 64}{(z+8)^2} $.
Числитель $ z^2 - 64 $ является разностью квадратов, так как $ 64 = 8^2 $. Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ z^2 - 64 = z^2 - 8^2 = (z-8)(z+8) $.
Подставим разложенный числитель обратно в дробь: $ \frac{(z-8)(z+8)}{(z+8)^2} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (z+8) $ (при условии, что $ z+8 \neq 0 $):
$ \frac{z-8}{z+8} $.
Ответ: $ \frac{z-8}{z+8} $

б)

Данное выражение: $ \frac{a^2}{(9x-a)^2} - \frac{81x^2}{(a-9x)^2} $.
Заметим, что знаменатели связаны соотношением $ (a-9x)^2 = (-(9x-a))^2 = (9x-a)^2 $. Таким образом, знаменатели дробей равны.
Приведем выражение к общему знаменателю $ (9x-a)^2 $:
$ \frac{a^2}{(9x-a)^2} - \frac{81x^2}{(9x-a)^2} = \frac{a^2 - 81x^2}{(9x-a)^2} $.
Числитель $ a^2 - 81x^2 $ является разностью квадратов, так как $ 81x^2 = (9x)^2 $. Применим формулу $ u^2 - v^2 = (u-v)(u+v) $:
$ a^2 - (9x)^2 = (a-9x)(a+9x) $.
Подставим разложенный числитель в дробь: $ \frac{(a-9x)(a+9x)}{(9x-a)^2} $.
Используя свойство $ (9x-a)^2 = (a-9x)^2 $, перепишем выражение: $ \frac{(a-9x)(a+9x)}{(a-9x)^2} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (a-9x) $ (при условии, что $ a-9x \neq 0 $):
$ \frac{a+9x}{a-9x} $.
Ответ: $ \frac{a+9x}{a-9x} $

в)

Данное выражение: $ \frac{t^2}{(t+10)^2} - \frac{100}{(t+10)^2} $.
Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители: $ \frac{t^2 - 100}{(t+10)^2} $.
Числитель $ t^2 - 100 $ является разностью квадратов, так как $ 100 = 10^2 $. Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ t^2 - 10^2 = (t-10)(t+10) $.
Подставим разложенный числитель в дробь: $ \frac{(t-10)(t+10)}{(t+10)^2} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (t+10) $ (при условии, что $ t+10 \neq 0 $):
$ \frac{t-10}{t+10} $.
Ответ: $ \frac{t-10}{t+10} $

г)

Данное выражение: $ \frac{49c^2}{(b-7c)^2} - \frac{b^2}{(7c-b)^2} $.
Обратим внимание на знаменатели. Так как $ (7c-b)^2 = (-(b-7c))^2 = (b-7c)^2 $, знаменатели дробей равны.
Приведем выражение к общему знаменателю $ (b-7c)^2 $:
$ \frac{49c^2}{(b-7c)^2} - \frac{b^2}{(b-7c)^2} = \frac{49c^2 - b^2}{(b-7c)^2} $.
Числитель $ 49c^2 - b^2 $ является разностью квадратов, так как $ 49c^2 = (7c)^2 $. Применим формулу $ u^2 - v^2 = (u-v)(u+v) $:
$ (7c)^2 - b^2 = (7c-b)(7c+b) $.
Подставим разложенный числитель в дробь: $ \frac{(7c-b)(7c+b)}{(b-7c)^2} $.
Используя свойство $ (b-7c)^2 = (7c-b)^2 $, перепишем выражение: $ \frac{(7c-b)(7c+b)}{(7c-b)^2} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (7c-b) $ (при условии, что $ 7c-b \neq 0 $):
$ \frac{7c+b}{7c-b} $.
Ответ: $ \frac{7c+b}{7c-b} $

3.15 Докажите тождество:

a) $\frac{b^2}{b^2 + 1} + \frac{2b^2 + 1}{b^2 + 1} - \frac{2(2b^2 + 1)}{b^2 + 1} = -1;$

