Номер 4.23, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями - номер 4.23, страница 32.

Условие.

4.23 a) $x + y - \frac{x^2 + y^2}{x - y}$;

б) $x - y - \frac{x^2 + y^2}{x - y}$;

в) $\frac{a^2 + b^2}{a + b} + a - b$;

г) $\frac{a^2 + b^2}{a + b} - a - b$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы упростить выражение $x + y - \frac{x^2 + y^2}{x - y}$, приведем все члены к общему знаменателю $x - y$.

Представим $x + y$ в виде дроби со знаменателем $x - y$: $x + y = \frac{(x + y)(x - y)}{x - y}$

Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ к числителю: $\frac{(x + y)(x - y)}{x - y} = \frac{x^2 - y^2}{x - y}$

Теперь вернемся к исходному выражению и выполним вычитание дробей: $\frac{x^2 - y^2}{x - y} - \frac{x^2 + y^2}{x - y} = \frac{(x^2 - y^2) - (x^2 + y^2)}{x - y}$

Раскроем скобки в числителе и упростим: $\frac{x^2 - y^2 - x^2 - y^2}{x - y} = \frac{-2y^2}{x - y}$

Ответ: $\frac{-2y^2}{x - y}$

б)

Чтобы упростить выражение $x - y - \frac{x^2 + y^2}{x - y}$, приведем все члены к общему знаменателю $x - y$.

Представим $x - y$ в виде дроби со знаменателем $x - y$: $x - y = \frac{(x - y)(x - y)}{x - y} = \frac{(x - y)^2}{x - y}$

Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ к числителю: $\frac{(x - y)^2}{x - y} = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x - y}$

Теперь вернемся к исходному выражению и выполним вычитание дробей: $\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x - y} - \frac{x^2 + y^2}{x - y} = \frac{(x^2 - 2xy + y^2) - (x^2 + y^2)}{x - y}$

Раскроем скобки в числителе и упростим: $\frac{x^2 - 2xy + y^2 - x^2 - y^2}{x - y} = \frac{-2xy}{x - y}$

Ответ: $\frac{-2xy}{x - y}$

в)

Чтобы упростить выражение $\frac{a^2 + b^2}{a + b} + a - b$, приведем все члены к общему знаменателю $a + b$.

Представим $a - b$ в виде дроби со знаменателем $a + b$: $a - b = \frac{(a - b)(a + b)}{a + b}$

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ к числителю: $\frac{(a - b)(a + b)}{a + b} = \frac{a^2 - b^2}{a + b}$

Теперь вернемся к исходному выражению и выполним сложение дробей: $\frac{a^2 + b^2}{a + b} + \frac{a^2 - b^2}{a + b} = \frac{(a^2 + b^2) + (a^2 - b^2)}{a + b}$

Раскроем скобки в числителе и упростим: $\frac{a^2 + b^2 + a^2 - b^2}{a + b} = \frac{2a^2}{a + b}$

Ответ: $\frac{2a^2}{a + b}$

г)

Чтобы упростить выражение $\frac{a^2 + b^2}{a + b} - a - b$, приведем все члены к общему знаменателю $a + b$. Вынесем знак минус за скобки: $\frac{a^2 + b^2}{a + b} - (a + b)$.

Представим $a + b$ в виде дроби со знаменателем $a + b$: $a + b = \frac{(a + b)(a + b)}{a + b} = \frac{(a + b)^2}{a + b}$

Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ к числителю: $\frac{(a + b)^2}{a + b} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a + b}$

Теперь вернемся к исходному выражению и выполним вычитание дробей: $\frac{a^2 + b^2}{a + b} - \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a + b} = \frac{(a^2 + b^2) - (a^2 + 2ab + b^2)}{a + b}$

Раскроем скобки в числителе и упростим: $\frac{a^2 + b^2 - a^2 - 2ab - b^2}{a + b} = \frac{-2ab}{a + b}$

Ответ: $\frac{-2ab}{a + b}$