Страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

4.34 а) $ \frac{3c}{(c-2)^2} - \frac{6}{c-2} $

б) $ \frac{a^2}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{2(a-b)} $

в) $ \frac{3m}{(m+5)^2} + \frac{2}{m+5} $

г) $ \frac{x+y}{3(x-y)} + \frac{x^2}{(x-y)^2} $

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{3c}{(c-2)^2} - \frac{6}{c-2}$, их необходимо привести к общему знаменателю. В данном случае наименьшим общим знаменателем является выражение $(c-2)^2$. Для этого вторую дробь нужно домножить на дополнительный множитель $(c-2)$.
$\frac{3c}{(c-2)^2} - \frac{6(c-2)}{(c-2)(c-2)} = \frac{3c - 6(c-2)}{(c-2)^2}$
Теперь раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{3c - 6c + 12}{(c-2)^2} = \frac{-3c + 12}{(c-2)^2}$
Для упрощения вынесем общий множитель 3 (или -3) за скобки в числителе:
$\frac{3(4-c)}{(c-2)^2}$
Дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $\frac{3(4-c)}{(c-2)^2}$

б) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{a^2}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{2(a-b)}$, найдем наименьший общий знаменатель. Он равен $2(a-b)^2$. Дополнительный множитель для первой дроби — 2, а для второй — $(a-b)$.
$\frac{a^2 \cdot 2}{(a-b)^2 \cdot 2} - \frac{(a+b)(a-b)}{2(a-b)(a-b)} = \frac{2a^2 - (a+b)(a-b)}{2(a-b)^2}$
В числителе применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$\frac{2a^2 - (a^2 - b^2)}{2(a-b)^2} = \frac{2a^2 - a^2 + b^2}{2(a-b)^2} = \frac{a^2 + b^2}{2(a-b)^2}$
Дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{2(a-b)^2}$

в) Чтобы сложить дроби $\frac{3m}{(m+5)^2} + \frac{2}{m+5}$, приведем их к общему знаменателю $(m+5)^2$. Дополнительный множитель для второй дроби равен $(m+5)$.
$\frac{3m}{(m+5)^2} + \frac{2(m+5)}{(m+5)^2} = \frac{3m + 2(m+5)}{(m+5)^2}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{3m + 2m + 10}{(m+5)^2} = \frac{5m + 10}{(m+5)^2}$
Вынесем общий множитель 5 за скобки в числителе:
$\frac{5(m+2)}{(m+5)^2}$
Дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $\frac{5(m+2)}{(m+5)^2}$

г) Чтобы сложить дроби $\frac{x+y}{3(x-y)} + \frac{x^2}{(x-y)^2}$, найдем наименьший общий знаменатель. Он равен $3(x-y)^2$. Дополнительный множитель для первой дроби — $(x-y)$, а для второй — 3.
$\frac{(x+y)(x-y)}{3(x-y)^2} + \frac{3x^2}{3(x-y)^2} = \frac{(x+y)(x-y) + 3x^2}{3(x-y)^2}$
В числителе применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ и приведем подобные слагаемые:
$\frac{x^2 - y^2 + 3x^2}{3(x-y)^2} = \frac{4x^2 - y^2}{3(x-y)^2}$
Числитель также является разностью квадратов: $4x^2 - y^2 = (2x)^2 - y^2 = (2x-y)(2x+y)$.
$\frac{(2x-y)(2x+y)}{3(x-y)^2}$
Дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $\frac{(2x-y)(2x+y)}{3(x-y)^2}$

4.35 а) $\frac{a^2 + 3ab}{2ab + 2b^2} - \frac{a}{2b^2};$

б) $\frac{3b + a}{9a} + \frac{b^2}{a^2 - 3ab};$

в) $\frac{c}{3d} - \frac{4cd + c^2}{3d^2 + 3cd};$

г) $\frac{n}{m^2 + 2mn} + \frac{m - 2n}{4mn}.$

а) $\frac{a^2 + 3ab}{2ab + 2b^2} - \frac{a}{2b}$
Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Для этого сначала разложим на множители знаменатель первой дроби.
$2ab + 2b^2 = 2b(a + b)$
Теперь выражение выглядит так: $\frac{a^2 + 3ab}{2b(a + b)} - \frac{a}{2b}$.
Общий знаменатель для этих дробей – $2b(a + b)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $(a + b)$.
$\frac{a^2 + 3ab}{2b(a + b)} - \frac{a(a+b)}{2b(a+b)} = \frac{a^2 + 3ab - a(a+b)}{2b(a+b)}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые.
$\frac{a^2 + 3ab - a^2 - ab}{2b(a+b)} = \frac{2ab}{2b(a+b)}$
Сократим полученную дробь на общий множитель $2b$.
$\frac{2ab}{2b(a+b)} = \frac{a}{a+b}$
Ответ: $\frac{a}{a+b}$