б) $\frac{3c^2 + 4}{2c^2 + 3} - \frac{2(c^2 + 2)}{2c^2 + 3} + \frac{c^2 + 3}{2c^2 + 3} = 1.$

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Так как все дроби имеют одинаковый знаменатель $b^2 + 1$, мы можем выполнить сложение и вычитание их числителей:

$ \frac{b^2}{b^2 + 1} + \frac{2b^2 + 1}{b^2 + 1} - \frac{2(2b^2 + 1)}{b^2 + 1} = \frac{b^2 + (2b^2 + 1) - 2(2b^2 + 1)}{b^2 + 1} $

Теперь раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{b^2 + 2b^2 + 1 - 4b^2 - 2}{b^2 + 1} = \frac{(b^2 + 2b^2 - 4b^2) + (1 - 2)}{b^2 + 1} = \frac{-b^2 - 1}{b^2 + 1} $

Вынесем знак минус за скобки в числителе:

$ \frac{-(b^2 + 1)}{b^2 + 1} $

Сократим дробь на общий множитель $(b^2 + 1)$. Область допустимых значений переменной $b$ — все действительные числа, так как знаменатель $b^2 + 1$ никогда не равен нулю.

$ \frac{-(b^2 + 1)}{b^2 + 1} = -1 $

Мы получили, что левая часть тождества равна -1, что совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства данного тождества также преобразуем его левую часть. Все дроби имеют общий знаменатель $2c^2 + 3$, поэтому объединим их числители:

$ \frac{3c^2 + 4}{2c^2 + 3} - \frac{2(c^2 + 2)}{2c^2 + 3} + \frac{c^2 + 3}{2c^2 + 3} = \frac{(3c^2 + 4) - 2(c^2 + 2) + (c^2 + 3)}{2c^2 + 3} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{3c^2 + 4 - 2c^2 - 4 + c^2 + 3}{2c^2 + 3} $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(3c^2 - 2c^2 + c^2) + (4 - 4 + 3)}{2c^2 + 3} = \frac{2c^2 + 3}{2c^2 + 3} $

Так как числитель и знаменатель равны (и знаменатель $2c^2 + 3$ не равен нулю ни при каком действительном $c$), то дробь равна 1:

$ \frac{2c^2 + 3}{2c^2 + 3} = 1 $

Левая часть тождества оказалась равна 1, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

Упростите выражение:

3.16 a) $\frac{x^2 + 12x}{x^2 - 36} + \frac{36}{x^2 - 36}$;

б) $\frac{x^3}{x^2 - y^2} - \frac{y^3}{x^2 - y^2}$;

в) $\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} - \frac{2xy}{x^2 - y^2}$;

г) $\frac{y^3}{y^2 - 4} + \frac{8}{y^2 - 4}$.

а) $\frac{x^2 + 12x}{x^2 - 36} + \frac{36}{x^2 - 36}$
Поскольку у дробей одинаковый знаменатель, мы можем сложить их числители, оставив знаменатель без изменений:
$\frac{x^2 + 12x + 36}{x^2 - 36}$
Теперь необходимо упростить полученную дробь. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $x^2 + 12x + 36$ представляет собой полный квадрат суммы по формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$:
$x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = (x+6)^2$
Знаменатель $x^2 - 36$ является разностью квадратов и раскладывается по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6)$
Подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{(x+6)^2}{(x-6)(x+6)}$
Сократим общий множитель $(x+6)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{x+6}{x-6}$
Ответ: $\frac{x+6}{x-6}$

б) $\frac{x^3}{x^2 - y^2} - \frac{y^3}{x^2 - y^2}$
Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители:
$\frac{x^3 - y^3}{x^2 - y^2}$
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $x^3 - y^3$ — это разность кубов, которая раскладывается по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$:
$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$
Знаменатель $x^2 - y^2$ — это разность квадратов:
$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$
Запишем дробь с разложенными на множители частями:
$\frac{(x-y)(x^2 + xy + y^2)}{(x-y)(x+y)}$
Сократим общий множитель $(x-y)$:
$\frac{x^2 + xy + y^2}{x+y}$
Ответ: $\frac{x^2 + xy + y^2}{x+y}$

