Номер 4.24, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.24, страница 32.

Условие.

Упростите выражение:

4.24 а) $\frac{b}{a} + \frac{b}{a(a-1)}$;

б) $\frac{b+a}{2a} + \frac{b^2}{a(a-b)}$;

в) $\frac{3d}{c(c+3)} - \frac{d}{c}$;

г) $\frac{n^2}{m(m+n)} - \frac{m-n}{3m}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{b}{a} + \frac{b}{a(a-1)}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{b}{a}$ и $\frac{b}{a(a-1)}$ это $a(a-1)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $(a-1)$. Вторая дробь уже имеет общий знаменатель.

$\frac{b}{a} + \frac{b}{a(a-1)} = \frac{b(a-1)}{a(a-1)} + \frac{b}{a(a-1)} = \frac{b(a-1) + b}{a(a-1)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{ab - b + b}{a(a-1)} = \frac{ab}{a(a-1)}$

Сократим дробь на общий множитель $a$:

$\frac{\cancel{a}b}{\cancel{a}(a-1)} = \frac{b}{a-1}$

Ответ: $\frac{b}{a-1}$

б) Чтобы упростить выражение $\frac{b+a}{2a} + \frac{b^2}{a(a-b)}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для $2a$ и $a(a-b)$ это $2a(a-b)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $(a-b)$. Дополнительный множитель для второй дроби: $2$.

$\frac{(b+a)(a-b)}{2a(a-b)} + \frac{b^2 \cdot 2}{2a(a-b)} = \frac{(a+b)(a-b) + 2b^2}{2a(a-b)}$

В числителе используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$\frac{a^2 - b^2 + 2b^2}{2a(a-b)} = \frac{a^2 + b^2}{2a(a-b)}$

Дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{2a(a-b)}$

в) Чтобы упростить выражение $\frac{3d}{c(c+3)} - \frac{d}{c}$, приведем дроби к общему знаменателю $c(c+3)$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $(c+3)$.

$\frac{3d}{c(c+3)} - \frac{d(c+3)}{c(c+3)} = \frac{3d - d(c+3)}{c(c+3)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{3d - dc - 3d}{c(c+3)} = \frac{-dc}{c(c+3)}$

Сократим дробь на общий множитель $c$:

$\frac{-d\cancel{c}}{\cancel{c}(c+3)} = \frac{-d}{c+3}$

Ответ: $-\frac{d}{c+3}$

г) Чтобы упростить выражение $\frac{n^2}{m(m+n)} - \frac{m-n}{3m}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для $m(m+n)$ и $3m$ это $3m(m+n)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $3$. Дополнительный множитель для второй дроби: $(m+n)$.

$\frac{n^2 \cdot 3}{3m(m+n)} - \frac{(m-n)(m+n)}{3m(m+n)} = \frac{3n^2 - (m-n)(m+n)}{3m(m+n)}$

В числителе используем формулу разности квадратов $(m-n)(m+n) = m^2 - n^2$:

$\frac{3n^2 - (m^2 - n^2)}{3m(m+n)} = \frac{3n^2 - m^2 + n^2}{3m(m+n)} = \frac{4n^2 - m^2}{3m(m+n)}$

Числитель можно разложить как разность квадратов $(2n-m)(2n+m)$, но это не приведет к дальнейшему сокращению дроби.

Ответ: $\frac{4n^2 - m^2}{3m(m+n)}$