б) $\frac{3b + a}{9a} + \frac{b^2}{a^2 - 3ab}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Сначала разложим на множители знаменатель второй дроби.
$a^2 - 3ab = a(a - 3b)$
Выражение примет вид: $\frac{a + 3b}{9a} + \frac{b^2}{a(a - 3b)}$.
Общий знаменатель – $9a(a - 3b)$. Дополнительный множитель для первой дроби – $(a - 3b)$, для второй – $9$.
$\frac{(a + 3b)(a - 3b)}{9a(a - 3b)} + \frac{b^2 \cdot 9}{9a(a - 3b)} = \frac{(a + 3b)(a - 3b) + 9b^2}{9a(a - 3b)}$
В числителе используем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$.
$\frac{a^2 - (3b)^2 + 9b^2}{9a(a - 3b)} = \frac{a^2 - 9b^2 + 9b^2}{9a(a - 3b)} = \frac{a^2}{9a(a - 3b)}$
Сократим полученную дробь на $a$.
$\frac{a^2}{9a(a - 3b)} = \frac{a}{9(a - 3b)}$
Ответ: $\frac{a}{9(a - 3b)}$

в) $\frac{c}{3d} - \frac{4cd + c^2}{3d^2 + 3cd}$
Для приведения к общему знаменателю разложим на множители знаменатель второй дроби.
$3d^2 + 3cd = 3d(d + c)$
Выражение: $\frac{c}{3d} - \frac{4cd + c^2}{3d(d + c)}$.
Общий знаменатель – $3d(d + c)$. Дополнительный множитель для первой дроби – $(d + c)$.
$\frac{c(d+c)}{3d(d+c)} - \frac{4cd + c^2}{3d(d+c)} = \frac{c(d+c) - (4cd + c^2)}{3d(d+c)}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые.
$\frac{cd + c^2 - 4cd - c^2}{3d(d+c)} = \frac{-3cd}{3d(d+c)}$
Сократим дробь на $3d$.
$\frac{-3cd}{3d(d+c)} = \frac{-c}{d+c} = -\frac{c}{c+d}$
Ответ: $-\frac{c}{c+d}$

г) $\frac{n}{m^2 + 2mn} + \frac{m - 2n}{4mn}$
Разложим на множители знаменатель первой дроби, чтобы найти общий знаменатель.
$m^2 + 2mn = m(m + 2n)$
Выражение: $\frac{n}{m(m + 2n)} + \frac{m - 2n}{4mn}$.
Общий знаменатель – $4mn(m + 2n)$. Дополнительный множитель для первой дроби – $4n$, для второй – $(m + 2n)$.
$\frac{n \cdot 4n}{4mn(m + 2n)} + \frac{(m - 2n)(m + 2n)}{4mn(m + 2n)} = \frac{4n^2 + (m - 2n)(m + 2n)}{4mn(m + 2n)}$
В числителе применим формулу разности квадратов.
$\frac{4n^2 + m^2 - (2n)^2}{4mn(m + 2n)} = \frac{4n^2 + m^2 - 4n^2}{4mn(m + 2n)} = \frac{m^2}{4mn(m + 2n)}$
Сократим дробь на $m$.
$\frac{m^2}{4mn(m + 2n)} = \frac{m}{4n(m + 2n)}$
Ответ: $\frac{m}{4n(m + 2n)}$

4.36 a) $\frac{a - 12}{2a - 8} + \frac{a}{a - 4};$

б) $\frac{x - 1}{3x - 12} - \frac{x - 2}{2x - 8};$

в) $\frac{y - 27}{6 - 2y} + \frac{4y}{3 - y};$

г) $\frac{c - 2}{6c + 4} - \frac{c - 6}{15c + 10}.$

а) $\frac{a-12}{2a-8} + \frac{a}{a-4}$

Для сложения дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $2a - 8 = 2(a - 4)$.

Знаменатель второй дроби: $a - 4$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $2(a - 4)$.

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на 2, чтобы привести ее к общему знаменателю:

$\frac{a-12}{2(a-4)} + \frac{a \cdot 2}{(a-4) \cdot 2} = \frac{a-12}{2(a-4)} + \frac{2a}{2(a-4)}$

Теперь сложим дроби, так как у них одинаковый знаменатель:

$\frac{a-12+2a}{2(a-4)} = \frac{3a-12}{2(a-4)}$

Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки:

$\frac{3(a-4)}{2(a-4)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-4)$:

$\frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $\frac{3}{2}$.

