Номер 4.29, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.29, страница 33.

Условие.

4.29 a) $\frac{x}{x + y} + \frac{y}{x - y}$;

б) $\frac{a - 3}{a + 3} - \frac{a + 2}{a - 2}$;

в) $\frac{m}{m - n} - \frac{n}{m + n}$;

г) $\frac{p + 2}{p + 1} - \frac{p + 6}{p + 3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для сложения дробей $\frac{x}{x+y} + \frac{y}{x-y}$ необходимо привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем для $(x+y)$ и $(x-y)$ является их произведение $(x+y)(x-y)$, которое по формуле разности квадратов равно $x^2 - y^2$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на множитель $(x-y)$, а второй дроби — на $(x+y)$:

$\frac{x}{x+y} + \frac{y}{x-y} = \frac{x(x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{y(x+y)}{(x-y)(x+y)}$

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, можно сложить их числители:

$\frac{x(x-y) + y(x+y)}{(x+y)(x-y)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$x(x-y) + y(x+y) = x^2 - xy + yx + y^2 = x^2 + y^2$

Таким образом, итоговое выражение имеет вид:

$\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$

Ответ: $\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$

б)

Для вычитания дробей $\frac{a-3}{a+3} - \frac{a+2}{a-2}$ приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение $(a+3)(a-2)$.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a-2)$, а второй — на $(a+3)$:

$\frac{(a-3)(a-2)}{(a+3)(a-2)} - \frac{(a+2)(a+3)}{(a-2)(a+3)}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{(a-3)(a-2) - (a+2)(a+3)}{(a+3)(a-2)}$

Раскроем скобки в числителе, используя правило умножения многочленов:

$(a-3)(a-2) = a^2 - 2a - 3a + 6 = a^2 - 5a + 6$

$(a+2)(a+3) = a^2 + 3a + 2a + 6 = a^2 + 5a + 6$

Подставим полученные выражения в числитель и упростим:

$(a^2 - 5a + 6) - (a^2 + 5a + 6) = a^2 - 5a + 6 - a^2 - 5a - 6 = -10a$

Раскроем скобки в знаменателе: $(a+3)(a-2) = a^2 - 2a + 3a - 6 = a^2 + a - 6$.

Итоговое выражение:

$\frac{-10a}{a^2+a-6}$

Ответ: $\frac{-10a}{a^2+a-6}$

в)

Для вычитания дробей $\frac{m}{m-n} - \frac{n}{m+n}$ найдем общий знаменатель. Он равен произведению знаменателей $(m-n)(m+n)$, что по формуле разности квадратов равно $m^2 - n^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)} - \frac{n(m-n)}{(m-n)(m+n)}$

Объединим дроби, вычитая числители:

$\frac{m(m+n) - n(m-n)}{m^2 - n^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$m(m+n) - n(m-n) = m^2 + mn - (nm - n^2) = m^2 + mn - mn + n^2 = m^2 + n^2$

В результате получаем:

$\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}$

Ответ: $\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}$

г)

Для вычитания дробей $\frac{p+2}{p+1} - \frac{p+6}{p+3}$ приведем их к общему знаменателю, который равен $(p+1)(p+3)$.

Домножим первую дробь на $(p+3)$, а вторую — на $(p+1)$:

$\frac{(p+2)(p+3)}{(p+1)(p+3)} - \frac{(p+6)(p+1)}{(p+1)(p+3)}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{(p+2)(p+3) - (p+6)(p+1)}{(p+1)(p+3)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(p+2)(p+3) = p^2 + 3p + 2p + 6 = p^2 + 5p + 6$

$(p+6)(p+1) = p^2 + p + 6p + 6 = p^2 + 7p + 6$

Вычтем второе выражение из первого в числителе:

$(p^2 + 5p + 6) - (p^2 + 7p + 6) = p^2 + 5p + 6 - p^2 - 7p - 6 = -2p$

Раскроем скобки в знаменателе: $(p+1)(p+3) = p^2 + 3p + p + 3 = p^2 + 4p + 3$.

Итоговое выражение:

$\frac{-2p}{p^2+4p+3}$

Ответ: $\frac{-2p}{p^2+4p+3}$