Номер 4.28, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.28, страница 33.

Условие.

4.28 а) $\frac{c}{b(c - 2b)} + \frac{2}{2b - c};$

б) $\frac{c}{b(c - b)} + \frac{b}{c(b - c)};$

в) $\frac{6}{a(a - 2)} + \frac{3}{2 - a};$

г) $\frac{9n}{m(3n - m)} + \frac{m}{n(m - 3n)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{c}{b(c - 2b)} + \frac{2}{2b - c}$

Чтобы сложить эти дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели $b(c - 2b)$ и $2b - c$ связаны друг с другом. Вынесем знак минус из знаменателя второй дроби: $2b - c = -(c - 2b)$.

$\frac{c}{b(c - 2b)} + \frac{2}{-(c - 2b)} = \frac{c}{b(c - 2b)} - \frac{2}{c - 2b}$

Теперь общий знаменатель — это $b(c - 2b)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $b$:

$\frac{c}{b(c - 2b)} - \frac{2 \cdot b}{b(c - 2b)} = \frac{c - 2b}{b(c - 2b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(c - 2b)$:

$\frac{c - 2b}{b(c - 2b)} = \frac{1}{b}$

Ответ: $\frac{1}{b}$

б) $\frac{c}{b(c - b)} + \frac{b}{c(b - c)}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого в знаменателе второй дроби вынесем знак минус за скобки: $b - c = -(c - b)$.

$\frac{c}{b(c - b)} + \frac{b}{c(-(c - b))} = \frac{c}{b(c - b)} - \frac{b}{c(c - b)}$

Общий знаменатель для этих дробей — $bc(c - b)$. Домножим первую дробь на $c$, а вторую на $b$:

$\frac{c \cdot c}{bc(c - b)} - \frac{b \cdot b}{bc(c - b)} = \frac{c^2 - b^2}{bc(c - b)}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$\frac{(c - b)(c + b)}{bc(c - b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(c - b)$:

$\frac{c + b}{bc}$

Ответ: $\frac{c + b}{bc}$

в) $\frac{6}{a(a - 2)} + \frac{3}{2 - a}$

Для приведения к общему знаменателю преобразуем знаменатель второй дроби: $2 - a = -(a - 2)$.

$\frac{6}{a(a - 2)} + \frac{3}{-(a - 2)} = \frac{6}{a(a - 2)} - \frac{3}{a - 2}$

Общий знаменатель — $a(a - 2)$. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $a$:

$\frac{6}{a(a - 2)} - \frac{3 \cdot a}{a(a - 2)} = \frac{6 - 3a}{a(a - 2)}$

В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки:

$\frac{3(2 - a)}{a(a - 2)}$

Так как $2 - a = -(a - 2)$, мы можем сократить дробь:

$\frac{3(-(a - 2))}{a(a - 2)} = \frac{-3}{a} = -\frac{3}{a}$

Ответ: $-\frac{3}{a}$

г) $\frac{9n}{m(3n - m)} + \frac{m}{n(m - 3n)}$

Чтобы найти общий знаменатель, заметим, что $3n - m = -(m - 3n)$. Преобразуем первую дробь:

$\frac{9n}{m(-(m - 3n))} + \frac{m}{n(m - 3n)} = -\frac{9n}{m(m - 3n)} + \frac{m}{n(m - 3n)}$

Переставим дроби для удобства:

$\frac{m}{n(m - 3n)} - \frac{9n}{m(m - 3n)}$

Общий знаменатель — $mn(m - 3n)$. Домножим первую дробь на $m$, а вторую на $n$:

$\frac{m \cdot m}{mn(m - 3n)} - \frac{9n \cdot n}{mn(m - 3n)} = \frac{m^2 - 9n^2}{mn(m - 3n)}$

Числитель $m^2 - 9n^2$ является разностью квадратов $m^2 - (3n)^2$. Разложим его на множители:

$\frac{(m - 3n)(m + 3n)}{mn(m - 3n)}$

Сократим дробь на общий множитель $(m - 3n)$:

$\frac{m + 3n}{mn}$

Ответ: $\frac{m + 3n}{mn}$