б) $\frac{x-1}{3x-12} - \frac{x-2}{2x-8}$

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $3x - 12 = 3(x - 4)$.

Знаменатель второй дроби: $2x - 8 = 2(x - 4)$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $2 \cdot 3 \cdot (x - 4) = 6(x - 4)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби - 2, для второй - 3:

$\frac{(x-1) \cdot 2}{3(x-4) \cdot 2} - \frac{(x-2) \cdot 3}{2(x-4) \cdot 3} = \frac{2(x-1)}{6(x-4)} - \frac{3(x-2)}{6(x-4)}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{2(x-1) - 3(x-2)}{6(x-4)} = \frac{2x - 2 - (3x - 6)}{6(x-4)} = \frac{2x - 2 - 3x + 6}{6(x-4)}$

Упростим выражение в числителе:

$\frac{-x+4}{6(x-4)}$

Вынесем в числителе -1 за скобки:

$\frac{-(x-4)}{6(x-4)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-4)$:

$-\frac{1}{6}$

Ответ: $-\frac{1}{6}$.

в) $\frac{y-27}{6-2y} + \frac{4y}{3-y}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Разложим первый знаменатель на множители:

$6 - 2y = 2(3 - y)$.

Видим, что знаменатель первой дроби $2(3 - y)$, а второй $3-y$. Общий знаменатель - $2(3 - y)$.

Домножим вторую дробь на 2:

$\frac{y-27}{2(3-y)} + \frac{4y \cdot 2}{(3-y) \cdot 2} = \frac{y-27}{2(3-y)} + \frac{8y}{2(3-y)}$

Сложим дроби:

$\frac{y-27+8y}{2(3-y)} = \frac{9y-27}{2(3-y)}$

Вынесем в числителе общий множитель 9 за скобки:

$\frac{9(y-3)}{2(3-y)}$

Заметим, что $y - 3 = -(3 - y)$. Подставим это в числитель:

$\frac{9 \cdot (-(3-y))}{2(3-y)} = \frac{-9(3-y)}{2(3-y)}$

Сократим дробь на $(3-y)$:

$-\frac{9}{2} = -4.5$

Ответ: $-\frac{9}{2}$.

г) $\frac{c-2}{6c+4} - \frac{c-6}{15c+10}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $6c + 4 = 2(3c + 2)$.

Знаменатель второй дроби: $15c + 10 = 5(3c + 2)$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $2 \cdot 5 \cdot (3c + 2) = 10(3c + 2)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби - 5, для второй - 2:

$\frac{(c-2) \cdot 5}{2(3c+2) \cdot 5} - \frac{(c-6) \cdot 2}{5(3c+2) \cdot 2} = \frac{5(c-2)}{10(3c+2)} - \frac{2(c-6)}{10(3c+2)}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{5(c-2) - 2(c-6)}{10(3c+2)} = \frac{5c - 10 - (2c - 12)}{10(3c+2)} = \frac{5c - 10 - 2c + 12}{10(3c+2)}$

Упростим выражение в числителе:

$\frac{3c+2}{10(3c+2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(3c+2)$:

$\frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$.

4.37 a) $\frac{2 - a}{a^2 - ab} - \frac{2 - b}{ab - b^2}$

б) $\frac{b + 2a}{a^2 + ab} - \frac{a + 2b}{b^2 + ab}$

в) $\frac{d + 3}{cd + d^2} - \frac{c - 3}{cd + c^2}$

г) $\frac{3p + q}{p^2 - pq} - \frac{3q + p}{pq - q^2}$

а)

Исходное выражение: $\frac{2-a}{a^2-ab} - \frac{2-b}{ab-b^2}$.

1. Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель. В первом знаменателе вынесем за скобки $a$, во втором — $b$.

$a^2 - ab = a(a-b)$

$ab - b^2 = b(a-b)$

2. Общий знаменатель для этих дробей — $ab(a-b)$. Приведем дроби к этому знаменателю. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $b$, а второй — на $a$.

$\frac{(2-a) \cdot b}{a(a-b) \cdot b} - \frac{(2-b) \cdot a}{b(a-b) \cdot a} = \frac{b(2-a) - a(2-b)}{ab(a-b)}$

3. Раскроем скобки в числителе и упростим выражение.

$\frac{2b - ab - (2a - ab)}{ab(a-b)} = \frac{2b - ab - 2a + ab}{ab(a-b)} = \frac{2b - 2a}{ab(a-b)}$

4. Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки.

