Номер 4.48, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.48, страница 35.

Условие.

4.48 а) $\frac{a^2 - ab + b^2}{a - b} + \frac{a^2 + ab + b^2}{a + b};$

б) $\frac{m^2 - 2mn + 4n^2}{m - 2n} + \frac{m^2 + 2mn + 4n^2}{m + 2n};$

в) $\frac{9x^2 - 3xy + y^2}{3x - y} + \frac{9x^2 + 3xy + y^2}{3x + y};$

г) $\frac{4l^2 + 6lk + 9k^2}{2l + 3k} + \frac{4l^2 - 6lk + 9k^2}{2l - 3k}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

а) Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей со знаменателями $a-b$ и $a+b$ это их произведение: $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.
$\frac{a^2 - ab + b^2}{a - b} + \frac{a^2 + ab + b^2}{a + b} = \frac{(a^2 - ab + b^2)(a + b)}{(a - b)(a + b)} + \frac{(a^2 + ab + b^2)(a - b)}{(a + b)(a - b)}$
В числителях получились выражения, которые можно свернуть по формулам суммы и разности кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ и $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$\frac{a^3 + b^3}{a^2 - b^2} + \frac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2} = \frac{(a^3 + b^3) + (a^3 - b^3)}{a^2 - b^2} = \frac{a^3 + b^3 + a^3 - b^3}{a^2 - b^2} = \frac{2a^3}{a^2 - b^2}$
Ответ: $\frac{2a^3}{a^2 - b^2}$

б) Приводим дроби к общему знаменателю $(m-2n)(m+2n) = m^2 - (2n)^2 = m^2 - 4n^2$.
$\frac{m^2 - 2mn + 4n^2}{m - 2n} + \frac{m^2 + 2mn + 4n^2}{m + 2n} = \frac{(m^2 - 2mn + 4n^2)(m + 2n)}{(m - 2n)(m + 2n)} + \frac{(m^2 + 2mn + 4n^2)(m - 2n)}{(m + 2n)(m - 2n)}$
В числителях применяем формулы суммы и разности кубов для выражений $m$ и $2n$.
Первый числитель: $(m+2n)(m^2-m(2n)+(2n)^2) = m^3 + (2n)^3 = m^3 + 8n^3$.
Второй числитель: $(m-2n)(m^2+m(2n)+(2n)^2) = m^3 - (2n)^3 = m^3 - 8n^3$.
Складываем числители: $\frac{(m^3 + 8n^3) + (m^3 - 8n^3)}{m^2 - 4n^2} = \frac{2m^3}{m^2 - 4n^2}$
Ответ: $\frac{2m^3}{m^2 - 4n^2}$

в) Общий знаменатель: $(3x-y)(3x+y) = (3x)^2 - y^2 = 9x^2 - y^2$.
$\frac{9x^2 - 3xy + y^2}{3x - y} + \frac{9x^2 + 3xy + y^2}{3x + y} = \frac{((3x)^2 - 3xy + y^2)(3x + y)}{(3x - y)(3x + y)} + \frac{((3x)^2 + 3xy + y^2)(3x - y)}{(3x + y)(3x - y)}$
Используем формулы суммы и разности кубов для выражений $3x$ и $y$.
Первый числитель: $(3x+y)((3x)^2-3xy+y^2) = (3x)^3 + y^3 = 27x^3 + y^3$.
Второй числитель: $(3x-y)((3x)^2+3xy+y^2) = (3x)^3 - y^3 = 27x^3 - y^3$.
Складываем числители: $\frac{(27x^3 + y^3) + (27x^3 - y^3)}{9x^2 - y^2} = \frac{54x^3}{9x^2 - y^2}$
Ответ: $\frac{54x^3}{9x^2 - y^2}$

г) Общий знаменатель: $(2l+3k)(2l-3k) = (2l)^2 - (3k)^2 = 4l^2 - 9k^2$.
$\frac{4l^2 + 6lk + 9k^2}{2l + 3k} + \frac{4l^2 - 6lk + 9k^2}{2l - 3k} = \frac{(4l^2 + 6lk + 9k^2)(2l - 3k)}{(2l + 3k)(2l - 3k)} + \frac{(4l^2 - 6lk + 9k^2)(2l + 3k)}{(2l - 3k)(2l + 3k)}$
В числителях применяем формулы разности и суммы кубов для выражений $2l$ и $3k$.
Первый числитель: $((2l)^2 + (2l)(3k) + (3k)^2)(2l-3k) = (2l)^3 - (3k)^3 = 8l^3 - 27k^3$.
Второй числитель: $((2l)^2 - (2l)(3k) + (3k)^2)(2l+3k) = (2l)^3 + (3k)^3 = 8l^3 + 27k^3$.
Складываем числители: $\frac{(8l^3 - 27k^3) + (8l^3 + 27k^3)}{4l^2 - 9k^2} = \frac{16l^3}{4l^2 - 9k^2}$
Ответ: $\frac{16l^3}{4l^2 - 9k^2}$