Номер 4.32, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями - номер 4.32, страница 33.

Условие.

4.32 a) $ \frac{-6x - 3}{(2x - 3)(2x + 3)} - \frac{2}{3 - 2x}; $

б) $ \frac{6a + 1}{(2a + 1)(2a - 1)} - \frac{2a}{-2a - 1}; $

в) $ \frac{15x - 15y}{(5x - 3y)(5x + 3y)} + \frac{4}{-3y - 5x}; $

г) $ \frac{4 - 18x}{(3x - 2)(3x + 2)} - \frac{3x}{2 - 3x}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $ \frac{-6x - 3}{(2x - 3)(2x + 3)} - \frac{2}{3 - 2x} $
1. Преобразуем знаменатель второй дроби: $ 3 - 2x = -(2x - 3) $. Это позволяет изменить знак перед дробью и в знаменателе:
$ \frac{-6x - 3}{(2x - 3)(2x + 3)} - \frac{2}{-(2x - 3)} = \frac{-6x - 3}{(2x - 3)(2x + 3)} + \frac{2}{2x - 3} $
2. Приведем дроби к общему знаменателю $ (2x - 3)(2x + 3) $. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $ (2x + 3) $:
$ \frac{-6x - 3}{(2x - 3)(2x + 3)} + \frac{2(2x + 3)}{(2x - 3)(2x + 3)} $
3. Выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:
$ \frac{-6x - 3 + 2(2x + 3)}{(2x - 3)(2x + 3)} = \frac{-6x - 3 + 4x + 6}{(2x - 3)(2x + 3)} $
4. Упростим числитель:
$ \frac{-2x + 3}{(2x - 3)(2x + 3)} $
5. Вынесем $ -1 $ за скобки в числителе и сократим дробь:
$ \frac{-(2x - 3)}{(2x - 3)(2x + 3)} = \frac{-1}{2x + 3} = -\frac{1}{2x + 3} $
Ответ: $ -\frac{1}{2x + 3} $

б) $ \frac{6a + 1}{(2a + 1)(2a - 1)} - \frac{2a}{-2a - 1} $
1. Преобразуем знаменатель второй дроби: $ -2a - 1 = -(2a + 1) $. Изменим знак перед дробью и в знаменателе:
$ \frac{6a + 1}{(2a + 1)(2a - 1)} - \frac{2a}{-(2a + 1)} = \frac{6a + 1}{(2a + 1)(2a - 1)} + \frac{2a}{2a + 1} $
2. Общий знаменатель $ (2a + 1)(2a - 1) $. Домножим вторую дробь на $ (2a - 1) $:
$ \frac{6a + 1}{(2a + 1)(2a - 1)} + \frac{2a(2a - 1)}{(2a + 1)(2a - 1)} $
3. Сложим дроби:
$ \frac{6a + 1 + 2a(2a - 1)}{(2a + 1)(2a - 1)} = \frac{6a + 1 + 4a^2 - 2a}{(2a + 1)(2a - 1)} $
4. Упростим числитель:
$ \frac{4a^2 + 4a + 1}{(2a + 1)(2a - 1)} $
5. Числитель является полным квадратом: $ 4a^2 + 4a + 1 = (2a + 1)^2 $. Сократим дробь:
$ \frac{(2a + 1)^2}{(2a + 1)(2a - 1)} = \frac{2a + 1}{2a - 1} $
Ответ: $ \frac{2a + 1}{2a - 1} $

в) $ \frac{15x - 15y}{(5x - 3y)(5x + 3y)} + \frac{4}{-3y - 5x} $
1. Преобразуем знаменатель второй дроби: $ -3y - 5x = -(5x + 3y) $. Изменим знак перед дробью:
$ \frac{15x - 15y}{(5x - 3y)(5x + 3y)} - \frac{4}{5x + 3y} $
2. Приведем дроби к общему знаменателю $ (5x - 3y)(5x + 3y) $. Домножим вторую дробь на $ (5x - 3y) $:
$ \frac{15x - 15y}{(5x - 3y)(5x + 3y)} - \frac{4(5x - 3y)}{(5x - 3y)(5x + 3y)} $
3. Выполним вычитание дробей:
$ \frac{15x - 15y - (4(5x - 3y))}{(5x - 3y)(5x + 3y)} = \frac{15x - 15y - 20x + 12y}{(5x - 3y)(5x + 3y)} $
4. Упростим числитель:
$ \frac{-5x - 3y}{(5x - 3y)(5x + 3y)} $
5. Вынесем $ -1 $ за скобки в числителе и сократим дробь:
$ \frac{-(5x + 3y)}{(5x - 3y)(5x + 3y)} = \frac{-1}{5x - 3y} = -\frac{1}{5x - 3y} $
Ответ: $ -\frac{1}{5x - 3y} $

г) $ \frac{4 - 18x}{(3x - 2)(3x + 2)} - \frac{3x}{2 - 3x} $
1. Преобразуем знаменатель второй дроби: $ 2 - 3x = -(3x - 2) $. Изменим знак перед дробью и в знаменателе:
$ \frac{4 - 18x}{(3x - 2)(3x + 2)} - \frac{3x}{-(3x - 2)} = \frac{4 - 18x}{(3x - 2)(3x + 2)} + \frac{3x}{3x - 2} $
2. Общий знаменатель $ (3x - 2)(3x + 2) $. Домножим вторую дробь на $ (3x + 2) $:
$ \frac{4 - 18x}{(3x - 2)(3x + 2)} + \frac{3x(3x + 2)}{(3x - 2)(3x + 2)} $
3. Сложим дроби:
$ \frac{4 - 18x + 3x(3x + 2)}{(3x - 2)(3x + 2)} = \frac{4 - 18x + 9x^2 + 6x}{(3x - 2)(3x + 2)} $
4. Упростим числитель:
$ \frac{9x^2 - 12x + 4}{(3x - 2)(3x + 2)} $
5. Числитель является полным квадратом: $ 9x^2 - 12x + 4 = (3x - 2)^2 $. Сократим дробь:
$ \frac{(3x - 2)^2}{(3x - 2)(3x + 2)} = \frac{3x - 2}{3x + 2} $
Ответ: $ \frac{3x - 2}{3x + 2} $