Номер 4.39, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.39, страница 34.

Условие.

4.39 а) $\frac{10x}{16 - x^2} + \frac{5}{x - 4}$;

б) $\frac{6x^2 - 15x + 25}{4x^2 - 25} + \frac{x}{5 - 2x}$;

в) $\frac{12n}{n^2 - 49} + \frac{6}{7 - n}$;

г) $\frac{2z}{4 - 3z} + \frac{15z^2 + 32z + 16}{9z^2 - 16}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

а) Для того чтобы сложить дроби $\frac{10x}{16 - x^2} + \frac{5}{x - 4}$, приведем их к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $16 - x^2 = 4^2 - x^2 = (4 - x)(4 + x)$. Знаменатель второй дроби $x - 4$ связан со знаменателем первой. Вынесем минус за скобки: $x - 4 = -(4 - x)$. Теперь преобразуем вторую дробь: $\frac{5}{x - 4} = \frac{5}{-(4 - x)} = -\frac{5}{4 - x}$. Исходное выражение принимает вид: $\frac{10x}{(4 - x)(4 + x)} - \frac{5}{4 - x}$. Общий знаменатель для этих дробей — $(4 - x)(4 + x)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(4 + x)$: $\frac{10x}{(4 - x)(4 + x)} - \frac{5(4 + x)}{(4 - x)(4 + x)}$. Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: $\frac{10x - 5(4 + x)}{(4 - x)(4 + x)} = \frac{10x - 20 - 5x}{(4 - x)(4 + x)} = \frac{5x - 20}{(4 - x)(4 + x)}$. Вынесем в числителе общий множитель 5 за скобки: $\frac{5(x - 4)}{(4 - x)(4 + x)}$. Заменим в числителе $x - 4$ на $-(4 - x)$ и сократим дробь: $\frac{-5(4 - x)}{(4 - x)(4 + x)} = \frac{-5}{4 + x} = -\frac{5}{x + 4}$.
Ответ: $-\frac{5}{x + 4}$

б) Рассмотрим выражение $\frac{6x^2 - 15x + 25}{4x^2 - 25} + \frac{x}{5 - 2x}$. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x - 5)(2x + 5)$. Преобразуем знаменатель второй дроби: $5 - 2x = -(2x - 5)$. Тогда вторая дробь равна: $\frac{x}{5 - 2x} = \frac{x}{-(2x - 5)} = -\frac{x}{2x - 5}$. Выражение принимает вид: $\frac{6x^2 - 15x + 25}{(2x - 5)(2x + 5)} - \frac{x}{2x - 5}$. Приведем дроби к общему знаменателю $(2x - 5)(2x + 5)$: $\frac{6x^2 - 15x + 25}{(2x - 5)(2x + 5)} - \frac{x(2x + 5)}{(2x - 5)(2x + 5)}$. Объединим числители: $\frac{6x^2 - 15x + 25 - x(2x + 5)}{(2x - 5)(2x + 5)} = \frac{6x^2 - 15x + 25 - 2x^2 - 5x}{(2x - 5)(2x + 5)}$. Приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{4x^2 - 20x + 25}{(2x - 5)(2x + 5)}$. Числитель является полным квадратом $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $4x^2 - 20x + 25 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 5 + 5^2 = (2x - 5)^2$. Подставим это в дробь и сократим: $\frac{(2x - 5)^2}{(2x - 5)(2x + 5)} = \frac{2x - 5}{2x + 5}$.
Ответ: $\frac{2x - 5}{2x + 5}$

в) Рассмотрим выражение $\frac{12n}{n^2 - 49} + \frac{6}{7 - n}$. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $n^2 - 49 = (n - 7)(n + 7)$. Преобразуем знаменатель второй дроби: $7 - n = -(n - 7)$. Тогда вторая дробь равна: $\frac{6}{7 - n} = -\frac{6}{n - 7}$. Выражение примет вид: $\frac{12n}{(n - 7)(n + 7)} - \frac{6}{n - 7}$. Общий знаменатель — $(n - 7)(n + 7)$. Приведем дроби к нему: $\frac{12n}{(n - 7)(n + 7)} - \frac{6(n + 7)}{(n - 7)(n + 7)}$. Выполним вычитание: $\frac{12n - 6(n + 7)}{(n - 7)(n + 7)} = \frac{12n - 6n - 42}{(n - 7)(n + 7)} = \frac{6n - 42}{(n - 7)(n + 7)}$. Вынесем в числителе общий множитель 6 за скобки: $\frac{6(n - 7)}{(n - 7)(n + 7)}$. Сократим дробь на $(n - 7)$: $\frac{6}{n + 7}$.
Ответ: $\frac{6}{n + 7}$

г) Рассмотрим выражение $\frac{2z}{4 - 3z} + \frac{15z^2 + 32z + 16}{9z^2 - 16}$. Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $9z^2 - 16 = (3z - 4)(3z + 4)$. Преобразуем знаменатель первой дроби: $4 - 3z = -(3z - 4)$. Тогда первая дробь равна: $\frac{2z}{4 - 3z} = -\frac{2z}{3z - 4}$. Выражение примет вид: $-\frac{2z}{3z - 4} + \frac{15z^2 + 32z + 16}{(3z - 4)(3z + 4)}$. Приведем дроби к общему знаменателю $(3z - 4)(3z + 4)$: $\frac{-2z(3z + 4)}{(3z - 4)(3z + 4)} + \frac{15z^2 + 32z + 16}{(3z - 4)(3z + 4)}$. Объединим числители: $\frac{-2z(3z + 4) + 15z^2 + 32z + 16}{(3z - 4)(3z + 4)} = \frac{-6z^2 - 8z + 15z^2 + 32z + 16}{(3z - 4)(3z + 4)}$. Приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{9z^2 + 24z + 16}{(3z - 4)(3z + 4)}$. Числитель является полным квадратом $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $9z^2 + 24z + 16 = (3z)^2 + 2 \cdot (3z) \cdot 4 + 4^2 = (3z + 4)^2$. Подставим это в дробь и сократим: $\frac{(3z + 4)^2}{(3z - 4)(3z + 4)} = \frac{3z + 4}{3z - 4}$.
Ответ: $\frac{3z + 4}{3z - 4}$