Номер 4.53, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.53, страница 36.

Условие.

Докажите тождество:

4.53 $\frac{3a(16 - 3a)}{9a^2 - 4} + \frac{3(1 + 2a)}{2 - 3a} - \frac{2 - 9a}{3a + 2} = \frac{1}{3a + 2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Чтобы доказать тождество, мы преобразуем левую часть уравнения и покажем, что она равна правой части.

Исходное выражение в левой части:

$$ \frac{3a(16 - 3a)}{9a^2 - 4} + \frac{3(1 + 2a)}{2 - 3a} - \frac{2 - 9a}{3a + 2} $$

Шаг 1: Нахождение общего знаменателя.

Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$9a^2 - 4 = (3a)^2 - 2^2 = (3a - 2)(3a + 2)$

Знаменатель второй дроби $2 - 3a$ можно переписать как $-(3a - 2)$. Это позволяет нам изменить знак перед дробью:

$\frac{3(1 + 2a)}{2 - 3a} = -\frac{3(1 + 2a)}{3a - 2}$

Теперь левая часть выглядит так:

$$ \frac{3a(16 - 3a)}{(3a - 2)(3a + 2)} - \frac{3(1 + 2a)}{3a - 2} - \frac{2 - 9a}{3a + 2} $$

Общий знаменатель для всех дробей — $(3a - 2)(3a + 2)$.

Шаг 2: Приведение дробей к общему знаменателю.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(3a - 2)(3a + 2)$, домножив числитель и знаменатель второй дроби на $(3a + 2)$, а третьей — на $(3a - 2)$:

$$ \frac{3a(16 - 3a)}{(3a - 2)(3a + 2)} - \frac{3(1 + 2a)(3a + 2)}{(3a - 2)(3a + 2)} - \frac{(2 - 9a)(3a - 2)}{(3a - 2)(3a + 2)} $$

Шаг 3: Упрощение числителя.

Объединим все под одной дробной чертой и раскроем скобки в числителе:

$$ \frac{3a(16 - 3a) - 3(1 + 2a)(3a + 2) - (2 - 9a)(3a - 2)}{(3a - 2)(3a + 2)} $$

Вычислим каждое произведение в числителе отдельно:
1) $3a(16 - 3a) = 48a - 9a^2$
2) $3(1 + 2a)(3a + 2) = 3(3a + 2 + 6a^2 + 4a) = 3(6a^2 + 7a + 2) = 18a^2 + 21a + 6$
3) $(2 - 9a)(3a - 2) = 6a - 4 - 27a^2 + 18a = -27a^2 + 24a - 4$

Теперь подставим эти результаты в числитель, учитывая знаки:

$(48a - 9a^2) - (18a^2 + 21a + 6) - (-27a^2 + 24a - 4)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$= 48a - 9a^2 - 18a^2 - 21a - 6 + 27a^2 - 24a + 4$

$= (-9a^2 - 18a^2 + 27a^2) + (48a - 21a - 24a) + (-6 + 4)$

$= 0 \cdot a^2 + 3a - 2 = 3a - 2$

Шаг 4: Завершение доказательства.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$$ \frac{3a - 2}{(3a - 2)(3a + 2)} $$

Сократим общий множитель $(3a - 2)$ (при условии, что $3a-2 \neq 0$, то есть $a \neq 2/3$):

$$ \frac{1}{3a + 2} $$

Полученный результат $\frac{1}{3a + 2}$ полностью совпадает с правой частью исходного выражения. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как в результате преобразований левая часть стала равна правой части.