$\frac{2(b-a)}{ab(a-b)}$

5. Заметим, что $b-a = -(a-b)$. Сократим дробь.

$\frac{-2(a-b)}{ab(a-b)} = -\frac{2}{ab}$

Ответ: $-\frac{2}{ab}$

б)

Исходное выражение: $\frac{b+2a}{a^2+ab} - \frac{a+2b}{b^2+ab}$.

1. Разложим знаменатели на множители.

$a^2 + ab = a(a+b)$

$b^2 + ab = b(b+a) = b(a+b)$

2. Общий знаменатель — $ab(a+b)$. Приведем дроби к общему знаменателю.

$\frac{(b+2a) \cdot b}{a(a+b) \cdot b} - \frac{(a+2b) \cdot a}{b(a+b) \cdot a} = \frac{b(b+2a) - a(a+2b)}{ab(a+b)}$

3. Раскроем скобки в числителе.

$\frac{b^2 + 2ab - (a^2 + 2ab)}{ab(a+b)} = \frac{b^2 + 2ab - a^2 - 2ab}{ab(a+b)} = \frac{b^2 - a^2}{ab(a+b)}$

4. В числителе используем формулу разности квадратов: $b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$.

$\frac{(b-a)(b+a)}{ab(a+b)}$

5. Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$.

$\frac{b-a}{ab}$

Ответ: $\frac{b-a}{ab}$

в)

Исходное выражение: $\frac{d+3}{cd+d^2} - \frac{c-3}{cd+c^2}$.

1. Разложим знаменатели на множители.

$cd + d^2 = d(c+d)$

$cd + c^2 = c(d+c) = c(c+d)$

2. Общий знаменатель — $cd(c+d)$. Приведем дроби к общему знаменателю.

$\frac{(d+3) \cdot c}{d(c+d) \cdot c} - \frac{(c-3) \cdot d}{c(c+d) \cdot d} = \frac{c(d+3) - d(c-3)}{cd(c+d)}$

3. Раскроем скобки в числителе и упростим.

$\frac{cd + 3c - (cd - 3d)}{cd(c+d)} = \frac{cd + 3c - cd + 3d}{cd(c+d)} = \frac{3c + 3d}{cd(c+d)}$

4. Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки.

$\frac{3(c+d)}{cd(c+d)}$

5. Сократим дробь на $(c+d)$.

$\frac{3}{cd}$

Ответ: $\frac{3}{cd}$

г)

Исходное выражение: $\frac{3p+q}{p^2-pq} - \frac{3q+p}{pq-q^2}$.

1. Разложим знаменатели на множители.

$p^2 - pq = p(p-q)$

$pq - q^2 = q(p-q)$

2. Общий знаменатель — $pq(p-q)$. Приведем дроби к общему знаменателю.

$\frac{(3p+q) \cdot q}{p(p-q) \cdot q} - \frac{(3q+p) \cdot p}{q(p-q) \cdot p} = \frac{q(3p+q) - p(3q+p)}{pq(p-q)}$

3. Раскроем скобки в числителе.

$\frac{3pq + q^2 - (3pq + p^2)}{pq(p-q)} = \frac{3pq + q^2 - 3pq - p^2}{pq(p-q)} = \frac{q^2 - p^2}{pq(p-q)}$

4. В числителе используем формулу разности квадратов: $q^2 - p^2 = (q-p)(q+p)$.

$\frac{(q-p)(q+p)}{pq(p-q)}$

5. Заметим, что $q-p = -(p-q)$. Сократим дробь.

$\frac{-(p-q)(p+q)}{pq(p-q)} = -\frac{p+q}{pq}$

Ответ: $-\frac{p+q}{pq}$

4.38 а) $\frac{2b}{1 - b^2} + \frac{1}{1 + b}$;

б) $\frac{36 + c^2}{c^2 - 36} - \frac{c}{c - 6}$;

в) $\frac{2a}{a^2 - 9} - \frac{1}{a + 3}$;

г) $\frac{2}{m - 4} - \frac{5m - 4}{m^2 - 16}$.

