Номер 4.53, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Авторы: Мордкович А. Г., Александрова Л. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е., Семенов П. В.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 2
Цвет обложки:
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.53, страница 36.
№4.53 (с. 36)
Условие. №4.53 (с. 36)
скриншот условия

Докажите тождество:
4.53 $\frac{3a(16 - 3a)}{9a^2 - 4} + \frac{3(1 + 2a)}{2 - 3a} - \frac{2 - 9a}{3a + 2} = \frac{1}{3a + 2}$
Решение 1. №4.53 (с. 36)

Решение 2. №4.53 (с. 36)

Решение 6. №4.53 (с. 36)
Чтобы доказать тождество, мы преобразуем левую часть уравнения и покажем, что она равна правой части.
Исходное выражение в левой части:
$$ \frac{3a(16 - 3a)}{9a^2 - 4} + \frac{3(1 + 2a)}{2 - 3a} - \frac{2 - 9a}{3a + 2} $$
Шаг 1: Нахождение общего знаменателя.
Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$9a^2 - 4 = (3a)^2 - 2^2 = (3a - 2)(3a + 2)$
Знаменатель второй дроби $2 - 3a$ можно переписать как $-(3a - 2)$. Это позволяет нам изменить знак перед дробью:
$\frac{3(1 + 2a)}{2 - 3a} = -\frac{3(1 + 2a)}{3a - 2}$
Теперь левая часть выглядит так:
$$ \frac{3a(16 - 3a)}{(3a - 2)(3a + 2)} - \frac{3(1 + 2a)}{3a - 2} - \frac{2 - 9a}{3a + 2} $$
Общий знаменатель для всех дробей — $(3a - 2)(3a + 2)$.
Шаг 2: Приведение дробей к общему знаменателю.
Приведем все дроби к общему знаменателю $(3a - 2)(3a + 2)$, домножив числитель и знаменатель второй дроби на $(3a + 2)$, а третьей — на $(3a - 2)$:
$$ \frac{3a(16 - 3a)}{(3a - 2)(3a + 2)} - \frac{3(1 + 2a)(3a + 2)}{(3a - 2)(3a + 2)} - \frac{(2 - 9a)(3a - 2)}{(3a - 2)(3a + 2)} $$
Шаг 3: Упрощение числителя.
Объединим все под одной дробной чертой и раскроем скобки в числителе:
$$ \frac{3a(16 - 3a) - 3(1 + 2a)(3a + 2) - (2 - 9a)(3a - 2)}{(3a - 2)(3a + 2)} $$
Вычислим каждое произведение в числителе отдельно:
1) $3a(16 - 3a) = 48a - 9a^2$
2) $3(1 + 2a)(3a + 2) = 3(3a + 2 + 6a^2 + 4a) = 3(6a^2 + 7a + 2) = 18a^2 + 21a + 6$
3) $(2 - 9a)(3a - 2) = 6a - 4 - 27a^2 + 18a = -27a^2 + 24a - 4$
Теперь подставим эти результаты в числитель, учитывая знаки:
$(48a - 9a^2) - (18a^2 + 21a + 6) - (-27a^2 + 24a - 4)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$= 48a - 9a^2 - 18a^2 - 21a - 6 + 27a^2 - 24a + 4$
$= (-9a^2 - 18a^2 + 27a^2) + (48a - 21a - 24a) + (-6 + 4)$
$= 0 \cdot a^2 + 3a - 2 = 3a - 2$
Шаг 4: Завершение доказательства.
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$$ \frac{3a - 2}{(3a - 2)(3a + 2)} $$
Сократим общий множитель $(3a - 2)$ (при условии, что $3a-2 \neq 0$, то есть $a \neq 2/3$):
$$ \frac{1}{3a + 2} $$
Полученный результат $\frac{1}{3a + 2}$ полностью совпадает с правой частью исходного выражения. Следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано, так как в результате преобразований левая часть стала равна правой части.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 4.53 расположенного на странице 36 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4.53 (с. 36), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Александрова (Лилия Александровна), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), Семенов (Павел Владимирович), 2-й части учебного пособия издательства Мнемозина.