Номер 4.33, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.33, страница 33.

Условие.

4.33 a) $ \frac{4b}{(a-b)(a+b)} + \frac{a-b}{a(a+b)} $

б) $ \frac{3-x}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-2}{x(1-x)} $

в) $ \frac{c+2}{c(c-2)} - \frac{8}{(c-2)(c+2)} $

г) $ \frac{a+5}{(a-3)(a+3)} + \frac{a+4}{a(-a-3)} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

$\frac{4b}{(a-b)(a+b)} + \frac{a-b}{a(a+b)}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $(a-b)(a+b)$ и $a(a+b)$. Наименьший общий знаменатель равен $a(a-b)(a+b)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $(a-b)$.

Выполним сложение:

$\frac{4b \cdot a}{a(a-b)(a+b)} + \frac{(a-b) \cdot (a-b)}{a(a-b)(a+b)} = \frac{4ab + (a-b)^2}{a(a-b)(a+b)}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$\frac{4ab + a^2 - 2ab + b^2}{a(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a(a-b)(a+b)}$

Свернем числитель по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$\frac{(a+b)^2}{a(a-b)(a+b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$:

$\frac{a+b}{a(a-b)}$

Ответ: $\frac{a+b}{a(a-b)}$

б)

$\frac{3-x}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-2}{x(1-x)}$

Заметим, что в знаменателе второй дроби множитель $(1-x)$ можно представить как $-(x-1)$. Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя перед дробью:

$\frac{3-x}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-2}{-x(x-1)} = \frac{3-x}{(x-1)(x+1)} + \frac{x-2}{x(x-1)}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $x(x-1)(x+1)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $x$, для второй — $(x+1)$.

$\frac{x(3-x)}{x(x-1)(x+1)} + \frac{(x-2)(x+1)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{3x - x^2 + x^2 + x - 2x - 2}{x(x-1)(x+1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(3x+x-2x) + (-x^2+x^2) - 2}{x(x-1)(x+1)} = \frac{2x - 2}{x(x-1)(x+1)}$

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки:

$\frac{2(x-1)}{x(x-1)(x+1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-1)$:

$\frac{2}{x(x+1)}$

Ответ: $\frac{2}{x(x+1)}$

в)

$\frac{c+2}{c(c-2)} - \frac{8}{(c-2)(c+2)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $c(c-2)(c+2)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $(c+2)$, для второй — $c$.

Выполним вычитание:

$\frac{(c+2)(c+2)}{c(c-2)(c+2)} - \frac{8 \cdot c}{c(c-2)(c+2)} = \frac{(c+2)^2 - 8c}{c(c-2)(c+2)}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата суммы:

$\frac{c^2 + 4c + 4 - 8c}{c(c-2)(c+2)} = \frac{c^2 - 4c + 4}{c(c-2)(c+2)}$

Свернем числитель по формуле квадрата разности:

$\frac{(c-2)^2}{c(c-2)(c+2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(c-2)$:

$\frac{c-2}{c(c+2)}$

Ответ: $\frac{c-2}{c(c+2)}$

г)

$\frac{a+5}{(a-3)(a+3)} + \frac{a+4}{a(-a-3)}$

Преобразуем знаменатель второй дроби, вынеся -1 за скобки: $a(-a-3) = -a(a+3)$.

$\frac{a+5}{(a-3)(a+3)} + \frac{a+4}{-a(a+3)} = \frac{a+5}{(a-3)(a+3)} - \frac{a+4}{a(a+3)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $a(a-3)(a+3)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $(a-3)$.

$\frac{a(a+5)}{a(a-3)(a+3)} - \frac{(a+4)(a-3)}{a(a-3)(a+3)} = \frac{a(a+5) - (a+4)(a-3)}{a(a-3)(a+3)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{a^2 + 5a - (a^2 - 3a + 4a - 12)}{a(a-3)(a+3)} = \frac{a^2 + 5a - (a^2 + a - 12)}{a(a-3)(a+3)}$

$\frac{a^2 + 5a - a^2 - a + 12}{a(a-3)(a+3)} = \frac{4a + 12}{a(a-3)(a+3)}$

Вынесем в числителе общий множитель 4 за скобки:

$\frac{4(a+3)}{a(a-3)(a+3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+3)$:

$\frac{4}{a(a-3)}$

Ответ: $\frac{4}{a(a-3)}$