а) $\frac{2b}{1-b^2} + \frac{1}{1+b}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов: $1-b^2 = (1-b)(1+b)$.
Общий знаменатель для дробей $\frac{2b}{(1-b)(1+b)}$ и $\frac{1}{1+b}$ будет $(1-b)(1+b)$.
Домножим числитель и знаменатель второй дроби на недостающий множитель $(1-b)$:
$\frac{2b}{(1-b)(1+b)} + \frac{1 \cdot (1-b)}{(1+b)(1-b)} = \frac{2b + 1 - b}{(1-b)(1+b)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{b+1}{(1-b)(1+b)}$
Сократим дробь на общий множитель $(b+1)$:
$\frac{1}{1-b}$
Ответ: $\frac{1}{1-b}$

б) $\frac{36+c^2}{c^2-36} - \frac{c}{c-6}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $c^2-36 = (c-6)(c+6)$.
Общий знаменатель: $(c-6)(c+6)$.
Домножим вторую дробь на множитель $(c+6)$:
$\frac{36+c^2}{(c-6)(c+6)} - \frac{c \cdot (c+6)}{(c-6)(c+6)} = \frac{36+c^2 - c(c+6)}{(c-6)(c+6)}$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{36+c^2 - c^2 - 6c}{(c-6)(c+6)} = \frac{36 - 6c}{(c-6)(c+6)}$
Вынесем в числителе общий множитель за скобки. Обратим внимание, что $36-6c = -6(c-6)$:
$\frac{-6(c-6)}{(c-6)(c+6)}$
Сократим дробь на $(c-6)$:
$\frac{-6}{c+6}$
Ответ: $\frac{-6}{c+6}$

в) $\frac{2a}{a^2-9} - \frac{1}{a+3}$

Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов: $a^2-9 = (a-3)(a+3)$.
Общим знаменателем будет $(a-3)(a+3)$.
Домножим вторую дробь на множитель $(a-3)$:
$\frac{2a}{(a-3)(a+3)} - \frac{1 \cdot (a-3)}{(a+3)(a-3)} = \frac{2a - (a-3)}{(a-3)(a+3)}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{2a - a + 3}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+3}{(a-3)(a+3)}$
Сократим дробь на общий множитель $(a+3)$:
$\frac{1}{a-3}$
Ответ: $\frac{1}{a-3}$

г) $\frac{2}{m-4} - \frac{5m-4}{m^2-16}$

Разложим знаменатель второй дроби на множители: $m^2-16 = (m-4)(m+4)$.
Общий знаменатель: $(m-4)(m+4)$.
Домножим первую дробь на множитель $(m+4)$:
$\frac{2 \cdot (m+4)}{(m-4)(m+4)} - \frac{5m-4}{(m-4)(m+4)} = \frac{2(m+4) - (5m-4)}{(m-4)(m+4)}$
Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:
$\frac{2m+8 - 5m+4}{(m-4)(m+4)} = \frac{-3m+12}{(m-4)(m+4)}$
Вынесем в числителе общий множитель $-3$ за скобки:
$\frac{-3(m-4)}{(m-4)(m+4)}$
Сократим дробь на $(m-4)$:
$\frac{-3}{m+4}$
Ответ: $\frac{-3}{m+4}$

4.39 а) $\frac{10x}{16 - x^2} + \frac{5}{x - 4}$;

б) $\frac{6x^2 - 15x + 25}{4x^2 - 25} + \frac{x}{5 - 2x}$;

в) $\frac{12n}{n^2 - 49} + \frac{6}{7 - n}$;

г) $\frac{2z}{4 - 3z} + \frac{15z^2 + 32z + 16}{9z^2 - 16}$.

а) Для того чтобы сложить дроби $\frac{10x}{16 - x^2} + \frac{5}{x - 4}$, приведем их к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $16 - x^2 = 4^2 - x^2 = (4 - x)(4 + x)$. Знаменатель второй дроби $x - 4$ связан со знаменателем первой. Вынесем минус за скобки: $x - 4 = -(4 - x)$. Теперь преобразуем вторую дробь: $\frac{5}{x - 4} = \frac{5}{-(4 - x)} = -\frac{5}{4 - x}$. Исходное выражение принимает вид: $\frac{10x}{(4 - x)(4 + x)} - \frac{5}{4 - x}$. Общий знаменатель для этих дробей — $(4 - x)(4 + x)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(4 + x)$: $\frac{10x}{(4 - x)(4 + x)} - \frac{5(4 + x)}{(4 - x)(4 + x)}$. Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: $\frac{10x - 5(4 + x)}{(4 - x)(4 + x)} = \frac{10x - 20 - 5x}{(4 - x)(4 + x)} = \frac{5x - 20}{(4 - x)(4 + x)}$. Вынесем в числителе общий множитель 5 за скобки: $\frac{5(x - 4)}{(4 - x)(4 + x)}$. Заменим в числителе $x - 4$ на $-(4 - x)$ и сократим дробь: $\frac{-5(4 - x)}{(4 - x)(4 + x)} = \frac{-5}{4 + x} = -\frac{5}{x + 4}$.
Ответ: $-\frac{5}{x + 4}$