в) $\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} - \frac{2xy}{x^2 - y^2}$
Так как знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:
$\frac{x^2 + y^2 - 2xy}{x^2 - y^2}$
Перегруппируем слагаемые в числителе, чтобы увидеть формулу сокращенного умножения:
$\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - y^2}$
Числитель $x^2 - 2xy + y^2$ является полным квадратом разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:
$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$
Знаменатель $x^2 - y^2$ — это разность квадратов:
$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(x-y)^2}{(x-y)(x+y)}$
Сократим дробь на общий множитель $(x-y)$:
$\frac{x-y}{x+y}$
Ответ: $\frac{x-y}{x+y}$

г) $\frac{y^3}{y^2 - 4} + \frac{8}{y^2 - 4}$
Сложим числители дробей, так как знаменатели у них одинаковые:
$\frac{y^3 + 8}{y^2 - 4}$
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $y^3 + 8$ — это сумма кубов, которую можно разложить по формуле $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:
$y^3 + 2^3 = (y+2)(y^2 - y \cdot 2 + 2^2) = (y+2)(y^2 - 2y + 4)$
Знаменатель $y^2 - 4$ — это разность квадратов:
$y^2 - 2^2 = (y-2)(y+2)$
Запишем дробь с разложенными выражениями:
$\frac{(y+2)(y^2 - 2y + 4)}{(y-2)(y+2)}$
Сократим общий множитель $(y+2)$:
$\frac{y^2 - 2y + 4}{y-2}$
Ответ: $\frac{y^2 - 2y + 4}{y-2}$

3.17 a) $ \frac{a^2}{a-3} - \frac{6a - 9}{a-3}; $

б) $ \frac{c^2 + 100}{c - 10} + \frac{20c}{10 - c}; $

в) $ \frac{b^2}{b+5} + \frac{10b + 25}{b+5}; $

г) $ \frac{d^2 + 49}{7 - d} + \frac{14d}{d - 7}. $

а) $\frac{a^2}{a-3} - \frac{6a-9}{a-3}$

Так как знаменатели дробей одинаковы, выполним вычитание числителей. Обратите внимание, что второй числитель нужно взять в скобки, чтобы правильно раскрыть знаки.

$\frac{a^2 - (6a-9)}{a-3} = \frac{a^2 - 6a + 9}{a-3}$

Числитель $a^2 - 6a + 9$ является полным квадратом разности. Используем формулу сокращенного умножения $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$a^2 - 6a + 9 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = (a-3)^2$

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим:

$\frac{(a-3)^2}{a-3} = a-3$

Данное выражение определено при $a-3 \neq 0$, то есть $a \neq 3$.

Ответ: $a-3$

б) $\frac{c^2+100}{c-10} + \frac{20c}{10-c}$

Знаменатели дробей $c-10$ и $10-c$ являются противоположными выражениями, так как $10-c = -(c-10)$. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя:

$\frac{c^2+100}{c-10} + \frac{20c}{-(c-10)} = \frac{c^2+100}{c-10} - \frac{20c}{c-10}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{c^2+100-20c}{c-10} = \frac{c^2-20c+100}{c-10}$

Числитель $c^2-20c+100$ является полным квадратом разности. Используем формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$c^2 - 20c + 100 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 10 + 10^2 = (c-10)^2$

Подставим и сократим дробь:

$\frac{(c-10)^2}{c-10} = c-10$

Данное выражение определено при $c-10 \neq 0$, то есть $c \neq 10$.

Ответ: $c-10$

в) $\frac{b^2}{b+5} + \frac{10b+25}{b+5}$

Знаменатели дробей одинаковы, поэтому сложим их числители:

$\frac{b^2 + 10b + 25}{b+5}$

Числитель $b^2 + 10b + 25$ является полным квадратом суммы. Используем формулу сокращенного умножения $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$b^2 + 10b + 25 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 5 + 5^2 = (b+5)^2$

Подставим разложенный числитель в дробь и сократим:

$\frac{(b+5)^2}{b+5} = b+5$

Данное выражение определено при $b+5 \neq 0$, то есть $b \neq -5$.

