Номер 4.54, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.54, страница 36.

Условие.

4.54 $\frac{x+2y}{x^2+2xy+y^2} - \frac{x-2y}{x^2-y^2} + \frac{2y^2}{(x+y)(x^2-y^2)} = \frac{2y}{x^2-y^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Сначала разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ и разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Знаменатель первой дроби: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

Знаменатель второй дроби: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Знаменатель третьей дроби: $(x+y)(x^2-y^2) = (x+y)(x-y)(x+y) = (x+y)^2(x-y)$.

Подставим разложенные знаменатели в левую часть тождества:

$$ \frac{x + 2y}{(x+y)^2} - \frac{x - 2y}{(x-y)(x+y)} + \frac{2y^2}{(x+y)^2(x-y)} $$

Приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для данных дробей - это $(x+y)^2(x-y)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на множитель $(x-y)$, а второй дроби - на $(x+y)$. Третья дробь уже имеет нужный знаменатель.

$$ \frac{(x + 2y)(x-y)}{(x+y)^2(x-y)} - \frac{(x - 2y)(x+y)}{(x-y)(x+y)(x+y)} + \frac{2y^2}{(x+y)^2(x-y)} $$

Теперь объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$$ \frac{(x + 2y)(x-y) - (x - 2y)(x+y) + 2y^2}{(x+y)^2(x-y)} $$

Раскроем скобки в числителе:

$(x + 2y)(x-y) = x^2 - xy + 2xy - 2y^2 = x^2 + xy - 2y^2$.

$(x - 2y)(x+y) = x^2 + xy - 2xy - 2y^2 = x^2 - xy - 2y^2$.

Подставим раскрытые выражения обратно в числитель объединенной дроби:

$$ \frac{(x^2 + xy - 2y^2) - (x^2 - xy - 2y^2) + 2y^2}{(x+y)^2(x-y)} $$

Упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$$ x^2 + xy - 2y^2 - x^2 + xy + 2y^2 + 2y^2 = (x^2 - x^2) + (xy + xy) + (-2y^2 + 2y^2 + 2y^2) = 2xy + 2y^2 $$

Выражение принимает вид:

$$ \frac{2xy + 2y^2}{(x+y)^2(x-y)} $$

Вынесем в числителе общий множитель $2y$ за скобки:

$$ \frac{2y(x+y)}{(x+y)^2(x-y)} $$

Сократим дробь на общий множитель $(x+y)$:

$$ \frac{2y}{(x+y)(x-y)} $$

Применяя формулу разности квадратов к знаменателю, получаем окончательный вид левой части:

$$ \frac{2y}{x^2 - y^2} $$

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано, так как после преобразования левой части мы получили выражение, равное правой части: $\frac{2y}{x^2 - y^2} = \frac{2y}{x^2 - y^2}$.