Номер 4.21, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.21, страница 32.

Условие.

Упростите выражение:

4.21 а) $\frac{1}{z+2} - \frac{2}{3z}$

б) $\frac{2a+b}{6a-b} - \frac{b}{2a}$

в) $\frac{1}{2t-1} - \frac{2}{5t}$

г) $\frac{7n+2k}{9n-2k} + \frac{n}{2k}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{z+2} - \frac{2}{3z}$, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $z+2$ и $3z$ равен их произведению $3z(z+2)$.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $3z$, а второй дроби — на $(z+2)$:

$\frac{1}{z+2} - \frac{2}{3z} = \frac{1 \cdot 3z}{(z+2) \cdot 3z} - \frac{2 \cdot (z+2)}{3z \cdot (z+2)} = \frac{3z - 2(z+2)}{3z(z+2)}$

Раскроем скобки в числителе и выполним вычитание:

$\frac{3z - 2z - 4}{3z(z+2)} = \frac{z-4}{3z(z+2)}$

Ответ: $\frac{z-4}{3z(z+2)}$

б) Упростим выражение $\frac{2a+b}{6a-b} - \frac{b}{2a}$. Общий знаменатель для дробей равен $2a(6a-b)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Первую дробь домножим на $2a$, вторую — на $(6a-b)$:

$\frac{(2a+b) \cdot 2a}{(6a-b) \cdot 2a} - \frac{b \cdot (6a-b)}{2a \cdot (6a-b)} = \frac{2a(2a+b) - b(6a-b)}{2a(6a-b)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{4a^2 + 2ab - (6ab - b^2)}{2a(6a-b)} = \frac{4a^2 + 2ab - 6ab + b^2}{2a(6a-b)} = \frac{4a^2 - 4ab + b^2}{2a(6a-b)}$

Числитель $4a^2 - 4ab + b^2$ является полным квадратом разности $(2a-b)^2$.

$\frac{(2a-b)^2}{2a(6a-b)}$

Ответ: $\frac{(2a-b)^2}{2a(6a-b)}$

в) Упростим выражение $\frac{1}{2t-1} - \frac{2}{5t}$. Общий знаменатель для дробей равен $5t(2t-1)$.

Умножим первую дробь на $5t$, а вторую — на $(2t-1)$:

$\frac{1 \cdot 5t}{(2t-1) \cdot 5t} - \frac{2 \cdot (2t-1)}{5t \cdot (2t-1)} = \frac{5t - 2(2t-1)}{5t(2t-1)}$

Упростим числитель:

$\frac{5t - 4t + 2}{5t(2t-1)} = \frac{t+2}{5t(2t-1)}$

Ответ: $\frac{t+2}{5t(2t-1)}$

г) Упростим выражение $\frac{7n+2k}{9n-2k} + \frac{n}{2k}$. Общий знаменатель для дробей равен $2k(9n-2k)$.

Приведем дроби к общему знаменателю, домножив первую дробь на $2k$, а вторую — на $(9n-2k)$:

$\frac{(7n+2k) \cdot 2k}{(9n-2k) \cdot 2k} + \frac{n \cdot (9n-2k)}{2k \cdot (9n-2k)} = \frac{2k(7n+2k) + n(9n-2k)}{2k(9n-2k)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{14nk + 4k^2 + 9n^2 - 2nk}{2k(9n-2k)} = \frac{9n^2 + 12nk + 4k^2}{2k(9n-2k)}$

Числитель $9n^2 + 12nk + 4k^2$ является полным квадратом суммы $(3n+2k)^2$.

$\frac{(3n+2k)^2}{2k(9n-2k)}$

Ответ: $\frac{(3n+2k)^2}{2k(9n-2k)}$