Номер 4.26, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями - номер 4.26, страница 33.

Условие.

4.26 а) $\frac{2}{a(a+b)} + \frac{2}{b(a+b)};$

б) $\frac{y+c}{c(c+a)} + \frac{y-a}{a(c+a)};$

в) $\frac{3}{x(x-y)} - \frac{3}{y(x-y)};$

г) $\frac{y-x}{x(x-a)} - \frac{y-a}{a(x-a)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы сложить дроби $\frac{2}{a(a + b)} + \frac{2}{b(a + b)}$, нужно привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем для выражений $a(a+b)$ и $b(a+b)$ является $ab(a+b)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, а для второй — $a$. Выполним сложение:
$\frac{2}{a(a + b)} + \frac{2}{b(a + b)} = \frac{2 \cdot b}{ab(a + b)} + \frac{2 \cdot a}{ab(a + b)} = \frac{2b + 2a}{ab(a + b)}$.
В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки: $\frac{2(b + a)}{ab(a + b)}$.
Так как $b+a = a+b$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(a+b)$:
$\frac{2(a+b)}{ab(a+b)} = \frac{2}{ab}$.
Ответ: $\frac{2}{ab}$.

б) Чтобы сложить дроби $\frac{y + c}{c(c + a)} + \frac{y - a}{a(c + a)}$, приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем для выражений $c(c+a)$ и $a(c+a)$ является $ac(c+a)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $c$. Выполним сложение:
$\frac{a(y + c)}{ac(c + a)} + \frac{c(y - a)}{ac(c + a)} = \frac{a(y + c) + c(y - a)}{ac(c + a)}$.
Раскроем скобки в числителе: $\frac{ay + ac + cy - ca}{ac(c + a)}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе ($ac$ и $-ca$ взаимно уничтожаются): $\frac{ay + cy}{ac(c + a)}$.
Вынесем в числителе общий множитель $y$ за скобки: $\frac{y(a + c)}{ac(c + a)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a+c)$:
$\frac{y(a+c)}{ac(c+a)} = \frac{y}{ac}$.
Ответ: $\frac{y}{ac}$.

в) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{3}{x(x - y)} - \frac{3}{y(x - y)}$, приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем для выражений $x(x-y)$ и $y(x-y)$ является $xy(x-y)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $y$, для второй — $x$. Выполним вычитание:
$\frac{3 \cdot y}{xy(x - y)} - \frac{3 \cdot x}{xy(x - y)} = \frac{3y - 3x}{xy(x - y)}$.
В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки: $\frac{3(y - x)}{xy(x - y)}$.
Заметим, что $y-x = -(x-y)$. Подставим это в числитель: $\frac{-3(x - y)}{xy(x - y)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(x-y)$:
$\frac{-3(x-y)}{xy(x-y)} = -\frac{3}{xy}$.
Ответ: $-\frac{3}{xy}$.

г) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{y - x}{x(x - a)} - \frac{y - a}{a(x - a)}$, приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем для выражений $x(x-a)$ и $a(x-a)$ является $ax(x-a)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $x$. Выполним вычитание:
$\frac{a(y - x)}{ax(x - a)} - \frac{x(y - a)}{ax(x - a)} = \frac{a(y - x) - x(y - a)}{ax(x - a)}$.
Раскроем скобки в числителе: $\frac{ay - ax - xy + xa}{ax(x - a)}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе ($-ax$ и $+xa$ взаимно уничтожаются): $\frac{ay - xy}{ax(x - a)}$.
Вынесем в числителе общий множитель $y$ за скобки: $\frac{y(a - x)}{ax(x - a)}$.
Заметим, что $a-x = -(x-a)$. Подставим это в числитель: $\frac{-y(x - a)}{ax(x - a)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(x-a)$:
$\frac{-y(x-a)}{ax(x-a)} = -\frac{y}{ax}$.
Ответ: $-\frac{y}{ax}$.