б) Рассмотрим выражение $\frac{6x^2 - 15x + 25}{4x^2 - 25} + \frac{x}{5 - 2x}$. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x - 5)(2x + 5)$. Преобразуем знаменатель второй дроби: $5 - 2x = -(2x - 5)$. Тогда вторая дробь равна: $\frac{x}{5 - 2x} = \frac{x}{-(2x - 5)} = -\frac{x}{2x - 5}$. Выражение принимает вид: $\frac{6x^2 - 15x + 25}{(2x - 5)(2x + 5)} - \frac{x}{2x - 5}$. Приведем дроби к общему знаменателю $(2x - 5)(2x + 5)$: $\frac{6x^2 - 15x + 25}{(2x - 5)(2x + 5)} - \frac{x(2x + 5)}{(2x - 5)(2x + 5)}$. Объединим числители: $\frac{6x^2 - 15x + 25 - x(2x + 5)}{(2x - 5)(2x + 5)} = \frac{6x^2 - 15x + 25 - 2x^2 - 5x}{(2x - 5)(2x + 5)}$. Приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{4x^2 - 20x + 25}{(2x - 5)(2x + 5)}$. Числитель является полным квадратом $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $4x^2 - 20x + 25 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 5 + 5^2 = (2x - 5)^2$. Подставим это в дробь и сократим: $\frac{(2x - 5)^2}{(2x - 5)(2x + 5)} = \frac{2x - 5}{2x + 5}$.
Ответ: $\frac{2x - 5}{2x + 5}$

в) Рассмотрим выражение $\frac{12n}{n^2 - 49} + \frac{6}{7 - n}$. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $n^2 - 49 = (n - 7)(n + 7)$. Преобразуем знаменатель второй дроби: $7 - n = -(n - 7)$. Тогда вторая дробь равна: $\frac{6}{7 - n} = -\frac{6}{n - 7}$. Выражение примет вид: $\frac{12n}{(n - 7)(n + 7)} - \frac{6}{n - 7}$. Общий знаменатель — $(n - 7)(n + 7)$. Приведем дроби к нему: $\frac{12n}{(n - 7)(n + 7)} - \frac{6(n + 7)}{(n - 7)(n + 7)}$. Выполним вычитание: $\frac{12n - 6(n + 7)}{(n - 7)(n + 7)} = \frac{12n - 6n - 42}{(n - 7)(n + 7)} = \frac{6n - 42}{(n - 7)(n + 7)}$. Вынесем в числителе общий множитель 6 за скобки: $\frac{6(n - 7)}{(n - 7)(n + 7)}$. Сократим дробь на $(n - 7)$: $\frac{6}{n + 7}$.
Ответ: $\frac{6}{n + 7}$

г) Рассмотрим выражение $\frac{2z}{4 - 3z} + \frac{15z^2 + 32z + 16}{9z^2 - 16}$. Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $9z^2 - 16 = (3z - 4)(3z + 4)$. Преобразуем знаменатель первой дроби: $4 - 3z = -(3z - 4)$. Тогда первая дробь равна: $\frac{2z}{4 - 3z} = -\frac{2z}{3z - 4}$. Выражение примет вид: $-\frac{2z}{3z - 4} + \frac{15z^2 + 32z + 16}{(3z - 4)(3z + 4)}$. Приведем дроби к общему знаменателю $(3z - 4)(3z + 4)$: $\frac{-2z(3z + 4)}{(3z - 4)(3z + 4)} + \frac{15z^2 + 32z + 16}{(3z - 4)(3z + 4)}$. Объединим числители: $\frac{-2z(3z + 4) + 15z^2 + 32z + 16}{(3z - 4)(3z + 4)} = \frac{-6z^2 - 8z + 15z^2 + 32z + 16}{(3z - 4)(3z + 4)}$. Приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{9z^2 + 24z + 16}{(3z - 4)(3z + 4)}$. Числитель является полным квадратом $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $9z^2 + 24z + 16 = (3z)^2 + 2 \cdot (3z) \cdot 4 + 4^2 = (3z + 4)^2$. Подставим это в дробь и сократим: $\frac{(3z + 4)^2}{(3z - 4)(3z + 4)} = \frac{3z + 4}{3z - 4}$.
Ответ: $\frac{3z + 4}{3z - 4}$

4.40 a) $\frac{1 - x}{x^2 - xy} - \frac{y - 1}{y^2 - xy}$;

б) $\frac{p - q}{2p^2 + 2pq} + \frac{2q}{p^2 - q^2}$;