Ответ: $b+5$

г) $\frac{d^2+49}{7-d} + \frac{14d}{d-7}$

Знаменатели $7-d$ и $d-7$ являются противоположными выражениями: $d-7 = -(7-d)$. Приведем дроби к общему знаменателю $7-d$. Для этого изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя:

$\frac{d^2+49}{7-d} + \frac{14d}{-(7-d)} = \frac{d^2+49}{7-d} - \frac{14d}{7-d}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{d^2+49-14d}{7-d} = \frac{d^2-14d+49}{7-d}$

Числитель $d^2-14d+49$ является полным квадратом разности. Используем формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$d^2 - 14d + 49 = d^2 - 2 \cdot d \cdot 7 + 7^2 = (d-7)^2$

Подставим и сократим дробь. Заметим, что $(d-7)^2 = (-(7-d))^2 = (7-d)^2$.

$\frac{(d-7)^2}{7-d} = \frac{(7-d)^2}{7-d} = 7-d$

Другой способ сокращения: $\frac{(d-7)^2}{7-d} = \frac{(d-7)(d-7)}{-(d-7)} = -(d-7) = 7-d$.

Данное выражение определено при $7-d \neq 0$, то есть $d \neq 7$.

Ответ: $7-d$

3.18 a) $ \frac{n^2 + n}{n^3 - 8} + \frac{n + 4}{n^3 - 8} $;

б) $ \frac{x^2 + 2}{1 + x^3} - \frac{3}{1 + x^3} $;

в) $ \frac{m^2 + 9}{m^3 + 27} - \frac{3m}{m^3 + 27} $;

г) $ \frac{3y^2 - 1}{8y^3 - 1} + \frac{y^2}{8y^3 - 1} $.

Данные дроби имеют одинаковый знаменатель $n^3 - 8$, поэтому для их сложения необходимо сложить их числители:
$\frac{n^2 + n}{n^3 - 8} + \frac{n + 4}{n^3 - 8} = \frac{(n^2 + n) + (n + 4)}{n^3 - 8} = \frac{n^2 + 2n + 4}{n^3 - 8}$.

Знаменатель $n^3 - 8$ можно разложить на множители как разность кубов, используя формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$n^3 - 8 = n^3 - 2^3 = (n - 2)(n^2 + 2n + 4)$.

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в выражение и сократим дробь на общий множитель $(n^2 + 2n + 4)$:
$\frac{n^2 + 2n + 4}{(n - 2)(n^2 + 2n + 4)} = \frac{1}{n - 2}$.

Ответ: $\frac{1}{n - 2}$

Поскольку у дробей одинаковый знаменатель $1 + x^3$, для их вычитания необходимо из числителя первой дроби вычесть числитель второй:
$\frac{x^2 + 2}{1 + x^3} - \frac{3}{1 + x^3} = \frac{(x^2 + 2) - 3}{1 + x^3} = \frac{x^2 - 1}{1 + x^3}$.

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель раскладывается как разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, а знаменатель — как сумма кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
Числитель: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Знаменатель: $1 + x^3 = (1 + x)(1 - x + x^2)$.

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим на общий множитель $(x+1)$:
$\frac{(x - 1)(x + 1)}{(1 + x)(x^2 - x + 1)} = \frac{x - 1}{x^2 - x + 1}$.

Ответ: $\frac{x - 1}{x^2 - x + 1}$

Дроби имеют общий знаменатель $m^3 + 27$, поэтому выполним вычитание их числителей:
$\frac{m^2 + 9}{m^3 + 27} - \frac{3m}{m^3 + 27} = \frac{m^2 + 9 - 3m}{m^3 + 27} = \frac{m^2 - 3m + 9}{m^3 + 27}$.

Знаменатель $m^3 + 27$ разложим на множители как сумму кубов по формуле $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$m^3 + 27 = m^3 + 3^3 = (m + 3)(m^2 - 3m + 9)$.

