Номер 4.42, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями - номер 4.42, страница 35.

Условие.

Докажите тождество:

4.42 a) $ \frac{12x + 5y}{20x^2y} - \frac{5y - 4x}{25xy^2} = \left(\frac{5y + 4x}{10xy}\right)^2; $

б) $ \frac{2n + 3m}{12mn^2} - \frac{9m - 2n}{18m^2n} = \left(\frac{3m - 2n}{6mn}\right)^2. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей $ 20x^2y $ и $ 25xy^2 $. Их наименьший общий знаменатель равен $ 100x^2y^2 $.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{100x^2y^2}{20x^2y} = 5y $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{100x^2y^2}{25xy^2} = 4x $.

Выполним вычитание дробей:

$ \frac{12x + 5y}{20x^2y} - \frac{5y - 4x}{25xy^2} = \frac{(12x + 5y) \cdot 5y}{100x^2y^2} - \frac{(5y - 4x) \cdot 4x}{100x^2y^2} = $

$ = \frac{5y(12x + 5y) - 4x(5y - 4x)}{100x^2y^2} = \frac{60xy + 25y^2 - 20xy + 16x^2}{100x^2y^2} = $

$ = \frac{16x^2 + 40xy + 25y^2}{100x^2y^2} $.

Числитель полученной дроби, $ 16x^2 + 40xy + 25y^2 $, представляет собой полный квадрат суммы. Используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $, получаем:

$ 16x^2 + 40xy + 25y^2 = (4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot (5y) + (5y)^2 = (4x + 5y)^2 $.

Таким образом, левая часть тождества равна $ \frac{(4x + 5y)^2}{100x^2y^2} $.

Теперь преобразуем правую часть тождества:

$ \left(\frac{5y + 4x}{10xy}\right)^2 = \frac{(5y + 4x)^2}{(10xy)^2} = \frac{(4x + 5y)^2}{100x^2y^2} $.

Поскольку левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей $ 12mn^2 $ и $ 18m^2n $. Их наименьший общий знаменатель равен $ 36m^2n^2 $.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{36m^2n^2}{12mn^2} = 3m $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{36m^2n^2}{18m^2n} = 2n $.

Выполним вычитание дробей:

$ \frac{2n + 3m}{12mn^2} - \frac{9m - 2n}{18m^2n} = \frac{(2n + 3m) \cdot 3m}{36m^2n^2} - \frac{(9m - 2n) \cdot 2n}{36m^2n^2} = $

$ = \frac{3m(2n + 3m) - 2n(9m - 2n)}{36m^2n^2} = \frac{6mn + 9m^2 - (18mn - 4n^2)}{36m^2n^2} = $

$ = \frac{6mn + 9m^2 - 18mn + 4n^2}{36m^2n^2} = \frac{9m^2 - 12mn + 4n^2}{36m^2n^2} $.

Числитель полученной дроби, $ 9m^2 - 12mn + 4n^2 $, представляет собой полный квадрат разности. Используя формулу квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $, получаем:

$ 9m^2 - 12mn + 4n^2 = (3m)^2 - 2 \cdot (3m) \cdot (2n) + (2n)^2 = (3m - 2n)^2 $.

Таким образом, левая часть тождества равна $ \frac{(3m - 2n)^2}{36m^2n^2} $.

Теперь преобразуем правую часть тождества:

$ \left(\frac{3m - 2n}{6mn}\right)^2 = \frac{(3m - 2n)^2}{(6mn)^2} = \frac{(3m - 2n)^2}{36m^2n^2} $.

Поскольку левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.