Номер 4.45, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.45, страница 35.

Условие.

4.45 а) $\frac{4a}{a+2} - \frac{3a^2 + 8a + 4}{(a+2)^2}$;

б) $\frac{7n^2 + mn - 8m^2}{m^2 - 2mn + n^2} - \frac{8m}{n-m}$;

в) $\frac{8y^2 - 9xy + x^2}{(x-y)^2} - \frac{9y}{y-x}$;

г) $\frac{5 + 13p - 6p^2}{9p^2 + 6p + 1} + \frac{2p}{3p+1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{4a}{a+2} - \frac{3a^2+8a+4}{(a+2)^2}$, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это $(a+2)^2$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $(a+2)$:

$\frac{4a(a+2)}{(a+2)^2} - \frac{3a^2+8a+4}{(a+2)^2}$

Теперь выполним вычитание дробей, объединив числители под общим знаменателем. Важно обратить внимание на знак минус перед второй дробью, он относится ко всему ее числителю:

$\frac{4a(a+2) - (3a^2+8a+4)}{(a+2)^2} = \frac{4a^2+8a - 3a^2-8a-4}{(a+2)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(4a^2-3a^2) + (8a-8a) - 4}{(a+2)^2} = \frac{a^2-4}{(a+2)^2}$

Числитель $a^2-4$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$\frac{(a-2)(a+2)}{(a+2)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+2)$:

$\frac{a-2}{a+2}$

Ответ: $\frac{a-2}{a+2}$

б) Рассмотрим выражение $\frac{7n^2+mn-8m^2}{m^2-2mn+n^2} - \frac{8m}{n-m}$.

Преобразуем знаменатели. Знаменатель первой дроби — это полный квадрат разности: $m^2-2mn+n^2 = (m-n)^2$. Также заметим, что $(m-n)^2 = (n-m)^2$. Знаменатель второй дроби — $(n-m)$.

Перепишем выражение, используя знаменатель $(n-m)^2$ для первой дроби, чтобы он соответствовал второй:

$\frac{7n^2+mn-8m^2}{(n-m)^2} - \frac{8m}{n-m}$

Общий знаменатель — $(n-m)^2$. Домножим вторую дробь на $(n-m)$:

$\frac{7n^2+mn-8m^2}{(n-m)^2} - \frac{8m(n-m)}{(n-m)^2}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{7n^2+mn-8m^2 - 8m(n-m)}{(n-m)^2} = \frac{7n^2+mn-8m^2 - 8mn+8m^2}{(n-m)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{7n^2 + (mn-8mn) + (-8m^2+8m^2)}{(n-m)^2} = \frac{7n^2-7mn}{(n-m)^2}$

Вынесем общий множитель $7n$ в числителе:

$\frac{7n(n-m)}{(n-m)^2}$

Сократим дробь на $(n-m)$:

$\frac{7n}{n-m}$

Ответ: $\frac{7n}{n-m}$

в) Упростим выражение $\frac{8y^2-9xy+x^2}{(x-y)^2} - \frac{9y}{y-x}$.

Заметим, что знаменатель второй дроби $y-x = -(x-y)$. Используем это для преобразования выражения:

$\frac{8y^2-9xy+x^2}{(x-y)^2} - \frac{9y}{-(x-y)} = \frac{8y^2-9xy+x^2}{(x-y)^2} + \frac{9y}{x-y}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(x-y)^2$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(x-y)$:

$\frac{8y^2-9xy+x^2}{(x-y)^2} + \frac{9y(x-y)}{(x-y)^2}$

Сложим дроби:

$\frac{8y^2-9xy+x^2 + 9y(x-y)}{(x-y)^2} = \frac{8y^2-9xy+x^2 + 9xy-9y^2}{(x-y)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{x^2 + (8y^2-9y^2) + (-9xy+9xy)}{(x-y)^2} = \frac{x^2-y^2}{(x-y)^2}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов:

$\frac{(x-y)(x+y)}{(x-y)^2}$

Сократим дробь на $(x-y)$:

$\frac{x+y}{x-y}$

Ответ: $\frac{x+y}{x-y}$

г) Рассмотрим сумму дробей $\frac{5+13p-6p^2}{9p^2+6p+1} + \frac{2p}{3p+1}$.

Знаменатель первой дроби $9p^2+6p+1$ является полным квадратом суммы: $(3p)^2 + 2 \cdot 3p \cdot 1 + 1^2 = (3p+1)^2$.

Перепишем выражение с преобразованным знаменателем:

$\frac{5+13p-6p^2}{(3p+1)^2} + \frac{2p}{3p+1}$

Общий знаменатель — $(3p+1)^2$. Домножим вторую дробь на $(3p+1)$:

$\frac{5+13p-6p^2}{(3p+1)^2} + \frac{2p(3p+1)}{(3p+1)^2}$

Сложим числители:

$\frac{5+13p-6p^2 + 2p(3p+1)}{(3p+1)^2} = \frac{5+13p-6p^2 + 6p^2+2p}{(3p+1)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{5 + (13p+2p) + (-6p^2+6p^2)}{(3p+1)^2} = \frac{5+15p}{(3p+1)^2}$

Вынесем общий множитель $5$ в числителе:

$\frac{5(1+3p)}{(3p+1)^2}$

Так как $1+3p = 3p+1$, сократим дробь на $(3p+1)$:

$\frac{5(3p+1)}{(3p+1)^2} = \frac{5}{3p+1}$

Ответ: $\frac{5}{3p+1}$