Номер 4.37, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.37, страница 34.

Условие.

4.37 a) $\frac{2 - a}{a^2 - ab} - \frac{2 - b}{ab - b^2}$

б) $\frac{b + 2a}{a^2 + ab} - \frac{a + 2b}{b^2 + ab}$

в) $\frac{d + 3}{cd + d^2} - \frac{c - 3}{cd + c^2}$

г) $\frac{3p + q}{p^2 - pq} - \frac{3q + p}{pq - q^2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

а)

Исходное выражение: $\frac{2-a}{a^2-ab} - \frac{2-b}{ab-b^2}$.

1. Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель. В первом знаменателе вынесем за скобки $a$, во втором — $b$.

$a^2 - ab = a(a-b)$

$ab - b^2 = b(a-b)$

2. Общий знаменатель для этих дробей — $ab(a-b)$. Приведем дроби к этому знаменателю. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $b$, а второй — на $a$.

$\frac{(2-a) \cdot b}{a(a-b) \cdot b} - \frac{(2-b) \cdot a}{b(a-b) \cdot a} = \frac{b(2-a) - a(2-b)}{ab(a-b)}$

3. Раскроем скобки в числителе и упростим выражение.

$\frac{2b - ab - (2a - ab)}{ab(a-b)} = \frac{2b - ab - 2a + ab}{ab(a-b)} = \frac{2b - 2a}{ab(a-b)}$

4. Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки.

$\frac{2(b-a)}{ab(a-b)}$

5. Заметим, что $b-a = -(a-b)$. Сократим дробь.

$\frac{-2(a-b)}{ab(a-b)} = -\frac{2}{ab}$

Ответ: $-\frac{2}{ab}$

б)

Исходное выражение: $\frac{b+2a}{a^2+ab} - \frac{a+2b}{b^2+ab}$.

1. Разложим знаменатели на множители.

$a^2 + ab = a(a+b)$

$b^2 + ab = b(b+a) = b(a+b)$

2. Общий знаменатель — $ab(a+b)$. Приведем дроби к общему знаменателю.

$\frac{(b+2a) \cdot b}{a(a+b) \cdot b} - \frac{(a+2b) \cdot a}{b(a+b) \cdot a} = \frac{b(b+2a) - a(a+2b)}{ab(a+b)}$

3. Раскроем скобки в числителе.

$\frac{b^2 + 2ab - (a^2 + 2ab)}{ab(a+b)} = \frac{b^2 + 2ab - a^2 - 2ab}{ab(a+b)} = \frac{b^2 - a^2}{ab(a+b)}$

4. В числителе используем формулу разности квадратов: $b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$.

$\frac{(b-a)(b+a)}{ab(a+b)}$

5. Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$.

$\frac{b-a}{ab}$

Ответ: $\frac{b-a}{ab}$

в)

Исходное выражение: $\frac{d+3}{cd+d^2} - \frac{c-3}{cd+c^2}$.

1. Разложим знаменатели на множители.

$cd + d^2 = d(c+d)$

$cd + c^2 = c(d+c) = c(c+d)$

2. Общий знаменатель — $cd(c+d)$. Приведем дроби к общему знаменателю.

$\frac{(d+3) \cdot c}{d(c+d) \cdot c} - \frac{(c-3) \cdot d}{c(c+d) \cdot d} = \frac{c(d+3) - d(c-3)}{cd(c+d)}$

3. Раскроем скобки в числителе и упростим.

$\frac{cd + 3c - (cd - 3d)}{cd(c+d)} = \frac{cd + 3c - cd + 3d}{cd(c+d)} = \frac{3c + 3d}{cd(c+d)}$

4. Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки.

$\frac{3(c+d)}{cd(c+d)}$

5. Сократим дробь на $(c+d)$.

$\frac{3}{cd}$

Ответ: $\frac{3}{cd}$

г)

Исходное выражение: $\frac{3p+q}{p^2-pq} - \frac{3q+p}{pq-q^2}$.

1. Разложим знаменатели на множители.

$p^2 - pq = p(p-q)$

$pq - q^2 = q(p-q)$

2. Общий знаменатель — $pq(p-q)$. Приведем дроби к общему знаменателю.

$\frac{(3p+q) \cdot q}{p(p-q) \cdot q} - \frac{(3q+p) \cdot p}{q(p-q) \cdot p} = \frac{q(3p+q) - p(3q+p)}{pq(p-q)}$

3. Раскроем скобки в числителе.

$\frac{3pq + q^2 - (3pq + p^2)}{pq(p-q)} = \frac{3pq + q^2 - 3pq - p^2}{pq(p-q)} = \frac{q^2 - p^2}{pq(p-q)}$

4. В числителе используем формулу разности квадратов: $q^2 - p^2 = (q-p)(q+p)$.

$\frac{(q-p)(q+p)}{pq(p-q)}$

5. Заметим, что $q-p = -(p-q)$. Сократим дробь.

$\frac{-(p-q)(p+q)}{pq(p-q)} = -\frac{p+q}{pq}$

Ответ: $-\frac{p+q}{pq}$