Номер 4.43, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями - номер 4.43, страница 35.

Условие.

4.43 a) $\frac{5}{18y} - \frac{2 + 3y}{3y^3} - \frac{y - 3}{9y^2} = \frac{y - 2}{6y^2} - \frac{y + 2}{3y^3};$

б) $\frac{abc - a^3}{a^2b} + \frac{abc - b^3}{b^2c} + \frac{abc - c^3}{c^2a} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

а) Определим область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, следовательно, $y \neq 0$.

Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для всех дробей. Знаменатели: $18y, 3y^3, 9y^2, 6y^2$. Разложим их на множители:

$18y = 2 \cdot 3^2 \cdot y$

$3y^3 = 3 \cdot y^3$

$9y^2 = 3^2 \cdot y^2$

$6y^2 = 2 \cdot 3 \cdot y^2$

НОЗ равен произведению всех уникальных множителей в их наивысших степенях: $2 \cdot 3^2 \cdot y^3 = 18y^3$.

Умножим обе части уравнения на $18y^3$, чтобы избавиться от дробей:

$18y^3 \cdot \frac{5}{18y} - 18y^3 \cdot \frac{2 + 3y}{3y^3} - 18y^3 \cdot \frac{y - 3}{9y^2} = 18y^3 \cdot \frac{y - 2}{6y^2} - 18y^3 \cdot \frac{y + 2}{3y^3}$

После сокращения дробей получаем:

$y^2 \cdot 5 - 6 \cdot (2 + 3y) - 2y \cdot (y - 3) = 3y \cdot (y - 2) - 6 \cdot (y + 2)$

Раскроем скобки в полученном выражении:

$5y^2 - 12 - 18y - 2y^2 + 6y = 3y^2 - 6y - 6y - 12$

Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:

$(5y^2 - 2y^2) + (-18y + 6y) - 12 = 3y^2 - (6y + 6y) - 12$

$3y^2 - 12y - 12 = 3y^2 - 12y - 12$

Мы получили тождество, верное для всех значений $y$ из области допустимых значений. Это означает, что исходное уравнение является тождеством.

Ответ: $y$ — любое число, кроме $0$.

б) В данном случае требуется доказать, что равенство является тождеством. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю, поэтому $a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0$.

Преобразуем левую часть равенства. Упростим каждую дробь, разделив ее числитель на знаменатель почленно:

$\frac{abc - a^3}{a^2b} = \frac{abc}{a^2b} - \frac{a^3}{a^2b} = \frac{c}{a} - \frac{a}{b}$

$\frac{abc - b^3}{b^2c} = \frac{abc}{b^2c} - \frac{b^3}{b^2c} = \frac{a}{b} - \frac{b}{c}$

$\frac{abc - c^3}{c^2a} = \frac{abc}{c^2a} - \frac{c^3}{c^2a} = \frac{b}{c} - \frac{c}{a}$

Теперь сложим полученные выражения:

$\left(\frac{c}{a} - \frac{a}{b}\right) + \left(\frac{a}{b} - \frac{b}{c}\right) + \left(\frac{b}{c} - \frac{c}{a}\right)$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$\frac{c}{a} - \frac{a}{b} + \frac{a}{b} - \frac{b}{c} + \frac{b}{c} - \frac{c}{a} = \left(\frac{c}{a} - \frac{c}{a}\right) + \left(-\frac{a}{b} + \frac{a}{b}\right) + \left(-\frac{b}{c} + \frac{b}{c}\right) = 0 + 0 + 0 = 0$

Левая часть тождественно равна правой части ($0=0$) для всех значений переменных из ОДЗ.

Ответ: Равенство является тождеством и верно при любых $a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0$.