в) $\frac{3 + c}{c^2 - cd} + \frac{3 + d}{d^2 - cd}$;

г) $\frac{3m + n}{9m^2 - 3mn} - \frac{4n}{9m^2 - n^2}$.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{1-x}{x^2 - xy} - \frac{y-1}{y^2 - xy}$, сначала упростим знаменатели, вынеся общие множители за скобки.
Знаменатель первой дроби: $x^2 - xy = x(x - y)$.
Знаменатель второй дроби: $y^2 - xy = y(y - x)$.
Заметим, что $(y - x) = -(x - y)$. Поэтому знаменатель второй дроби можно переписать как $-y(x - y)$.
Выражение принимает вид:
$\frac{1-x}{x(x - y)} - \frac{y-1}{-y(x - y)} = \frac{1-x}{x(x - y)} + \frac{y-1}{y(x - y)}$
Теперь найдем общий знаменатель. Он равен $xy(x - y)$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $y$, для второй — $x$.
$\frac{y(1-x)}{xy(x-y)} + \frac{x(y-1)}{xy(x-y)} = \frac{y(1-x) + x(y-1)}{xy(x-y)}$
Раскроем скобки в числителе и упростим его:
$y - xy + xy - x = y - x$
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{y-x}{xy(x-y)}$
Вынесем в числителе $-1$ за скобки: $y - x = -(x - y)$.
$\frac{-(x - y)}{xy(x - y)}$
Сократим общий множитель $(x-y)$:
$-\frac{1}{xy}$
Ответ: $-\frac{1}{xy}$

б) Чтобы выполнить сложение дробей $\frac{p-q}{2p^2 + 2pq} + \frac{2q}{p^2 - q^2}$, разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $2p^2 + 2pq = 2p(p + q)$.
Знаменатель второй дроби (разность квадратов): $p^2 - q^2 = (p - q)(p + q)$.
Выражение принимает вид:
$\frac{p-q}{2p(p + q)} + \frac{2q}{(p - q)(p + q)}$
Общий знаменатель равен $2p(p - q)(p + q)$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(p-q)$, для второй — $2p$.
$\frac{(p-q)(p-q)}{2p(p+q)(p-q)} + \frac{2q \cdot 2p}{2p(p+q)(p-q)} = \frac{(p-q)^2 + 4pq}{2p(p-q)(p+q)}$
Раскроем скобки в числителе и упростим его, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$(p-q)^2 + 4pq = p^2 - 2pq + q^2 + 4pq = p^2 + 2pq + q^2$
Свернем полученное выражение в числителе по формуле квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$p^2 + 2pq + q^2 = (p+q)^2$
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(p+q)^2}{2p(p-q)(p+q)}$
Сократим общий множитель $(p+q)$:
$\frac{p+q}{2p(p-q)}$
Ответ: $\frac{p+q}{2p(p-q)}$

в) Чтобы выполнить сложение дробей $\frac{3+c}{c^2 - cd} + \frac{3+d}{d^2 - cd}$, разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $c^2 - cd = c(c - d)$.
Знаменатель второй дроби: $d^2 - cd = d(d - c) = -d(c - d)$.
Выражение принимает вид:
$\frac{3+c}{c(c - d)} + \frac{3+d}{-d(c - d)} = \frac{3+c}{c(c - d)} - \frac{3+d}{d(c - d)}$
Общий знаменатель равен $cd(c - d)$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $d$, для второй — $c$.
$\frac{d(3+c)}{cd(c-d)} - \frac{c(3+d)}{cd(c-d)} = \frac{d(3+c) - c(3+d)}{cd(c-d)}$
Раскроем скобки в числителе и упростим его:
$3d + cd - (3c + cd) = 3d + cd - 3c - cd = 3d - 3c = 3(d - c)$
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{3(d-c)}{cd(c-d)}$
Так как $d-c = -(c-d)$, мы можем сократить дробь:
$\frac{-3(c-d)}{cd(c-d)} = -\frac{3}{cd}$
Ответ: $-\frac{3}{cd}$

г) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{3m+n}{9m^2 - 3mn} - \frac{4n}{9m^2 - n^2}$, разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $9m^2 - 3mn = 3m(3m - n)$.
Знаменатель второй дроби (разность квадратов): $9m^2 - n^2 = (3m)^2 - n^2 = (3m - n)(3m + n)$.
Выражение принимает вид:
$\frac{3m+n}{3m(3m - n)} - \frac{4n}{(3m - n)(3m + n)}$
Общий знаменатель равен $3m(3m - n)(3m + n)$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(3m+n)$, для второй — $3m$.
$\frac{(3m+n)(3m+n)}{3m(3m-n)(3m+n)} - \frac{4n \cdot 3m}{3m(3m-n)(3m+n)} = \frac{(3m+n)^2 - 12mn}{3m(3m-n)(3m+n)}$
Раскроем скобки в числителе и упростим его, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$(3m+n)^2 - 12mn = (9m^2 + 6mn + n^2) - 12mn = 9m^2 - 6mn + n^2$
Свернем полученное выражение в числителе по формуле квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$9m^2 - 6mn + n^2 = (3m - n)^2$
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(3m-n)^2}{3m(3m-n)(3m+n)}$
Сократим общий множитель $(3m-n)$:
$\frac{3m-n}{3m(3m+n)}$
Ответ: $\frac{3m-n}{3m(3m+n)}$

4.41 a) $\frac{y}{(x - y)^2} - \frac{x + y}{y^2 - xy};$

б) $\frac{9p + 63}{(-p - 9)^2} - \frac{8}{p + 9};$

B) $\frac{a + b}{a^2 - ab} - \frac{a}{(b - a)^2};$

г) $\frac{3z + 7}{(-z - 7)^2} - \frac{2}{z + 7}.$

а) $ \frac{y}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{y^2-xy} $
Преобразуем знаменатель второй дроби, вынеся за скобки общего множителя $ -y $: $ y^2-xy = -y(x-y) $.
Выражение принимает вид: $ \frac{y}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{-y(x-y)} $.
Знак "минус" в знаменателе второй дроби меняет знак перед дробью на противоположный:
$ \frac{y}{(x-y)^2} + \frac{x+y}{y(x-y)} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ y(x-y)^2 $. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на $ y $, а второй дроби на $ (x-y) $.
$ \frac{y \cdot y}{y(x-y)^2} + \frac{(x+y)(x-y)}{y(x-y)^2} = \frac{y^2 + (x^2-y^2)}{y(x-y)^2} $
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{y^2 + x^2 - y^2}{y(x-y)^2} = \frac{x^2}{y(x-y)^2} $
Ответ: $ \frac{x^2}{y(x-y)^2} $

б) $ \frac{9p+63}{(-p-9)^2} - \frac{8}{p+9} $
Преобразуем знаменатель первой дроби. Так как квадрат любого выражения (и противоположного ему) равен, то $ (-p-9)^2 = (-(p+9))^2 = (p+9)^2 $.
Выражение принимает вид: $ \frac{9p+63}{(p+9)^2} - \frac{8}{p+9} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ (p+9)^2 $. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на $ (p+9) $.
$ \frac{9p+63}{(p+9)^2} - \frac{8(p+9)}{(p+9)^2} = \frac{9p+63 - 8(p+9)}{(p+9)^2} $
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{9p+63-8p-72}{(p+9)^2} = \frac{(9p-8p) + (63-72)}{(p+9)^2} = \frac{p-9}{(p+9)^2} $
Ответ: $ \frac{p-9}{(p+9)^2} $

в) $ \frac{a+b}{a^2-ab} - \frac{a}{(b-a)^2} $
Преобразуем знаменатели. В первом знаменателе вынесем $ a $ за скобки: $ a^2-ab = a(a-b) $.
Во втором знаменателе $ (b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2 $.
Выражение принимает вид: $ \frac{a+b}{a(a-b)} - \frac{a}{(a-b)^2} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ a(a-b)^2 $. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (a-b) $, а второй дроби на $ a $.
$ \frac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)^2} - \frac{a \cdot a}{a(a-b)^2} = \frac{(a^2-b^2) - a^2}{a(a-b)^2} $
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{a^2-b^2-a^2}{a(a-b)^2} = \frac{-b^2}{a(a-b)^2} $
Ответ: $ -\frac{b^2}{a(a-b)^2} $

г) $ \frac{3z+7}{(-z-7)^2} - \frac{2}{z+7} $
Преобразуем знаменатель первой дроби: $ (-z-7)^2 = (-(z+7))^2 = (z+7)^2 $.
Выражение принимает вид: $ \frac{3z+7}{(z+7)^2} - \frac{2}{z+7} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ (z+7)^2 $. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на $ (z+7) $.
$ \frac{3z+7}{(z+7)^2} - \frac{2(z+7)}{(z+7)^2} = \frac{3z+7 - 2(z+7)}{(z+7)^2} $
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{3z+7-2z-14}{(z+7)^2} = \frac{(3z-2z) + (7-14)}{(z+7)^2} = \frac{z-7}{(z+7)^2} $
Ответ: $ \frac{z-7}{(z+7)^2} $