Номер 4.49, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.49, страница 36.

Условие.

Упростите выражение:

4.49 a) $1 - \frac{1}{a^3 + 1} - \frac{a}{a + 1}$;

б) $\frac{c}{c^2 + 3c + 9} - \frac{1}{c - 3} + \frac{27}{c^3 - 27}$;

в) $1 - \frac{2d - 1}{4d^2 - 2d + 1} - \frac{2d}{2d + 1}$;

г) $\frac{1}{b + 2} - \frac{b}{b^2 - 2b + 4} - \frac{12}{b^3 + 8}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

а) $1 - \frac{1}{a^3 + 1} - \frac{a}{a + 1}$

Для упрощения этого выражения необходимо привести все его члены к общему знаменателю. Для этого сначала разложим знаменатель $a^3 + 1$ на множители, используя формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

$a^3 + 1 = a^3 + 1^3 = (a+1)(a^2 - a \cdot 1 + 1^2) = (a+1)(a^2 - a + 1)$.

Общий знаменатель для всех членов выражения — это $(a+1)(a^2 - a + 1)$, что равно $a^3 + 1$.

Теперь приведем каждый член выражения к этому знаменателю:

$1 = \frac{a^3 + 1}{a^3 + 1}$

$\frac{a}{a+1} = \frac{a(a^2 - a + 1)}{(a+1)(a^2 - a + 1)} = \frac{a^3 - a^2 + a}{a^3 + 1}$

Подставим полученные дроби в исходное выражение:

$1 - \frac{1}{a^3 + 1} - \frac{a}{a + 1} = \frac{a^3 + 1}{a^3 + 1} - \frac{1}{a^3 + 1} - \frac{a^3 - a^2 + a}{a^3 + 1}$

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, объединим их числители:

$\frac{(a^3 + 1) - 1 - (a^3 - a^2 + a)}{a^3 + 1} = \frac{a^3 + 1 - 1 - a^3 + a^2 - a}{a^3 + 1} = \frac{a^2 - a}{a^3 + 1}$

В числителе можно вынести общий множитель $a$ за скобки: $\frac{a(a-1)}{a^3+1}$. Выражение упрощено.

Ответ: $\frac{a^2 - a}{a^3 + 1}$

б) $\frac{c}{c^2 + 3c + 9} - \frac{1}{c - 3} + \frac{27}{c^3 - 27}$

Для упрощения приведем дроби к общему знаменателю. Используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.

$c^3 - 27 = c^3 - 3^3 = (c-3)(c^2 + c \cdot 3 + 3^2) = (c-3)(c^2 + 3c + 9)$.

Общий знаменатель — это $c^3 - 27$.

Приведем первую и вторую дроби к этому знаменателю:

$\frac{c}{c^2 + 3c + 9} = \frac{c(c-3)}{(c-3)(c^2 + 3c + 9)} = \frac{c^2 - 3c}{c^3 - 27}$

$\frac{1}{c - 3} = \frac{1(c^2 + 3c + 9)}{(c-3)(c^2 + 3c + 9)} = \frac{c^2 + 3c + 9}{c^3 - 27}$

Подставим дроби в исходное выражение:

$\frac{c^2 - 3c}{c^3 - 27} - \frac{c^2 + 3c + 9}{c^3 - 27} + \frac{27}{c^3 - 27}$

Объединим числители под общим знаменателем:

$\frac{(c^2 - 3c) - (c^2 + 3c + 9) + 27}{c^3 - 27} = \frac{c^2 - 3c - c^2 - 3c - 9 + 27}{c^3 - 27} = \frac{-6c + 18}{c^3 - 27}$

Вынесем общий множитель в числителе и разложим знаменатель:

$\frac{-6(c - 3)}{(c-3)(c^2 + 3c + 9)}$

Сократим общий множитель $(c-3)$ (при условии, что $c \neq 3$):

$\frac{-6}{c^2 + 3c + 9}$

Ответ: $\frac{-6}{c^2 + 3c + 9}$

в) $1 - \frac{2d - 1}{4d^2 - 2d + 1} - \frac{2d}{2d + 1}$

Для упрощения найдем общий знаменатель. Заметим, что знаменатели второй и третьей дробей являются множителями для формулы суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.

Пусть $x=2d$ и $y=1$. Тогда $(2d+1)((2d)^2 - 2d \cdot 1 + 1^2) = (2d+1)(4d^2-2d+1) = (2d)^3 + 1^3 = 8d^3+1$.

Общий знаменатель — $8d^3 + 1$.

Приведем все члены к общему знаменателю:

$1 = \frac{8d^3+1}{8d^3+1}$

$\frac{2d - 1}{4d^2 - 2d + 1} = \frac{(2d - 1)(2d+1)}{(4d^2 - 2d + 1)(2d+1)} = \frac{4d^2 - 1}{8d^3 + 1}$

$\frac{2d}{2d + 1} = \frac{2d(4d^2 - 2d + 1)}{(2d+1)(4d^2 - 2d + 1)} = \frac{8d^3 - 4d^2 + 2d}{8d^3 + 1}$

Подставим в исходное выражение:

$\frac{8d^3 + 1}{8d^3 + 1} - \frac{4d^2 - 1}{8d^3 + 1} - \frac{8d^3 - 4d^2 + 2d}{8d^3 + 1}$

Объединим числители:

$\frac{(8d^3 + 1) - (4d^2 - 1) - (8d^3 - 4d^2 + 2d)}{8d^3 + 1} = \frac{8d^3 + 1 - 4d^2 + 1 - 8d^3 + 4d^2 - 2d}{8d^3 + 1}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(8d^3 - 8d^3) + (-4d^2 + 4d^2) - 2d + (1+1)}{8d^3 + 1} = \frac{2 - 2d}{8d^3 + 1}$

Ответ: $\frac{2 - 2d}{8d^3 + 1}$

г) $\frac{1}{b + 2} - \frac{b}{b^2 - 2b + 4} - \frac{12}{b^3 + 8}$

Найдем общий знаменатель, используя формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

$b^3 + 8 = b^3 + 2^3 = (b+2)(b^2 - b \cdot 2 + 2^2) = (b+2)(b^2 - 2b + 4)$.

Общий знаменатель — $b^3 + 8$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{b + 2} = \frac{1(b^2 - 2b + 4)}{(b+2)(b^2 - 2b + 4)} = \frac{b^2 - 2b + 4}{b^3 + 8}$

$\frac{b}{b^2 - 2b + 4} = \frac{b(b+2)}{(b+2)(b^2 - 2b + 4)} = \frac{b^2 + 2b}{b^3 + 8}$

Подставим дроби в исходное выражение:

$\frac{b^2 - 2b + 4}{b^3 + 8} - \frac{b^2 + 2b}{b^3 + 8} - \frac{12}{b^3 + 8}$

Объединим числители:

$\frac{(b^2 - 2b + 4) - (b^2 + 2b) - 12}{b^3 + 8} = \frac{b^2 - 2b + 4 - b^2 - 2b - 12}{b^3 + 8} = \frac{-4b - 8}{b^3 + 8}$

Вынесем общий множитель в числителе:

$\frac{-4(b+2)}{b^3 + 8} = \frac{-4(b+2)}{(b+2)(b^2 - 2b + 4)}$

Сократим общий множитель $(b+2)$ (при условии, что $b \neq -2$):

$\frac{-4}{b^2 - 2b + 4}$

Ответ: $\frac{-4}{b^2 - 2b + 4}$