Подставим разложение в дробь и выполним сокращение на общий множитель $(m^2 - 3m + 9)$:
$\frac{m^2 - 3m + 9}{(m + 3)(m^2 - 3m + 9)} = \frac{1}{m + 3}$.

Ответ: $\frac{1}{m + 3}$

Дроби имеют общий знаменатель $8y^3 - 1$, поэтому выполним сложение их числителей:
$\frac{3y^2 - 1}{8y^3 - 1} + \frac{y^2}{8y^3 - 1} = \frac{(3y^2 - 1) + y^2}{8y^3 - 1} = \frac{4y^2 - 1}{8y^3 - 1}$.

Разложим числитель как разность квадратов, а знаменатель как разность кубов:
Числитель: $4y^2 - 1 = (2y)^2 - 1^2 = (2y - 1)(2y + 1)$.
Знаменатель: $8y^3 - 1 = (2y)^3 - 1^3 = (2y - 1)(4y^2 + 2y + 1)$.

Подставим разложения в дробь и сократим на общий множитель $(2y-1)$:
$\frac{(2y - 1)(2y + 1)}{(2y - 1)(4y^2 + 2y + 1)} = \frac{2y + 1}{4y^2 + 2y + 1}$.

Ответ: $\frac{2y + 1}{4y^2 + 2y + 1}$

Упростите выражение и найдите его значение:

3.19 a) $\frac{a^2 - 58}{a - 8} - \frac{6}{a - 8}$ при $a = 12$;

б) $\frac{c^2 - 8c}{c - 4} + \frac{16}{c - 4}$ при $c = -3,5$;

в) $\frac{b^2 - 108}{b + 10} + \frac{8}{b + 10}$ при $b = 3,5$;

г) $\frac{x^2 + 2x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}$ при $x = 4,1$.

а) Сначала упростим выражение. Так как знаменатели у дробей одинаковые, выполним вычитание числителей:

$\frac{a^2 - 58}{a - 8} - \frac{6}{a - 8} = \frac{a^2 - 58 - 6}{a - 8} = \frac{a^2 - 64}{a - 8}$

Числитель $a^2 - 64$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$\frac{a^2 - 64}{a - 8} = \frac{(a - 8)(a + 8)}{a - 8}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-8)$:

$a + 8$

Теперь подставим значение $a = 12$ в упрощенное выражение:

$12 + 8 = 20$

Ответ: 20

б) Упростим выражение. Объединим дроби, так как у них общий знаменатель:

$\frac{c^2 - 8c}{c - 4} + \frac{16}{c - 4} = \frac{c^2 - 8c + 16}{c - 4}$

Числитель $c^2 - 8c + 16$ является полным квадратом разности по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$\frac{(c - 4)^2}{c - 4}$

Сократим дробь на $(c-4)$:

$c - 4$

Подставим значение $c = -3,5$ в полученное выражение:

$-3,5 - 4 = -7,5$

Ответ: -7,5

в) Упростим выражение, сложив дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{b^2 - 108}{b + 10} + \frac{8}{b + 10} = \frac{b^2 - 108 + 8}{b + 10} = \frac{b^2 - 100}{b + 10}$

Применим формулу разности квадратов к числителю $b^2 - 100 = b^2 - 10^2$:

$\frac{(b - 10)(b + 10)}{b + 10}$

Сократим дробь на общий множитель $(b+10)$:

$b - 10$

Теперь найдем значение выражения при $b = 3,5$:

$3,5 - 10 = -6,5$

Ответ: -6,5

г) Сложим дроби с общим знаменателем $1+x$:

$\frac{x^2 + 2x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x} = \frac{x^2 + 2x + 1}{1 + x}$

Числитель $x^2 + 2x + 1$ представляет собой полный квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$\frac{(x + 1)^2}{x + 1}$

Сократим дробь на $(x+1)$:

$x + 1$

Подставим значение $x = 4,1$ в упрощенное выражение:

$4,1 + 1 = 5,1$

Ответ: 5,1